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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G.- I.G.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT CG - IG Antilles juin 2005~\decofourright}} 

\vspace{0,5cm}

Coefficient 2  \hfill Durée 2 heures

\vspace{0,5cm}

La calculatrice est autorisée.

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points }

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule  des trois propositions est exacte.}

\emph{Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie.}

\emph{Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une  réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,5$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point.}

\emph{Si le total est négatif la note est ramenée à $0$}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $A$ et $B$ désignent deux évènements associés à une expérience aléatoire.

On sait que $p(A) =  0,25,~ p(B) = 0,6$ et $p(A \cup B) = 0,7$.

$p(A \cap B)$ est alors égale à :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\text{A.}\quad 0,35 &\text{B.}\quad 0,85 & \text{C.}\quad 0,15\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item Si le prix d'un article passe de $10$~\euro~ à $20$~\euro~le prix de cet article a augmenté de :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\text{A.}\quad 50\:\% &\text{B.}\quad 100\:\% & \text{C.}\quad 10\:\%\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_{1}= 10$.

Alors $u_{1}$ est égal à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\text{A.}\quad 1,25 &\text{B.}\quad 12 & \text{C.}\quad 0,625\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item Pour tout réel $x$ strictement positif, $\ln x <  1$ équivaut à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\text{A.}\quad $0 < x < \text{e}$ &\text{B.}\quad $x > 1$ & \text{C.}\quad $0 < x < 1$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(x) = x - 1 + \text{e}^{-x}$.  Le coefficient directeur de la tangente à la courbe	représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\text{A.}\quad $1 - \text{e}$ &\text{B.}\quad $1 + \text{e}$ & \text{C.}\quad $1 - \dfrac{1}{\text{e}}$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une médiathèque dispose de \nombre{1500}~titres différents. Chaque titre est présenté soit sur un support CD, soit sur un support DVD. Les \nombre{1500}~titres sont classés en trois catégories : les nouveautés qui datent  de moins de 3 mois, les titres récents qui ont entre 3 mois et un an, les titres anciens qui datent de plus de un an.

De plus, parmi les \nombre{1500}~titres proposés, il y a :

$\bullet~$	$10$\:\% de nouveautés ;

$\bullet~$	$25$\:\%de DVD ;

$\bullet~$	$10$\:\% de DVD anciens ;

$\bullet~$	$500$ titres récents ;

$\bullet~$	$70$\:\% des nouveautés qui sont des CD.

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter ce tableau d'effectifs :

\begin{tabular}{|l|*{3}{c|}}	\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}& DVD & CD & Totaux\\ \hline
Nouveautés&\multicolumn{1}{p{2.5cm}|}{}&\multicolumn{1}{p{2.5cm}|}{}&\multicolumn{1}{p{2.5cm}|}{}\\ \hline		
Titres récents 	& & & \\ \hline
Titres anciens 	& & & \\ \hline
Totaux 			& & & \\ \hline
\end{tabular}

\emph{Dans toute la suite de l'exercice toutes les probabilités seront		données sous forme décimale arrondie à} $10^{-2}$ \emph{près.}

\item On choisit un titre au hasard dans la médiathèque.

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité des évènements suivants :

$\bullet~$ E : \og Ce titre est un titre récent \fg{} ;

$\bullet~$ F : \og Ce titre est un CD \fg{} ;

$\bullet~$ G :	\og Ce titre est un CD récent \fg{} ;

$\bullet~$ H : \og Ce titre n'est pas une nouveauté \fg{} ?
		
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement : \og Ce titre est un titre récent ou un CD \fg{} ?
			
	\end{enumerate}
			
\item Un titre est choisi au hasard parmi les anciens. Quelle est la probabilité que ce soit	un DVD ?
			
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x + \dfrac{4}{1 + \text{e}^x}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de$f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites en $+ \infty$ et$- \infty$ de la fonction $f$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On désigne par$f'$ la fonction dérivée de $f$.

Montrer que, pour tout réel $x,~f'(x) = \left(\dfrac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\right)^2$.

		\item En déduire le sens de variations de$f$sur $\R$ et dresser le tableau de variations de $f$.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite  $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est asymptote à  $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.

Étudier la position de  $\mathcal{C}$ par rapport à  $\mathcal{D}$.

		\item On admet que la droite  $\mathcal{D}'$ d'équation $y = x + 4$ est asymptote à  $\mathcal{C}$ en $- \infty$.

Étudier la position de  $\mathcal{C}$ par rapport à  $\mathcal{D}'$.

		\item Sur le graphique fourni en annexe, préciser les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ et tracer la courbe $\mathcal{C}$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,~f'x) = x + 4 - \dfrac{4\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$.

\item En déduire que la fonction $F$ définie sur $\R$ par :

\[F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 4x - 4 \ln \left(1 + \text{e}^x\right)\]

est une primitive sur $\R$ de $f$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(-1)$. En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $[-1~;~1]$.

		\item Calculer la valeur exacte de l'aire, en cm$^2$, du domaine du plan compris entre $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = - 1$ et $x = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-6,-6)(6,6)
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\rput(0,7){\textbf{ANNEXE}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}