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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BaccalauréŽat  STT C.G--I.G}
\lfoot{\small{La RŽéunion}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STT C.G. -- I.G. La RéŽunion ~\decofourright\\juin 2005}} 
    
\vspace{0,25cm}

\emph{Fournir du papier millimŽétrŽé au candidat.}

\emph{L'usage des calculatrices et du formulaire officiel est autorisé.}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points }

\medskip

Une entreprise de menuiserie fabrique des étagères. Elle propose trois hauteurs différentes ($120$~cm, $180$~cm, $200$~cm), deux largeurs différentes ($60$~cm, $80$~cm), et trois coloris différents (acajou, chêne foncé et pin). Elle peut ainsi, par exemple, fabriquer une étagère de $200$~cm de haut, $60$~cm de large, coloris chêne foncé.

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de variétés d'étagères différentes à fabriquer (on pourra utiliser un arbre).

\item Une chaîne de magasins souhaite travailler avec cette entreprise et décide de contrôler la qualité de fabrication en choisissant une étagère au hasard. Le stock contient le même nombre de chaque variété d'étagères.

Calculer la probabilité des évènements suivants (on donnera les résultats sous forme de fraction irréductible)

A \og l'étagère est coloris acajou \fg{} ;

B \og l'étagère mesure moins de $190$~cm de haut \fg{} ;

C \og l'étagère est coloris pin ou mesure $60$~cm de large \fg.

\item L'étagère contrôlée fait $200$~cm de haut. Quelle est la probabilité qu'elle fasse $80$~cm de large ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points }

\medskip

Un jardinier souhaite aménager un parterre.

Deux jardineries proposent :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  l'une, le lot A constitué de $5$ tulipes, $3$ muscaris, $2$ narcisses pour une somme de $1,90$~\euro{} ;
\item  l'autre, le lot B constitué de $6$ tulipes, $1$ muscari, $3$ narcisses pour une somme de $0,90$~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le jardinier veut planter entre $165$ et $180$ tulipes et au moins $60$~muscaris.

Le but de cet exercice est de déterminer le nombre $x$ de lots A et le nombre $y$ de lots B que le jardinier doit acheter pour que la dépense soit minimale.

\begin{enumerate}
\item	Expliquer pourquoi les contraintes auxquelles doivent satisfaire les nombres $x$ et $y$ se traduisent par le système d'inéquations :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x 			& \geqslant & 0\\
y			& \geqslant &0\\
5x + 6y		& \geqslant &165\\
5 x + 6y 	& \leqslant & 180\\
3 x + y 	& \geqslant & 60\\
\end{array}\right.\]
  
\item À tout couple $(x~;~y)$ de nombres réels, on associe le point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ dans un repère orthonormal (on choisira 1 cm pour deux unités).
  
Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées vérifient le système précédent (on hachurera la zone qui ne convient pas).

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ la dépense $D$ occasionnée par l'achat de $x$ lots A et $y$ lots B.
  
		\item  Tracer dans le repère précédent la droite correspondant à une dépense de 34,20 \euro.
  
		\item Déterminer graphiquement le nombre de lots à commander dans chaque jardinerie pour que la dépense soit minimale, en précisant la méthode utilisée.
  
		\item Quelle est alors la dépense en euros ?
  
	\end{enumerate}

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 
  
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}
  
\vspace{0,25cm} 
  
\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 
  
\[g (x) = x \text{e}^x - \text{e}^x + 1.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$.

\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $]- \infty~;~ + \infty[$.

\item Calculer $g(0)$ et en déduire que, pour tout $x \in \R,~ g(x) \geqslant 0$.
  
\end{enumerate}  
  
\bigskip 
  
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $]- \infty~;~+ \infty[$ par 
  
\[f(x)= x \text{e}^x - 2\text{e}^x + x.\]
  
\begin{enumerate}
\item	Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

\item Après avoir vérifié que pour tout réel $x$ on a $f(x) = \text{e}^x(x - 2) + x$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
  
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x) =  g (x)$.
  
\item Construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]- \infty~;~+ \infty[$.
  
\end{enumerate} 
  
\bigskip 
  
\textbf{Partie C}

\medskip

On note ($\mathcal{C}$) la représentation graphique de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique $1$~cm.
  
\begin{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que la droite ($D$), dont une équation est $y =x$, est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$) en $- \infty$.
  
		\item Montrer que la droite ($D$) coupe la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $x = 2$.
	\end{enumerate} 
  
\item Construire la droite ($D$), la courbe ($\mathcal{C}$), et la tangente à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $0$.
  
\item Soit $\mathcal{W}$ le domaine délimité par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 2$ et $x = 3$. On admettra que sur l'intervalle [2~;~3] la courbe ($\mathcal{C}$) est située au-dessus de l'axe des abscisses.
  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ lafonction définie sur $]- \infty~;~ + \infty[$ par
  
  \[F(x) = (x - 3)\text{e}^x + \dfrac{1}{2}x^2.\]

Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
  
		\item Calculer la valeur exacte, en cm$^2$, de l'aire du domaine $\mathcal{W}$. En déduire l'arrondi au centième de cette aire exprimée en cm$^2$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}