\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage[first=1,last=6]{lcg} \usepackage{calc} \usepackage{pst-plot,pstricks} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeatletter%graduations décimales \def\psh#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\psv#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% \ifx#1\@emptyO\else#1\fi \ifx#2\@empty\else,#2\fi} \makeatother \usepackage[np]{numprint} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small{CAPLP externe 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rfoot{\small} \begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~CAPLP externe 2011 et CAFEP \decofourright}} \vspace{1cm} \textbf{DURÉE : 5 heures} \end{center} \vspace{1cm} \emph{Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants} \vspace{0,5cm} \emph{Le premier exercice est un test vrai-faux avec justification.\\ Le deuxième exercice porte sur des calculs de probabilités relatifs à des lancers de dés.\\ Le troisième exercice permet d'obtenir une caractérisation d'un triangle équilatéral à l'aide des affixes complexes de ses sommets, puis propose trois applications de cette caractérisation.\\ Le quatrième exercice propose l'étude de deux suites et le calcul d'une valeur approchée du nombre réel $\sqrt{2}$.} \vspace{1cm} \bigskip \textbf{EXERCICE 1} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier votre réponse.\\ Dans tout l'exercice, $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.\\ Remarque: toute réponse non argumentée ne rapporte aucun point.} \medskip \textbf{Proposition 1} \medskip Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et continues sur l'intervalle [2~;~5]. Si $\displaystyle\int_{2}^5 f(x)\,\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{2}^5 g(x)\,\text{d}x$, alors pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [2~;~5], on a $f(x) \leqslant g(x)$. \medskip \textbf{Proposition 2} \medskip ABC est un triangle isocèle de sommet principal A. On suppose que la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ coupe le segment [AC] en un point D tel que BCD est un triangle isocèle de sommet principal B. Une mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ est $\dfrac{\pi}{5}$. \medskip \textbf{Proposition 3} \medskip Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $I$. Si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est dérivable en $a$. \medskip \textbf{Proposition 4} \medskip On considère l'équation différentielle suivante, où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$ : \[y' - 2y - 1 = 0 \quad (E)\] On note $g$ une fonction positive définie et dérivable sur $\R$. Si $g$ est solution de l'équation $(E)$ sur $\R$, alors $g$ est croissante sur $\R$. \medskip \textbf{Proposition 5} \medskip \parbox{0,72\linewidth}{ On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2\text{e}^{x - 1} - \dfrac{x^2}{2}$. Un grapheur donne pour courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal le graphique ci-contre.}\hfill \parbox{0,26\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-3,-3)(2,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(2,3) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-2.5}{1.5}{x dup mul 2.71828 1 x sub exp div x dup mul 2 div sub} \end{pspicture}} \medskip La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[-2~;~1]$. \medskip \textbf{Proposition 6} \medskip Soit $n$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2, et soient $A$ et $B$ deux matrices carrées à $n$ lignes et $n$ colonnes et à coefficients réels. Alors on a : \[(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2.\] \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 2} \medskip Tous les dés de cet exercice sont des dés cubiques à six faces numérotées de 1 à 6. \medskip \textbf{Partie I.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère un dé non pipé. On le lance $n$ fois, où $n$ est un nombre entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item On note $a_{n}$ la probabilité pour que le 6 sorte au moins une fois lors de ces $n$ lancers. Déterminer la probabilité $a_{n}$ en fonction de $n$. Quelle est la limite de $a_{n}$ quand $n$ tend vers l'infini ? \item Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $a_{n} > 0,5$. \end{enumerate} \item On considère deux dés non pipés, que l'on lance ensemble $n$ fois. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $b_{n}$ d'obtenir au moins une fois un double six lors de ces $n$ lancers ? \item Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $b_{n} > 0,5$. \end{enumerate} \item Le texte suivant est un extrait d'une lettre de Pascal à Fermat datée du 29 juillet 1654 : \og \emph{Je n'ai pas eu le temps de vous envoyer la démonstration d'une difficulté qui étonnait fort M. de Méré, car il a très bon esprit, mais il n'est pas géomètre (...). Il me disait donc qu'il avait trouvé fausseté dans les nombres par cette raison :\\ Si on entreprend de faire un six avec un dé, il y a avantage de l'entreprendre en $4$, comme de $671$ à $625$.\\ Si on entreprend de faire Sonnez avec deux dés, il y a désavantage de l'entreprendre en $24$.\\ Et néanmoins $24$ est à $36$ (qui est le nombre des faces de deux dés) comme 4 à 6 (qui est le nombre des faces d'un dé).\\ Voilà quel était son grand scandale qui lui faisait dire hautement que les propositions n'étaient pas constantes et que l'arithmétique se démentait: mais vous en verrez bien aisément la raison par les principes où vous êtes.} \fg Vocabulaire : \og \emph{faire Sonnez} \fg, c'est obtenir un double $6$ en lançant deux dés ; \og \emph{Entreprendre en 4} \fg{} signifie que l'on tente d'obtenir un résultat en effectuant 4 lancers successifs ; enfin Pascal parle d'\og \emph{avantage} \fg{} pour un évènement donné lorsque sa probabilité dépasse 1/2. \begin{enumerate} \item Expliquer la phrase suivante à la lumière des calculs du 1. : \og \emph{Si on entreprend de faire un six avec un dé, il y a avantage de l'entreprendre en $4$, comme de $671$ à $625$.} \fg \item En s'appuyant sur les calculs du 2., dire ce que signifie la phrase : \og \emph{Si on entreprend de faire Sonnez avec deux dés, il y a désavantage de l'entreprendre en $24$.} \fg \item Pourquoi, selon Pascal, le chevalier de Méré s'attendait-il à avoir le même résultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II.} \medskip On dispose de deux dés physiquement indiscernables, l'un non pipé, l'autre pipé pour lequel la probabilité d'obtenir 6 est de $0,40$. On prend un de ces deux dés au hasard, chacun ayant une probabilité $0,5$ d'être pris, et on le lance. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'obtenir 6 à l'issue d'un lancer ? \item On a obtenu 6 à l'issue d'un lancer. Quelle est la probabilité d'avoir utilisé le dé pipé ? \item Si, après avoir pris un dé au hasard, on lance ce dé trois fois de suite, quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois 6 ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie III.} \medskip On considère maintenant un dé pipé pour lequel la probabilité d'obtenir 6 est inconnue et notée $q$ ($q$ étant un nombre réel de l'intervalle [0~;~ 1]). On jette le dé 18 fois. On considère la variable aléatoire $X$ égale au nombre de 6 obtenus lors de ces 18 lancers. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de $X$ ? Justifier la réponse. \item Calculer $p(X = 7)$ dans le cas où $q = 0,25$. Arrondir le résultat à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \item On désire maintenant déterminer la plus petite valeur du nombre réel $q$ pour laquelle la probabilité que le 6 sorte au moins 4 fois lors des 18 lancers soit supérieure ou égale à 99\,\%. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité que $X$ soit inférieure ou égale à 3 est égale à : \[p(X \leqslant 3) = (1-q)^{15} \left(680q^3 + 120q^2 + 15q+ 1\right).\] \item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par \[f(x) = (1 - x)^{15} \left(680x^3 + 120x^2 + 15x + 1\right).\] On admet que $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle [0~;~1]. \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item Montrer qu'il existe un unique réel $x_{0}$ appartenant à l'intervalle [0~;~1] tel que $f\left(x_{0}\right) = 0,01$. \item À l'aide d'une calculatrice, déterminer l'entier naturel $k$ tel que $ \dfrac{k}{\np{1000}} < x_{0} < \dfrac{k + 1}{\np{1000}}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item En déduire la valeur minimale qu'il faut attribuer à $q$ afin que la probabilité que le 6 sorte au moins 4 fois lors des 18 lancers soit supérieure ou égale à 99\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie IV.} \medskip On considère maintenant un dé dont on ne sait pas a priori s'il est pipé ou non. Pour le tester, on le jette $n = 150$ fois et on relève les résultats obtenus dans le tableau suivant : \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-7} Face& 1& 2& 3& 4& 5& 6&\multicolumn{1}{c}{}\\ \hline Effectif& 21& 15& 24& 27& 21& 42& 150\\ \hline Fr\'equence & $f_{1}$& $f_{2}$&$f_{3}$&$f_{4}$&$f_{5}$&$f_{6}$& 100\,\% \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5}$ et $f_{6}$. \item On se propose d'examiner ces fréquences pour étudier dans quelle mesure elles peuvent, ou non, être obtenues par un dé non pipé. Calculer le nombre : \[nd^2 = n\left(f_{1} - \dfrac{1}{6}\right)^2 + n\left(f_{2} - \dfrac{1}{6}\right)^2 + n\left(f_{3} - \dfrac{1}{6}\right)^2 +n\left(f_{4} - \dfrac{1}{6}\right)^2 +n\left(f_{5} - \dfrac{1}{6}\right)^2 +n\left(f_{6} - \dfrac{1}{6}\right)^2.\] où $n = 150$ est le nombre de fois où le dé a été lancé. Ce nombre $nd^2$ \og mesure\fg la distance entre la série des fréquences observées lors du test et la série des fréquences théoriques attendues pour un dé non pipé. \end{enumerate} \item On simule 150 lancers d'un dé non pipé à l'aide d'un tableur et pour chaque série de 150 lancers, on calcule le nombre $nd^2$. \medskip \parbox{0.6\linewidth}{ \begin{enumerate} \item Indiquer la formule à saisir dans la cellule B1 pour simuler un jet d'un dé non pipé. \item Pour simuler 150 lancers, la formule est recopiée de la cellule B1 à la cellule B150. Dans les cellules B152, B153, B154, B155, B156 et B157 figurent les fréquences d'apparition des numéros 1, 2, 3, 4, 5 et 6 pour la simulation de 150 lancers : ainsi le 1 a été obtenu dans 16\,\% des cas dans l'exemple ci-contre. \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item Expliquer la formule qui figure dans la cellule B152 : \fbox{~=NB.SI(B\$1:B\$150;1)/150~} \item Donner une formule à inscrire dans la cellule B159 pour calculer le nombre $nd^2$ correspondant à la simulation des 150 lancers. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.36\linewidth}{\footnotesize \begin{tabular}{|c|c|r|}\hline &A&B\\ \hline 144&&3\\ \hline 145&&2\\ \hline 146&&5\\ \hline 147&&6\\ \hline 148&&5\\ \hline 149&&3\\ \hline 150&&3\\ \hline 151&&\\ \hline 152& Fréquence des 1 &0,16\\ \hline 153& Fréquence des 2 &0,14\\ \hline 154& Fréquence des 3 &018\\ \hline 155& Fréquence des 4 & \np{0,18666667}\\ \hline 156& Fréquence des 5 &0,123\\ \hline 157& Fréquence des 6 & \np{0,19333333}\\ \hline 158& &\\ \hline 159&Valeur de $nd^2$ &\\ \hline \end{tabular} } \hspace{0,4cm}\textbf{c.} On répète \np{1000} fois la simulation des 150 lancers. Les différentes valeurs de $nd^2$ obtenues sont représentées par le nuage de points ci-après, avec en abscisse le rang de L'expérience de 1 à 1000 et en ordonnée la valeur de $nd^2$ obtenue. Le 99\up{e} centile de la série des différentes valeurs de $nd^2$ représentée par le nuage de points est de 2,693 selon le tableur. Quelle interprétation peut-on donner de ce résultat ? \textbf{3.} Le tableur donne aussi les résultats statistiques suivants pour la série des nombres $nd^2$ calculés pour les 1000 simulations de 150 lancers (c1 désigne le premier centile, d1 le premier décile, d2 le second décile, ... ) \medskip {\scriptsize\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline FJ&FK&FL&FM&FN&FO&FP&FQ&FR&FS&FT&FU&FV\\ \hline moyenne & écart-type & c1 &d1 &d2 &d3 &d4 &d5 &d6 &d7 &d8 &d9 &c99\\ \hline \np{ 0,81921} &\np{0,521561} &0,12& 0,265& 0,387 & 0,493 & 0,587 & 0,72 & 0,853& 1& 1,173& 1,493& 2,693\\ \hline \end{tabularx}} \medskip Quelle conclusion peut-on en tirer sur le dé étudié à la question 1 de la partie IV ? \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 3} \bigskip \textbf{Partie I.} \medskip Dans cette partie, on se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item On note j le nombre complexe j $= \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ ? \begin{enumerate} \item Montrer que $\overline{~\text{j}~} = \text{j}^2$. \item Montrer que j$^3 = 1$. \item Montrer que $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$. \item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $w = - \text{j}^2$. \item Donner la forme algébrique de j et de $\overline{\text{j}}$. \end{enumerate} \item On considère trois points A, B et C d'affixes respectives $a,~b$ et $c$. \begin{enumerate} \item Soit $R$ la rotation de centre B et d'angle $\pi/3$. Montrer que si $M$ est un point d'affixe $z,\, R(M)$ a pour affixe $-\text{j}^2z - \text{j}b$. \item En déduire que, pour qu'un triangle de sommets A, B et C d'affixes respectives a, b et c soit équilatéral direct il faut et il suffit que $a + b\text{j}^2 + c\text{j} = 0$. \item Montrer que pour qu'un triangle de sommets A, B et C d'affixes respectives $a,\, b$ et $c$ soit équilatéral indirect il faut et il suffit que $a + b\text{j}^2 + c\text{j} = 0$. \item Montrer qu'un triangle de sommets A, B et C d'affixes respectives $a,\, b$ et $c$ est équilatéral si et seulement si $a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0$, et que cette dernière égalité peut aussi s'écrire $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II.} \medskip Nous nous proposons dans cette partie de développer trois applications des résultats précédents. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Première application} \medskip On se place dans le plan complexe. Déterminer le(s) nombre(s) complexe(s) $z$ pour le(s)quel(s) le triangle de sommets d'affixe i, $z$ et i$z$ est équilatéral direct. \medskip \item \textbf{Deuxième application} \medskip On considère la fonction polynôme $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) =x^3 +57x^2 + \np{1083}x+ \np{6851}.\] La représentation graphique ,de la fonction $f$ réalisée par un grapheur est donnée ci-après : \medskip \psset{unit=0.25cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-18,-13.5)(13,14) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=100,Dy=100]{->}(0,0)(-32,-13.5)(16,14) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1,labels=none]{->}(0,0)(-32,-13.5)(16,14) \uput[d](16,0){$x$}\uput[l](0,14){$y$}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-20.78}{-16.2}{x 3 exp x x mul 57 mul add 1083 x mul add 6851 add} \rput(10,6){$f(x) = x^3 +57x^2+ \np{1083}x+\np{6851}$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Par simple lecture graphique, que peut-on conjecturer sur les solutions réelles de l'équation $f(x) = 0$ ? \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une solution réelle entière $n$. \item Déterminer les coefficients réels pet q tels que pour tout nombre réel x, on ait: \[x^3 + 57 x^2 + \np{1083}x + \np{6851} = (x - n)\left(x^2 + px + q\right).\] \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ l'équation $f(x) = 0$. Les calculs seront détaillés sur la copie. \item Montrer que les trois solutions complexes de l'équation $f(x) = 0$ sont les affixes de points formant un triangle équilatéral. \item Plus généralement, à quelle condition nécessaire et suffisante sur les nombres réels $\alpha,\,\beta,\,\delta$, les trois solutions complexes de l'équation $x^3 + \alpha x^2 + \beta x + \delta = 0 $ sont-elles les affixes de points formant un triangle équilatéral ? \end{enumerate} \medskip \item \textbf{Troisième application} \medskip On se place dans le plan complexe. On considère un triangle quelconque ABC direct. Comme le montre la figure ci-après, on construit extérieurement à ce triangle les triangles équilatéraux (directs) AME, BNC et CPA. On appelle H le centre de gravité du triangle AME, F le centre de gravité du triangle BNC et G le centre de gravité du triangle CPA. On désigne les affixes des points par les lettres minuscules qui leur correspondent : A a pour affixe $a$, B a pour affixe $b$, etc. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(11,9) \psdots(4.8,8.2)(4.4,3.5)(7,2.6)(5.5,2.3)(7.5,6.1)(3.2,6)(0.5,6.15)(5,0.8)(10.7,7.4) \uput[u](4.8,8.2){A}\uput[dl](4.4,3.5){B}\uput[dr](7,2.6){C} \uput[d](5.5,2.3){F}\uput[u](7.5,6.1){G}\uput[u](3.2,6){H} \uput[u](0.5,6.15){M}\uput[d](5,0.8){N}\uput[u](10.7,7.4){P} \pspolygon(4.8,8.2)(4.4,3.5)(7,2.6) \pspolygon(5.5,2.3)(7.5,6.1)(3.2,6) \psline(4.8,8.2)(0.5,6.15)(4.4,3.5) \psline(4.4,3.5)(5,0.8)(7,2.6) \psline(7,2.6)(10.7,7.4)(4.8,8.2) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Exprimer $m$ et $h$ en fonction de $a,\, b$ et de $j$. \item Sans justifier, préciser les affixes $f$ de F et $g$ de G. \item Montrer que le triangle FGH est équilatéral et direct. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{EXERCICE 4} \medskip On note $f$ la fonction qui à tout nombre réel $x$ positif ou nul associe le nombre réel $f(x) = x^2 - 2$. On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal du plan, B le point d'intersection de la courbe $(\mathcal{C})$ avec l'axe des abscisses et A le point de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse 1. \medskip \textbf{Partie 1. Utilisation de la méthode de la corde} \medskip La méthode de la corde consiste à construire de proche en proche une suite $\left(M_{n}\right)_{n \in \N}$ de points de la courbe $(\mathcal{C})$ de la manière suivante : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $M_{0}$ est un point quelconque de la courbe $(\mathcal{C})$, distinct des points A et B ; \item[$\bullet~$] pour tout nombre entier naturel $n,\, M_{n+1}$ est le point de la courbe $(\mathcal{C})$ de même abscisse que le point d'intersection de la droite $\left(\text{A}M_{n}\right)$ avec l'axe des abscisses. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour tout nombre entier naturel $n$, on note $u_{n}$ l'abscisse du point $M_{n}$. On admet ici que cette méthode permet bien de construire une suite $\left(M_{n}\right)_{n \in \N}$ de points de la courbe $(\mathcal{C})$ qui sont tous distincts du point A et dont les abscisses vérifient pour tout nombre entier naturel $n$, la relation : \[u_{n+1} = \dfrac{2 + u_{n}}{1 + u_{n}}\] On suppose de plus que $u_{0} = 2$. Afin d'étudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ on considère la suite $\left(v_{n}\right)_{n \in \N}$ définie pour tout entier naturel $n$ par la relation : \[v_{n} = \dfrac{u_{n} - \sqrt{2}}{u_{n} + \sqrt{2}}\] \begin{enumerate} \item Déterminer les nombres $u_{1}$ et $u_{2}$. \item Vérifier que le nombre $\dfrac{v_{1}}{v_{0}}$ est un nombre réel négatif qui peut se mettre sous la forme $a\sqrt{2} - b$ avec $a$ et $b$ nombres entiers naturels non nuls. \item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique ; en préciser la raison $q$. \item Préciser l'expression de $v_{n}$ en fonction du nombre entier naturel $n$. \item Préciser, en la justifiant, la limite de la suite $\left(v_{n}\right)_{n \in \N}$ lorsque $n$ tend vers l'infini. \item Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge et préciser sa limite. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II. Utilisation de la méthode de Newton} \medskip On se fixe un réel $a_{0}$ strictement positif. La méthode de Newton consiste à construire de proche en proche une suite $\left(P_{n}\right)_{n \in \N}$ de points de la courbe $(\mathcal{C})$ de la manière suivante : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Po est le point de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse $a_{0}$ ; \item[$\bullet~$] pour tout nombre entier naturel $n,\, P_{n+1}$ est le point de la courbe $(\mathcal{C})$ de même abscisse que le point d'intersection de l'axe des abscisses avec la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $P_{n}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour tout nombre entier naturel $n$, on note $a_{n}$ l'abscisse du point $P_{n}$. On admet ici que cette méthode permet bien de construire une suite $\left(P_{n}\right)_{n \in \N}$ de points de la courbe $(\mathcal{C})$ dont les abscisses sont strictement positives. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ en un point $P_{n}$. \item Justifier alors que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : \[a_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(a_{n} + \dfrac{2}{a_{n}}\right).\] Ainsi, la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ est définie par son premier terme $a_{0} > 0$ et par la relation précisée ci-dessus et qui est valable pour tout entier naturel $n$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, par : \[g(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{2}{x}\right).\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur cet intervalle. \item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ non nul, $a_{il ~.n} \geqslant \sqrt{2}$. \item Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ est décroissante à partir du rang 1, et en déduire qu'elle admet une limite réelle. \item Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ lorsque $n$ tend vers l'infini. \end{enumerate} \item Cette question a pour but de préciser la rapidité de la convergence de la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$. Pour cela, on considère la suite $\left(b_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par : \[b_{n} = \dfrac{a_{n} - \sqrt{2}}{a_{n} + \sqrt{2}}\quad \text{pour tout nombre entier naturel}\: n.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $b_{n+1} = \left(b_{n}\right)^2$ pour tout nombre entier naturel $n$. \item En déduire une expression du nombre $b_{n}$ en fonction du nombre entier naturel $n$ et de $b_{0}$. \item On suppose dans cette question que $a_{0} = \dfrac{3}{2}$ et on admet qu'alors on a $0 < b_{0} \leqslant 0,04$. \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$, on a $0 \leqslant a_{n} - \sqrt{2} \leqslant 3(0,04)^{(2^n)}$. \item En déduire un rang $n_{0}$ à partir duquel le nombre $a_{n_{0}}$ est une valeur approchée du nombre réel $\sqrt{2}$ à $10^{-10}$ près. Donner cette valeur approchée. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}