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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT CG-IG}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{31 mars 2005}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT CG-IG  Pondichéry~\decofourright\\ 31 mars 2005 }}
\end{center}

\begin{center} La calculatrice  est autorisée.

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Les deux parties sont indépendantes}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

On répondra sur la copie par VRAI ou FAUX aux affirmations suivantes, en notant le numéro de la question.

On ne demande pas de justification.

\textsl{Barème :\\ $0,5$ point par réponse juste et $- 0,25$ par réponse inexacte. En cas de total négatif, celui-ci est ramené à $0$.}

\begin{enumerate}
\item L'équation $(\ln  x)^2 + \ln x =4$ n'admet pas de solution dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

\item $\ln \left(2^2\right)  + \ln \sqrt{2} - \ln 16 = - \dfrac{3}{2}\ln 2$.

\item L'inéquation $1 - \ln x  \geqslant  0$ admet pour ensemble de solutions l'intervalle

 $[\text{e}~;~+ \infty[$.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

À l'occasion de la naissance de leur petite-fille des grands-parents font un placement à intérêts composés sur un livret d'épargne. Le $1\up{er}$ janvier 2005 une somme de \nombre{3000}~euros est déposée. Le taux d'intérêt est de $2,5\:\%$ l'an.

Cette somme reste sur le livret d'épargne pendant de nombreuses années et on suppose que le taux d'intérêt reste fixe au cours des années.

On appelle C$_{0}$ le capital initial au $1\up{er}$ janvier 2005. Nous avons alors C$_{0} = \nombre{3000}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer C$_{1}$ et C$_{2}$. On arrondira C$_{2}$ au centime d'euros près.

\item Exprimer le capital C$_{n}$ acquis le $1\up{er}$ janvier de l'année $(2005 + n)$ en fonction de C$_{0}$ et de $n$.

\item Calculer au bout de combien d'années la petite fille disposera d'au moins \nombre{5000} euros (On sera amené à résoudre une inéquation).

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Lors d'une course cycliste comportant deux étapes, $200$ coureurs sont engagés au départ. Dans ce peloton, $15\:\%$ des coureurs dont 10 Français ont moins de $25$~ans et participent au classement du meilleurjeune. L'organisation constate que $80\:\%$ du peloton est formé de coureurs étrangers.

\begin{enumerate}
\item Reproduire puis compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{3}{c|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Jeunes coureurs de&	Coureurs de 25 ans& 	Total\\
\multicolumn{1}{c|}{}&	moins de 25 ans&	ou plus & \\ \hline
Coureurs 		&  &  	&  \\
français & 	& 		& \\ \hline
Coureurs 		& & 		& \\
étrangers 	& & 		& \\ \hline
Total 				& & 		& 200\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item À l'arrivée de la course, le peloton est réduit à $147$~unités dont $25$~jeunes de moins de $25$~ans. Pour comparer les performances des jeunes coureurs par rapport à l'ensemble du peloton, calculer :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Le taux en pourcentage des abandons des jeunes coureurs entre le départ de la première étape et l'arrivée de la course.
\item  Le taux en pourcentage des abandons des coureurs de $25$~ans ou plus entre le départ de la première étape et l'arrivée de la course.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche.

Conclure.

\item Dans le cadre de la lutte antidopage, un coureur est tiré au hasard à l'arrivée de la première étape pour passer un contrôle. Aucun abandon n'a été enregistré lors de la première étape.

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que le coureur contrôlé soit :

 Un jeune ?  Un jeune Français ?

		\item Calculer la probabilité que le coureur contrôlé soit un coureur étranger ou un coureur de 25~ans ou plus.

		\item Le coureur contrôlé est tiré parmi les jeunes coureurs de moins de $25$~ans. Quelle est la probabilité que ce coureur soit français ?

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}
Les parties B et C peuvent être traitées de manière indépendante. \end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

On étudie le taux d'équipement en micro-ordinateurs connectés à internet des ménages français. Les résultats de cette étude sont donnés dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année							&2000	&2001	&2002	&2003	&2004\\ \hline
Rang $x_{i}$					&0		&1		&2		&3		&4\\ \hline
Taux $y_{i}$  en pourcentage	&10		&17		&25		&32		&40\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire, dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i~;~} y_{i}\right)$ associé à cette série statistique. On prendra 2 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 2~cm pour $10\:\%$ sur l'axe des ordonnées. L'origine du repère sera prise dans le coin gauche de la feuille de papier millimétré.

\item  Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points obtenu puis le placer sur le graphique. En raison de l'allure du nuage de points, nous décidons d'effectuer deux ajustements successifs en vue de faire des prévisions.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B : ajustement affine}

\medskip

On choisit pour ajustement affine du nuage de points la droite $\Delta$ d'équation 

$y = 7,4 x + 10$.

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\Delta$ dans le repère précédent.

\item Montrer par le calcul que le point moyen G appartient à la droite $\Delta$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Évaluer graphiquement, en faisant apparaître tous les tracés utiles, l'année à partir de laquelle au moins $75\:\%$ des ménages seront équipés en micro-ordinateurs connectés à internet.

		\item Retrouver ce résultat par le calcul, en utilisant l'équation de la droite $\Delta$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C : ajustement logistique}

\medskip

On choisit pour ajustement du nuage de points la courbe représentant sur le graphique précédent la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{10}{0,1+ \text{e}^{-0,5x}}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ . Interpréter graphiquement ce résultat.

\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{5\text{e}^{-0,5x}}{\left(0,1 + \text{e}^{-0,5x}\right)^2}$.

		\item Déterminer le signe de $f'$ sur $[0~;~ + \infty[$ puis dresser le tableau des variations de $f$.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Après l'avoir recopié, compléter le tableau de valeurs ci-dessous en donnant les valeurs arrondies à 0,1 près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0	&0,5 	&1 	&1,5 	&2	&2,5 	&3	&3,5 	&4 	&5	&6	&7\\ \hline
$f(x)$ 	& 	& 		& 	& 		& 	& 		& 	& 		& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ sur le graphique précédent.

	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \geqslant  75$.

		\item On rappelle que, pour $x$ entier représentant le rang de l'année, $f(x)$ représente le taux en pourcentage d'équipement en micro-ordinateurs connectés à internet des ménages français.

Interpréter le résultat du \textbf{4. a.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}