\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{graphicx} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \lhead{\small CAPLP externe} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small{ 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~CAPLP externe 2007~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{\Large \textsc{Exercice 1}\hfill } \medskip Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou si elle est fausse puis : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si elle est vraie, la démontrer \item[$\bullet~$] si elle est fausse, donner un contre-exemple. \end{itemize} \smallskip \begin{enumerate} \item Toute suite réelle, convergente est monotone à partir d'un certain rang. \item Soient $f$ et $g$ deux fonctions. définies de $\R$ dans $\R$. Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct \Oij{} on considère $M(t)$ le point de coordonnées $(f(t),~g(t))$ et on note $\Gamma$ la courbe décrite par le point $M(t)$ lorsque $t$ décrit $\R$. Ainsi $\Gamma$ est la courbe paramétrée par $\left\{\begin{array}{l cl} x&=&f(t)\\ y&=&g(t)\\ \end{array}\right.,~t~\text{variant dans}~\R$. L'affirmation est la suivante : si les fonctions $f$ et $g$ sont paires, la courbe $\Gamma$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. $y'\text{O}y$. \item La fonction $h~:~\longmapsto x \sqrt{|x|}$ est dérivable sur $\R$. \item Pour une fonction $f$ continue sur l'intervalle [0~;~1], si $\displaystyle\int_{0}^1 f(t)\:\text{d}t = 0$, alors $f$ est la fonction nulle sur l'intervalle [0~;~1]. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large \textsc{Exercice 2}} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Étude de la fonction \boldmath$f$ \unboldmath telle que} \boldmath $f(x) = \dfrac{x}{\ln (x)}$ \unboldmath \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble D de tous les nombres réels $x$ pour lesquels $f(x)$ est défini. \item On pose désormais $f(0) = 0$. La fonction $f$ est-elle alors continue à droite en $0$ ? \item La fonction $f$ est-elle alors dérivable à droite en $0$ ? \item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur D~$\cup \{0\}$. On y fera apparaître les différentes limites et la valeur de $f(\text{e})$, où e est le nombre réel positif tel que $\ln(\text{e}) = 1$. \end{enumerate} \item \textbf{Étude de la suite \boldmath $v$ \unboldmath telle que \boldmath $v_{0} = 3$ \unboldmath et \boldmath $\forall n \in \N,~ v_{n+1} = f\left(v_{n}\right)$ \unboldmath où \boldmath $f$ \unboldmath est la fonction étudiée à la question 1} \begin{enumerate} \item Montrer, par récurrence sur $n$, que \[\forall n \in \N,~v_{n} \geqslant \text{e}.\] \item Justifier que la suite $v$ converge et déterminer sa limite \item Montrer que : \[\forall x \geqslant \text{e},~0 \leqslant f'(x) \leqslant \dfrac{1}{4}.\] \item Énoncer l'inégalité des accroissements finis. \item En déduire que : \[\forall n \in \N,~\left|v_{n} - \text{e}\right| \leqslant \dfrac{1}{4^n}.\] \item Déterminer un entier naturel $n_{1}$ à partir duquel $v_{n}$ est une valeur approchée du nombre réel e à au moins $10^{-12}$. \end{enumerate} \item \textbf{Solutions d'une équation différentielle}\\ Soit K l'intervalle $]1~;~+\infty[$. On note E$_{1}$ l'équation différentieile suivante : \[-x^2z'(x) + xz(x) = z^2(x).\] On recherche les fonctions $z$ solutions de E$_{1}$ sur l'intervalle K et qui ne s'annulent pas sur K. \begin{enumerate} \item On pose $y = \dfrac{1}{z}$. Vérifier que $y$ est solution sur K d'une équation différentielle linéaire du premier ordre que l'on notera E$_{2}$. \item Résoudre l'équation différentielle E$_{2}$ sur l'intervalle K. On vérifiera ensuite que ces solutions sont de la forme $g_{a}~:~ x \longmapsto \dfrac{\ln (ax)}{x}$ où $a$ est un nombre réel strictement positif. Vérifier que, pour tout nombre réel $a$ supérieur ou égal à 1, $g_{a}$ ne s'annule pas sur K. On a donc ainsi, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle K,~$ z(x) = \dfrac{x}{\ln (ax)}$. \item Pour tout nombre réel $a$ strictement positif, on note $\mathcal{C}_{a}$ la courbe représentative de la fonction $f_{a}~:~x \longmapsto \dfrac{\ln (ax)}{x}$ dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine O. Montrer que la courbe $\mathcal{C}_{a}$ est l'image de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ par une homothétie de centre O dont on précisera le rapport. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large \textsc{Exercice 3}\hfill } \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Calcul des puissances successives d'une matrice} On note $\mathcal{B}_{c} = \left(\vect{e_{1}},~\vect{e_{2}},~\vect{e_{3}}\right)$ la base canonique de l'espace vectoriel $\R^3$. On a donc : \[\vect{e_{1}}= (1~;~0~;~0),\quad \vect{e_{2}} = (0~;~1~;~0),\quad \vect{e_{3}} = (0~;~0~;~1).\] On considère les matrices suivantes : \[A = \begin{pmatrix} 0&1&0&\\ 4&2&4&\\ 0&1&0\\ \end{pmatrix},~\quad Q = \begin{pmatrix} 1&1&1\\-2&4&0\\ 1&1&-1\\ \end{pmatrix},~\text{et}~I_{3} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}\] On considère l'endomorphisme $f$ de $\R^3$ dont la matrice dans la base $\mathcal{B}_{c}$, est $A$. \begin{enumerate} \item On considère les vecteurs suivants de $\R^3$ : $\vect{u_{1}} = (1~;~-2~;~1),~\vect{u_{2}} = (1~;~4~;~1),\\\vect{u_{3}} =(1~;~0~;~-1)$. Vérifier que la famille $\mathcal{B}_{n} = \left(\vect{u_{1}},~\vect{u_{2}},~\vect{u_{3}}\right)$ est une base de l'espace vectoriel $\R^3$. $Q$ est ainsi la matrice de passage de la base $\mathcal{B}_{c}$ à la base $\mathcal{B}_{n}$. \item Calculer $Q^2 $ et $Q^3$ et vérifier que $Q^3$ est combinaison linéaire de $I_{3}$ et de $Q^2$. \item En déduire que la matrice $Q$ est inversible, puis déterminer son inverse $Q^{-1}$. \item Vérifier que les vecteurs $\vect{u_{1}} ,~\vect{u_{2}}$ et$\vect{u_{3}}$ sont des vecteurs propres de l'endomorphisme $f$. En déduire la matrice $A'$ de l'endomorphisme $f$ dans la base $\mathcal{B}_{n}$. \item Rappeler le lien entre les matrices $A',~ A$ et $Q$. \item En déduire, pour tout nombre entier naturel $n$ non nul, l'expression de la matrice $A^n$ en fonction de $A',~Q$ et $n$. \end{enumerate} Pour la suite de l'exercice, on admettra que, pour tout nombre entier naturel $n$ non nul : \[A^n = \dfrac{2^n}{6} = \begin{pmatrix} 2^n + 2(-1)^n & 2^n - (-1)^n&2^n + 2(-1)^n\\2^{n+2} - 4(-1)^n& 2^{n+2} + 2(-1)^n&2^{n+2} - 4(-1)^n\\ 2^n + 2(-1)^n & 2^n - (-1)^n & 2^n + 2(-1)^n\\\end{pmatrix}\] \item \textbf{Étude de la loi d'une variable aléatoire} Dans un jeu, un pion se déplace aléatoirement sur les sommets d'un triangle, notés S$_{1}$,~S$_{2}$,~S$_{3}$, selon la règle suivante : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] À l'instant $0$, le pion se situe au sommet S$_{1}$. \item[$\bullet~~$] Si à l'instant $n$ le pion est au sommet S$_{1}$, alors à l'instant $n+ 1$ il sera au sommet S$_{2}$. \item[$\bullet~~$] Si à l'instant $n$ le pion est au sommet S$_{2}$, alors à l'instant $n+ 1$ il sera au sommet S$_{1}$ avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, au sommet S$_{2}$ avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$, au sommet S$_{3}$ avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$. \item[$\bullet~~$] Si à l'instant $n$ le pion est au sommet S$_{3}$, alors à l'instant $n + 1$ il sera au sommet S$_{2}$. \end{itemize} \medskip On appelle $X_{n}$ la variable aléatoire égale à $i$ si le pion se trouve à l'instant $n$ sur le sommet S$_{i}$, et on note $a_{n}~b_{n},~c_{n}$ les probabilités : \[a_{n} = P(\{X_{n} = 1\}),~b_{n} = P(\{X_{n} = 2\}),~ c_{n} = P(\{X_{n} = 3\}).\] \begin{enumerate} \item On note $T_{n}$ la matrice à une colonne : $T_{n} = \begin{pmatrix} a_{n}\\ b_{n}\\c_{n}\\\end{pmatrix}$. Préciser les matrices $T_{0}$ et $T_{1}$. \item Écrire la matrice $M$, carrée d'ordre 3, dont le terme situé à l'intersection de la $i$-ième ligne et de la $j$-ième colonne est égal à la probabilité conditionnelle $P_{\{X_{n} = j\}}\left( \{X_{n+1} = i\}\right)$, notée aussi $P\left(\{X_{n+1}= i\} / \{X_{n} = j\}\right)$. \item Justifier que les conditions d'application de la formule des probabilités totales sont réunies, puis l'utiliser pour montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ : \[T_{n+1} = MT_{n}.\] \item En déduire l'expression de la matrice $T_{n}$ en fonction de $n,~T_{0}$ et $A$, où $A$ est la matrice étudiée à la question 1. \item En déduire les probabilités $a_{n}~,b_{n},~c_{n}$ en fonction de $n$, ainsi que leur limite quand $n$ tend vers $+\infty$. \item Vérifier que, pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, l'espérance de $X_{n}$ est indépendante de $n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large \textsc{Exercice 4}} \medskip Dans tout cet exercice, on se place dans l'espace affine euclidien réel $\mathcal{E}$ rapporté à un repère orthonormé direct $\mathcal{R} =$ \Oijk. Soient les points A(1~;~0~;~0), B(0~;~1~;~0) et C(0~;~0~;~ 1). Pour tout point $M$ de l'espace $\mathcal{E}$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ dans le repère $\mathcal{R}$, on note indifféremment $\varphi(M)$ ou $\varphi(x~;~y~;~z)$ la quantité : \[\varphi(M) = \varphi(x~;~y~;~z) = \text{O}M + \text{A}M + \text{B}M + \text{C}M\] On admettra ici que la quantité $\varphi(M)$ admet un minimum global, noté $m$, lorsque le point $M$ décrit l'espace $\mathcal{E}$ et on souhaite obtenir la valeur de ce minimum ainsi que le(s) point(s) en le(s)quel(s) ce minimum est réalisé. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer et comparer lesquantités $\varphi$(O), $\varphi$(A), $\varphi$(B) et $\varphi$(C). \item Justifier que $0 \leqslant m \leqslant 3$ et que si $\varphi$ réalise son minimum $m$ en un point P alors OP$\leqslant 3$. \item Soit $r$ l'application affine de l'espace $\mathcal{E}$ transformant le point $M(x~;~y~;~z)$ en le point $M' = r(M)$ de coordonnées $(y~;~z~;~x)$. \begin{enumerate} \item Déterminer les images par l'application $r$ des points O, A, B et C. \item Vérifier que l'application $r$ est une isométrie, c'est-à-dire que, pour tout couple de points $(M,~ N)$ de $\mathcal{E}^2$, les distances $r(M)r(N)$ et $MN$ sont égales, c'est-à-dire $M'N' = MN$. \item Pour tout point $M$ de l'espace $\mathcal{E}$, montrer que $\varphi(M) = \varphi(M')$. \end{enumerate} \item Soit $\Delta$ la droite passant par le point O et de vecteur directeur $\vect{a} = \vect{\imath} + \vect{\jmath} + \vect{k}$. Soit $P$ un point qui n'est pas sur la droite $\Delta$. Soient $P' = r(P)$ et $P'' = r(P')$ et soit $Q$ l'isobarycentre des points $P,~P'$ et $P''$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout point $M$ de l'espace $\mathcal{E}$, on a : $MQ \leqslant \dfrac{1}{3}\left(MP + MP'+ MP''\right)$. \item En déduire que $\varphi(Q) - \text{O}Q \leqslant \varphi (P) - \text{O}P$. \item Vérifier que $\vect{\text{O}Q} \cdot \vect{QP} = 0$, puis en déduire que $\varphi(Q) < \varphi(P)$. \item Si l'application $\varphi$ réalise son minimum $m$ en un point $P$, que sait-on désormais sur ce point $P$ ? \end{enumerate} \item On considère la fonction $\Phi$ définie en tout nombre réel $x$ par $\Phi(x) = \varphi(x,~x,~x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ négatif ou nul, $\Phi(x) \geqslant \Phi(0)$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $\Phi$ sur $\R_{+}*$. \item En déduire l'existence d'un point $P_{0}$ en lequel l'application $\varphi$ atteint son minimum. Déterminer le point $P_{0}$ et le minimum de l'application $\varphi$. \end{enumerate} \item Vérifier que $P_{0}$ est le barycentre du système de points pondérés $\left\{(\text{O},~3),~(\text{A},~1),~(\text{B},~1),~(\text{C},~1)\right\}$. On note $\theta$ une mesure de l'angle non orienté $\widehat{\text{A}P_{0}\text{B}}$, choisie dans l'intervalle $[0~;~\pi]$. Déterminer la valeur exacte de $\cos (\theta)$ et une valeur approchée à un degré près par défaut de $\theta$. Remarque : On pourrait vérifier (mais ceci est admis ici) qu'en fait les mesures des angles $\widehat{\text{O}P_{0}\text{A}},~\widehat{\text{O}P_{0}\text{B}},~\widehat{\text{O}P_{0}\text{C}},~\widehat{\text{A}P_{0}\text{B}}, \widehat{\text{B}P_{0}\text{C}}$ et $\widehat{\text{C}P_{0}\text{A}}$ choisies dans l'intervalle $[0~;~\pi]$ sont toutes égales à $\theta$. \end{enumerate} \end{document}