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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G.--G.I. juin 2004}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{ juin 2004}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat 
STT C.G - G.I. Métropole   juin 2004~\decofourright}} 
\end{center}
\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Une commune désire aménager un nouvel espace vert. Une société de
vente lui propose des lots A comprenant dix rosiers, un magnolia et un
camélia pour un montant de 200 \euro{} ou des lots B comprenant cinq rosiers, un magnolia et trois camélias pour un montant de 300 \euro. Les besoins sont d'au moins 100~rosiers, 16~magnolias et 30~camélias. On désigne par $x$ le nombre de lots A, et par $y$ le nombre de lots B achetés.

L'annexe 1 présente une solution graphique de ce problème.

Ce graphique sera complété et remis avec la copie.

\begin{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la contrainte concernant les rosiers ?

Quelle est la droite frontière associée à cette contrainte ?

		\item Quelle est la contrainte concernant les magnolias ?

Quelle est la droite frontière associée à cette contrainte ?

		\item Quelle est la contrainte concernant les camélias ?

Quelle est la droite frontière associée à cette contrainte ?

	\end{enumerate}

\item Si $d$ désigne la dépense totale en euros pour l'achat des $x$ lots A e-$y$ lots B, montrer que :

			
\[y = - \dfrac{2}{3} x+ \dfrac{d}{300}.\]

Tracer la droite $\Delta$ d'équation $y = - \dfrac{2}{3} x+ \dfrac{d}{300}$ lorsque $d = \nombre{5400}$.

\item Expliquer comment obtenir à l'aide du graphique le couple $(x ~;~ y)$ qui permet de satisfaire les besoins au co\^ut le plus faible possible.

Quel est ce couple ? Calculer alors la dépense minimale possible.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une urne contient quatre boules : deux rouges, une verte et une jaune,
indiscernables au toucher.

On tire au hasard une boule de cette urne. Après avoir noté la couleur de la boule obtenue, on la replace dans l'urne et on procède à un second tirage.

On note alors à nouveau la couleur obtenue.

\begin{enumerate} 
\item Dessiner l'arbre correspondant à cette expérience.

\item Soit E l'évènement : \og les deux boules tirées sont rouges \fg{} et F l'évènement : \og une seule des deux boules tirées est rouge \fg{}.

À l'aide de l'arbre, calculer les probabilités $p$(E) et $p$(F). 

\item Définir par une phrase l'évènement G = E ~$\cup$~ F. Calculer $p$(G).

\item À l'aide de $p$(G), calculer $p$(H) où H est l'évènement : \og aucune des deux boules tirées n'est rouge \fg{}.

\item Les boules de l'urne portent chacune un numéro : les rouges le
numéro 1, la verte le numéro 2, la jaune le numéro 4. On s'intéresse maintenant aux numéros obtenus lors des tirages.

On appelle $S$ la somme des numéros obtenus après le tirage des deux boules. Quelle est la probabilité que $S$ soit supérieure ou égale à 4 ? (on pourra faire apparaître les différentes sommes à l'extrémité des branches de l'arbre de la \textbf{question 1}).

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = a + (x + b)\text{e}^{-x}.\]
où $a$ et $b$ sont deux réels donnés.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij{}  avec pour unités graphiques 1~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f(x)$, où $f'$ désigne la dérivée de la fonction
 $f$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En annexe 2 est fourni le tracé de la tangente T à$\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

Ce graphique sera remis complété avec la copie.

Justifier que $f(0) = 2$ et $f'(0) = 2$.

		\item À l'aide de ces deux égalités, déterminer les réels $a$ et $b$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

On prend pour tout réel $x$

\[f(x) = 3 + (x - 1)\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

\item Montrer que, pour tout réel $x$ :
		
\[f(x) = 3 + \dfrac{x}{\text{e}^x} - \text{e}^{-x}.\]

Sachant que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$, déterminer la limite de $f$ en $+ 
\infty$.

En déduire une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.

\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ :

\[f'(x) = (2 - x)\text{e}^{- x},\]

où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$.

Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.

Dresser le tableau de variations de $f$.

		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur le graphique en annexe 2.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par :

\[F(x) =x\left(3 - \text{e}^{-x}\right),\]

est une primitive de $f$ sur $\R$.

\item Déterminer l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 1}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=3.9mm}
\begin{pspicture}(31,21)
\psaxes[Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(31,21)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridwidth=0.5pt,subgridwidth=0.25pt](0,0)(31,21)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){1} \uput[dl](0,1){1}
\pspolygon[fillstyle=vlines](0,0)(10,0)(0,20)
\pspolygon[fillstyle=hlines](0,0)(16,0)(0,16)
\pspolygon[fillstyle=crosshatch](0,0)(30,0)(0,10) 
\uput[u](2,17){$\mathcal{D}_1$}
\uput[u](7,10){$\mathcal{D}_2$}
\uput[u](22,3){$\mathcal{D}_3$}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Annexe 2}

\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(9,5)
\psaxes[Dx=2,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-1)(9,5)
\psline[linecolor=blue](-1.5,-1)(1.5,5)
\psline[linestyle=dotted](-4,4)(8,4)
\psline[linestyle=dotted](-4,3)(8,3)
\psline[linestyle=dotted](1,-1)(1,5)
\psline[linestyle=dotted](2,-1)(2,5)
\uput[l](-1.5,-0.8){T}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}