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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2005}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT novembre 2005~\decofourright}}

 {\Large \textbf{Comptabilité et Gestion - Informatique et Gestion}}

 {\Large \textbf{Nouvelle-Calédonie}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

Soient deux dés cubiques notés $D_1$ et $D_2$ dont toutes les faces
ont la même probabilité d'apparition.

Le dé $D_1$ a une face numérotée $1$ et cinq faces numérotées $2$.\\
Le dé $D_2$ a deux faces numérotées $1$, une face numérotée $2$ et trois faces numérotées~$3$.

On jette le dé $D_1$ puis le dé $D_2$ et on regarde le chiffre obtenu par chacun d'eux.

On appelle évènement élémentaire tout couple $(a , b)$ de deux chiffres, où $a$ est le chiffre apparu  sur le dé $D_1$ et $b$ le chiffre apparu sur le dé~$D_2$.

\begin{enumerate}
\item Dresser un tableau à double entrée faisant apparaître les $36$   couples possibles.
\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item $A$ : \og  deux faces portent le même numéro \fg{} ;
		\item $B$ : \og  deux faces portent des numéros différents \fg{} ;
		\item $C$ : \og  au moins une face porte le numéro $1$ \fg{} ;
		\item $E$ : \og  une des faces et une seule porte le numéro $3$ \fg.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité des évènements $(C \cap E)$ et $(C \cup E)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité
graphique $0,5$~cm. On donne deux droites $(D_1)$ et $(D_2)$
d'équations respectives $x + 2y = 30$ et $2x + y = 30$
\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point $I$,
  intersection de ces deux droites.
\item Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ du plan dont
  les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient le système :
\[
\left \{ 
  \begin{array}{l}
x \geqslant 0\\
y \geqslant 0\\
x+2y \geqslant 30\\
2x+y \geqslant 30
  \end{array}\right.
\]

\textbf{On hachurera la partie du plan qui ne convient pas.}
\item Un cyclo-club désire acheter au moins un cuissard et au moins un
  coupe-vent pour équiper chacun de ses $60$ adhérents.
  
Le trésorier du club contacte deux fournisseurs.

Le premier propose un lot $A$ composé de $2$ cuissards et $4$
  coupe-vent, au prix de $80$ \euro{} ;
  
Le second propose un  lot $B$ de $4$ cuissards et $2$ coupe-vent, au
  prix de $90$ \euro{}.
  
On désigne par $x$ le nombre de lots $A$ et $y$ le nombre de lots $B$
  commandés par le trésorier.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le système de la question \textbf{2.}
  est un système d'inéquations traduisant les contraintes d'achat.
		\item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ la dépense $d$
  occasionnée par l'achat de $x$ lots $A$ et $y$ lots $B$.
		\item Tracer la droite $(\Delta)$ d'équation $80x + 90y = \np{1800}$ dans le repère \Oij{}.
		\item En expliquant la méthode utilisée, déterminer graphiquement  les valeurs de $x$ et de $y$ qui occasionnent la dépense
minimale. Calculer alors cette dépense.
		\item En déduire la somme restant à la charge du club dans le
meilleur des cas si chaque adhérent verse $10$ \euro{}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 1 + \dfrac{\ln x}{x}.\]

On note $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2\ $cm.

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
		\item En déduire que la courbe  $(\mathscr{C})$ admet deux
  asymptotes et donner leur équation.
	\end{enumerate}
\item Soit $f'$ la dérivée de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item Donner le tableau de variations de $f$ sur  $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à
  $(\mathscr{C})$ au point A d'abscisse~$1$.
		\item Déterminer une équation de la tangente $(T')$ à
  $(\mathscr{C})$ au point B d'abscisse $\mathrm{e}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant, pour  chaque valeur de $x$, une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près  de $f(x)$:
\[
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$		&0,3	&0,4	&0,5	&0,7	&1	&2	&\mathrm{e}	&4\\  \hline
$f(x)$	&		&		&		&		&	&	&			&\\  \hline
\end{tabularx}
\]
		\item Construire $(T)$ et $(T')$, les deux asymptotes puis la courbe  $(\mathscr{C})$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par
  $h(x)=0,5 [\ln x ]^2$.
  
Montrer que $h$ est une primitive de la fonction $g$ définie par
  $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $] 0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en cm$^2$, l'aire $D$ du domaine plan limité par la  courbe $(\mathscr{C})$, l'axe des abscisses et les droites  d'équation $x = 1$ et $x = \mathrm{e}$.
		\item Calculer en cm$^2$, l'aire du domaine plan délimité par les
  droites d'équations $x=1$, $x=\mathrm{e}$, $y=1$ et l'axe des
  abscisses.
		\item En déduire, en cm$^2$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $(\mathscr{C})$ et les droites d'équation $y = 1$, $x = 1$ et $x = \mathrm{e}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}