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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Baccalauréat STT CG - IG juin 2004}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT CG-IG  Centres étrangers juin 2004~\decofourright}}
\end{center}
    
 \vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}\\
Un gérant décide de visualiser l'évolution des bénéfices réalisés depuis le
nouvel aménagement de sa crêperie en 1999. Il souhaite établir des prévisions
 sur les bénéfices à venir.

\begin{center} $1\textsuperscript{er}$ Tableau

\vspace{0,25cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années						&1999	&2000	&2001	&2002	&2003\\ \hline
$x_i$ : nombre d'années		&	1	&	2	&	3	&	4	&	5\\
depuis le nouvel aménagement	&		&		&		&		&\\ \hline
$b_i$ : bénéfices réalisés	&	0,96&	1,69&	2,03&	2,31&	2,55\\
en dizaines de milliers d'euros	&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}
Pour chaque valeur de $_i$1, on pose : $y_i = \text{e}^{b_i}$.\\
On obtient le tableau suivant  qu'on ne demande pas de justifier :

\begin{center} $2\textsuperscript{e}$ Tableau
\vspace{0,25cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années						&1999	&2000	&2001	&2002	&2003\\ \hline
$x_i$ : nombre d'années		&1		&2		&3		&4		&5\\
depuis le nouvel aménagement&		&		&		&		&\\\hline
$y_i = \text{e}^{b_i}$		&2,6	&5,4	&7,6	&10,1	&12,8\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

\begin{enumerate} \item Dans un repère orthogonal, représenter le nuage de points $M_i(x_i~ ;~ 
y_i)$ issus du $2\up{e}$ tableau, où :

\begin{itemize}
\item  2 cm représentent une année sur l'axe des abscisses ;
\item  1 cm représente une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
	
\item Soit G le point moyen des $M_i\left(x_i~;~ y_i\right)$ issus du 
$2\up{e}$ tableau.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées de G, puis placer le point G.	
		\item Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par G et par le point A(4,5~;~11,45).

Montrer que la droite $\mathcal{D}$ a pour équation :

\[y = 2,5x+ 0,2\]

et tracer la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate} 		
\item Le gérant aimerait prévoir les bénéfices qu'il devrait réaliser pour l'année
2004 ; on considère que $\mathcal{D}$ est une droite d'ajustement affine de 
ce nuage de points.
	\begin{enumerate} 
		\item à l'aide de l'équation de la droite $\mathcal{D}$ , calculer la valeur
 prévue de $y_{6}$ pour l'année 2004.

Vérifier ensuite graphiquement la valeur trouvée (faire apparaître les traits  de construction).
		\item En déduire la valeur du bénéfice $b_i$ prévu pour l'année 
2004 arrondi à l'euro près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip
 	
\textsl{Dans cet exercice, on donnera la valeur exacte de tous les 
résultats.}

Lors de la dernière journée d'un championnat international d'athlétisme,
les athlètes sont encouragés par \np{75000} spectateurs.

$70\:\%$ des spectateurs sont français et $30\:\%$ sont étrangers.

De plus, $85\:\%$ des spectateurs étrangers et $25\:\%$ des spectateurs français
possèdent une licence d'athlétisme.

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau suivant (aucune justification
 n'est demandée)

\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Licenciés	&	Non licenciés	&	Total\\ \hline
Spectateurs français	&			&					&\\ \hline
Spectateurs étrangers	&			&					&\\ \hline
Total					&			&					&\np{75000}\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

\item On choisit une personne au hasard parmi les spectateurs.

On note les évènements suivants

$\bullet~$ F : \og le spectateur est français \fg{} ;

$\bullet~$ L : \og le spectateur possède une licence d'athlétisme \fg.

	\begin{enumerate} 
		\item Définir à l'aide d'une phrase les évènements 
suivants : $\overline{\text{F}},~\overline{\text{L}},~\text{F} \cap  \text{L}$.
		\item Calculer les probabilités des évènements F et L.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $\text{F} \cap  \text{L}$.
	
En déduire la probabilité de l'évènement $\text{F} \cup  \text{L}$.
	\end{enumerate}	
\item Le prix d'une place au tarif normal est de 70 euros.

Sachant que chaque spectateur licencié obtient une remise de $10\:\%$, calculer
la recette obtenue lors de la dernière journée des championnats.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

L'objet de ce problème est l'étude d'une fonction $f$ issue d'un problème économique.\\
Soit \Oij~ un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ + \infty[$ par :

\[f(x) =\dfrac{1}{2}x^2  -6x + 8\ln x+ \dfrac{11}{2}.\]

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par

\[g(x) = x^2-6x+8.\]
On note $\mathcal{C}_f$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans le repère
\Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x$ dans $\R$

\[g(x) = (x-2)(x-4).\]

Étudier suivant les valeurs de $x$ le signe de $g(x)$.	
\item étude des limites de la fonction $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item étudier la limite de la fonction $f$ en $0$. Que peut-on en déduire
graphiquement ?
		\item On écrit $f$ sous la forme

\[f(x)= x\left(\dfrac{1}{2}x-6\right) + 8\ln x + \dfrac{11}{2}.\]

Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item  Étude des variations de la fonction $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ et montrer que
 pour tout $x \in  ]0~;~+ \infty[$, on a :

\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}.\]

		\item à l'aide de la \textbf{question 1.} étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point
d'abscisse 1.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ et sa tangente T. 	
\item Calcul d'une aire.
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer la partie $\mathcal{E}$ du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 4$.

Déterminer graphiquement le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle [1 ; 4].	
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[F(x)= \dfrac{x^3}{6} - 3x^2+ 8x \ln x - \dfrac{5}{2}x,\]

est une primitive de la fonction $f$.
		\item Calculer la valeur exacte exprimée en cm$^2$, de l'aire de la partie $\mathcal{E}$.

Donner une valeur décimale approchée arrondie à 0,01 près de cette aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}