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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G.-I.G.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{juin 2004}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT CG - IG Antilles juin 2004~\decofourright}} 
    
\vspace{0,5cm}

Coefficient 2  \hfill Durée 2 heures

\vspace{0,5cm}

La calculatrice est autorisée.

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points }

\medskip

Deux candidats A et B sont présents au second tour d'une élection. Sur les $600$ électeurs il y a $320$~hommes. $20\:\%$ des homes ont voté blanc ou nul ; 
il y a $73$~femmes qui ont voté pour le candidat A ; il y a $42,5\:\%$ des 
électeurs qui ont voté pour le candidat B et il y a $118$~votes blancs ou 
nuls. Les $600$~personnes ont voté.

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\backslashbox{Sexe de \\l'électeur}{Vote}&Candidat A 	& Candidat B 	& Blancs ou nuls 	& Total \\ \hline
Hommes 								&				&				&					&320\\ \hline
Femmes 								&73				&				&					&\\ \hline
Total 								& 				&				&118				&600\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\vspace{0,3cm}

\emph{Pour la suite, les résultats seront donnés sous forme de fraction 
irréductible puis arrondis sous forme décimale à} $10^{-2}$ près.

\item On interroge au hasard une personne ayant voté.

Calculer la probabilité que cette personne ait voté pour le candidat B.

\item On interroge au hasard une électrique.

Calculer la probabilité qu'elle ait voté \og blanc ou nul \fg{}.

\item On interroge au hasard une personne ayant voté pour le candidat A.

Calculer la probabilité que ce soit une femme.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{L'utilisation de deux feuiles de papier millimétré est 
nécessaire pour traiter cet exercice.}

On a relevé de 1991 à 2000 les dépenses des ménages d'un pays, en 
achats de service.

\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\text{année}	&1991	&1992	&1993	&1994	&195	&1996	&1997	&1998	&1999	&2000\\ \hline
$x$				&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8		&9		&10\\ \hline
$z$				&200	&220	&245	&300	&365	&440	&540	&660	&800	&900\\ \hline
\end{tabularx}\]

$x$ représente le rang de l'année et $z$ les dépenses en achats de 
service ; $z$ est exprimé en milliers d'euro.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans un repère orthogonal représenter sur une feuille de papier millimétré le nuag e de points $M_{i}\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses : 1 cm représente 1 ;
\item sur l'axe des ordonnées : 1 cm représente 100.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Peut-on de façon satisfaisante, envisager un ajustement affine ?

\end{enumerate}

\item On pose $y = \ln z_{i}$ et on obtient le tableau suivant :

\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
année	&1991	&1992	&1993	&1994	&195	&1996	&1997	&1998	&1999	&2000\\ \hline
$x$				&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8		&9		&10\\ \hline
$y$				&5,3	&5,4	&5,5	&5,7	&5,9	&6,1	&6,3	&6,5	&6,7	&6,8\\ \hline
\end{tabularx}\]

Dans un autre repère orthogonal représenter le nuage de points 
$P_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  sur l'axe des abscisses : 1 cm représente 1 ;
\item  sur l'axe des ordonnées : 1 cm représente 0,1.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On fait partir l'axe des ordonnées de 5.

\item On considère le point moyen $G_{1}$ des cinq premiers points 
$P_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ du nuage et le point moyen $G_{2}$ 
des cinq derniers points de ce m\^eme nuage.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des points $G_{1}$ et $G_{2}$.

		\item Tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$.

		\item Déterminer une équation de cette droite sous la forme $y = mx + p$ ($m$ et$p$ arrondis à $10^{-3}$ près).

	\end{enumerate}

\item On admettra que cette droite réalise un ajustement affine 
convenable du nuage de points $P_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.

Déduire du \textbf{3. c.} une expression de $z$ en fonction de $x$.

\item Quel est le montant prévisible des dépenses des ménages en achats 
de service en 2005 ?

On donnera le résultat en millions d'euro, arrondi à $10^{-3}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{L'utilisation d'une feuille de papier millimétré est 
nécessaire pour traiter ce problème.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation suivante :

\[2x^2 - 5x + 2 = 0.\]

\item On pose, pour tout nombre réel $x : P(x) = - 2x^2 + 9x - 7$.

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $P(x) = 0$.

		\item Vérifier que pour tout réel $x$ on a : $P(x) = (- 2x + 7)(x - 1)$.

		\item Déterminer, en fonction de $x$, le signe de $P(x)$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \left(2x^2 - 5x + 2\right)\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

		\item Vérifier que pour tout réel $x$, on a : $f(x) = 2\dfrac{x ^2}{\text{e}^x} - 5\dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{2}{\text{e}^x}$.

		\item À l'aide de $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 
\dfrac{\text{e}^x}{x^2}$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 
\dfrac{\text{e}^x}{x}$, déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 
\dfrac{x^2}{\text{e}^x}$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 
\dfrac{x}{\text{e}^x}$, puis $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

Quelle interprétation graphique peut-on en faire ?

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$, puis vérifier que $f'(x) = P(x)\text{e}^{-x}$.

		\item À partir du signe de $P(x)$, déterminé en \textbf{partie A}, déduire le signe de $f'(x)$.

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

	\end{enumerate}

\item Déduire du \textbf{1.} de la \textbf{partie A} les solutions dans 
$\R$ de l'équation $f(x) = 0$ ; en déduire les coordonnées des deux 
points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.

\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (donner 
les valeurs décimales arrondies à $10^{-2}$ près.)

\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
$x$		&$-0,2$	&0	&0,5	&1	&2	&3	&3,5	&4	&5	&6\\ \hline
$f(x)$	&		&	&		&	&	&	&		&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ 
dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij.

Unités graphiques : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  sur l'axe des abscisses 1 cm représente 1 ;
\item  sur l'axe des ordonnées 4 cm représentent 1.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}
\end{document}