\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-func,pstricks-add}%
\usepackage{color,colortbl}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
% Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\setlength\headheight{14pt}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{fancyhdr}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion},
pdftitle = {Métropole - 16 mai 2025},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{mai 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[7pt] mai 2026- Comptabilité et gestion}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES \qquad 2 heures}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large{}Exercice 1\hfill 9 points}

\medskip

\emph{Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau suivant indique le nombre (en milliers) de véhicules électriques en circulation en France entre 2020 et 2024.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A & B& C& D& E& F\\ \hline
1& Année& 2020 &2021 &2022 &2023& 2024\\ \hline
2& Rang de l'année : $_i$&0&1&2&3&4\\ \hline
3&\footnotesize Nombre (en milliers) de véhicules électriques en circulation : $y_i$&297 &469&690& \np{1020}& \np{1336}\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{\footnotesize (source : www.avere-france.org)}\\
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, sous la forme $y = ax + b$, selon la méthode des moindres carrés.

\emph{On donnera la valeur exacte des coefficients $a$ et $b$.}
\item On décide d'ajuster le nuage de points de cette série statistique (xi ; yi) par la droite d'équation $y = 263x + 237$.
Selon ce modèle :
	\begin{enumerate}
		\item estimer le nombre de véhicules électriques en 2028.
		\item estimer l'année à partir de laquelle le nombre de véhicules électriques dépassera
pour la première fois \np{3000} milliers. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le nombre (en milliers) de voitures fonctionnant à l'essence immatriculées chaque année en France entre 2020 et 2024.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2020 &2021 &2022 &2023 &2024\\ \hline
Nombre de voitures essence (en milliers)&
803 &701 &611& 673 &530\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{(\emph{source : developpement-durable.gouv.fr})}
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'entre 2020 et 2024, le nombre de ces voitures a baissé d'environ 34\,\%.
		\item En déduire le taux d'évolution annuel moyen du nombre de ces voitures entre
2020 et 2024. Arrondir le résultat à 0,01\,\%.
	\end{enumerate}
\item On modélise la situation par une suite $(u_n)$ où un est le nombre (en milliers) de ces voitures l'année ($2024 + n$). On a ainsi : $u_0 = 530$.

On estime qu'à partir de 2024, chaque année, le nombre de ces voitures diminue de 10\,\%. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $u_1 = 477$.
		\item Donner, sans justifier, la nature de la suite $(u_n)$. Préciser sa raison. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item D'après ce modèle, quel serait le nombre de ces voitures en 2030 ? Arrondir au millier.
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline
Ligne 1 & $N \longleftarrow  0$\\ \hline
Ligne 2 & $U \longleftarrow 530$\\ \hline
Ligne 3 	&Tant que \ldots\\ \hline
Ligne 4 & $N \longleftarrow N + 1$\\ \hline
Ligne 5 & $U \longleftarrow \ldots$\\ \hline
Ligne 6 & Fin Tant que\\ \hline
Ligne 7	& $N \longleftarrow 2024 + N$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Deux lignes (ligne 3 et ligne 5) de cet algorithme n'ont pas été renseignées.

On veut que, après exécution de cet algorithme, la variable $N$ contienne l'année à partir de laquelle le nombre de ces voitures sera pour la première fois strictement inférieur à 100 milliers selon ce modèle.

	\begin{enumerate}
		\item Que doit-on écrire en ligne 3 ?
		\item Que doit-on écrire en ligne 5 ?
		\item D'après ce modèle, en quelle année le nombre de ces voitures sera-t-il, pour la première fois. strictement inférieur à 100 milliers ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large{}Exercice 2\hfill 11 points}

\medskip

\emph{Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

Toutes les probabilités seront arrondies au millième.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On s'intéresse à une usine automobile qui assemble et vend deux types de véhicules : des voitures et des véhicules utilitaires.

Parmi tous ces véhicules, 18\,\% possèdent un moteur électrique, 38\,\% disposent d'un moteur thermique (essence ou diesel) et les autres ont un moteur hybride.

On sait, de plus, que les voitures représentent 80\,\% des véhicules électriques, 60\,\% des véhicules thermiques et 75\,\% des véhicules hybrides. Les autres véhicules sont des véhicules utilitaires.

On choisit au hasard un véhicule dans la production de cette usine. Tous les véhicules ont la même probabilité d'être choisis.

On considère les évènements suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
$\bullet~$ $E$ : \og le véhicule est électrique \fg&
$\bullet~$ $H$ : \og le véhicule est hybride \fg\\
$\bullet~$ $T$ : \og le véhicule est thermique \fg&
$\bullet~$ $V$ : \og le véhicule est une voiture \fg\\
\end{tabularx}
\end{center}

On notera $\overline{V}$ l'évènement contraire d'un évènement $V$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter sur sa copie l'arbre de probabilités ci-dessous.

\begin{center}
\psset{levelsep=4cm,nodesepB=4pt, treesep=1cm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]{\TR{}}
{
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$E$}\naput{\blue $0,18$}}
{
	\TR{$V$}\naput{\blue $0,8$}
			\TR{$\overline{V}$}\nbput{\blue \ldots}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$T$}\nbput{\blue \ldots}}
	{
	\TR{$B$}\naput{\blue  \ldots}
			\TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue  \ldots}
	}
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$H$}\nbput{\blue  \ldots}}
	{
	\TR{$B$}\naput{\blue  \ldots}
			\TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue  \ldots}
	}
}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(E \cap V)$.
		\item Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que $P(V) = 0,702$.
\item On suppose que le véhicule choisi est une voiture.

Quelle est la probabilité que cette voiture soit électrique ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On prélève au hasard $100$~véhicules de cette usine automobile.

On suppose que le nombre de véhicules assemblés est assez grand pour assimiler ce prélèvement
à un tirage avec remise.

On rappelle que $P(E) = 0,18$.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque prélèvement de $100$véhicules, associe le nombre de véhicules électriques.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale, dont on précisera les paramètres.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(X = 20)$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item Calculer $P(X \leqslant 10)$.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au moins $16$~véhicules soient
électriques.
\item Calculer le nombre moyen de véhicules électriques dans un tel prélèvement de $100$véhicules.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour l'achat de sa future voiture électrique, un client contracte un prêt de \np{20000}~\euro.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ce prêt de \np{20000}~\euro{} représente 80\,\% du prix total de la voiture.

Combien coûte cette voiture ?
\item Ce prêt de \np{20000}~\euro{} est remboursable en $60$ mensualités constantes au taux mensuel de 0,4\,\%.

On rappelle que, si $V_0$ désigne le capital emprunté, $t$ désigne le taux mensuel de l'emprunt et $n$ désigne le nombre de mensualités, alors le montant d'une mensualité constante $m$ est
donné par $m = V_0 \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{-n}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le montant de la mensualité constante correspondant à cette situation est proche de 375,59~\euro.
		\item En déduire la somme totale remboursée dans le cadre de ce prêt. 
		\item Quel est le coût de cet emprunt ?
	\end{enumerate}
\item On a construit une partie du tableau d'amortissement du prêt contracté par ce client :

{\small \begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A	&B	&C	&D	&E\\ \hline
1&\textbf{Emprunt}&\textbf{Taux mensuel}&\textbf{Mensualité} & &\\ \hline
2&\np{20000}~\euro	&0,40\,\%	&375,59~\euro	&	&\\ \hline
3&					&			&				&	&\\ \hline
4&\textbf{Mois}				&\textbf{Capital restant dû en début de mois}&\textbf{Intérêts mensuels}&\textbf{Mensualités constantes}&\textbf{Amortissement}\\ \hline
5&1					&\np{20000}~\euro	&80,00~\euro&375,59~\euro&295,59~\euro\\ \hline
6&2					&19 704,41~\euro	&78,82~\euro&375,59~\euro& 296,78~\euro\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule a pu être saisie en C5 afin que, par recopie vers le bas, on complète le tableau ?
		\item Quelle formule a pu être saisie en E5 afin que, par recopie vers le bas, on complète le tableau ?
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}