\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-func,pstricks-add}% \usepackage{color,colortbl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength\headheight{14pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion}, pdftitle = {Métropole - 16 mai 2025}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} \rfoot{\small{mai 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\[7pt] mai 2026- Comptabilité et gestion}} \bigskip {\Large \textbf{MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES \qquad 2 heures}} \end{center} \medskip \textbf{\large{}Exercice 1\hfill 10,5 points} \medskip Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. La Commission Nationale de l’Informatique et des Libertés (CNIL) est un organisme chargé de veiller à la protection des données personnelles contenues dans les fichiers numériques ou papiers. Pour cela, elle effectue des contrôles et a un pouvoir de mise en demeure et de sanction. Le but de cet exercice est de s’intéresser à certaines des activités de la CNIL sur les dernières années. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul d’un tableur, donne l’évolution du nombre de mises en demeure prononcées par la CNIL sur les dernières années (source : CNIL, rapport annuel 2024). \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E\\ \hline 1&Année&2021&2022&2023&2024\\ \hline 2&Rang de l'année : $x_i$&0&1&2&3\\ \hline 3&Nombre de mises en demeure prononcées : $y_i$&135&147&168&180\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Les nombres de mises en demeure pour les années 2021 à 2024 peuvent-ils être des termes consécutifs d’une suite arithmétique ? Justifier. \item À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ sous la forme $y = ax + b$, selon la méthode des moindres carrés. On donnera les valeurs exactes des coefficients $a$ et $b$. \item Dans cette question, on décide d’ajuster le nuage de points de cette série statistique $(x_i~;~y_i)$ par la droite d’équation : $y = 16x + 134$. Selon ce modèle : \begin{enumerate} \item à combien peut-on estimer le nombre de mises en demeure en 2026 ? \item déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de mises en demeure dépassera $300$ pour la première fois. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul d’un tableur, donne l’évolution du nombre de sanctions prononcées par la CNIL sur les dernières années (source : CNIL, rapport annuel 2024). La ligne 3 du tableau est au format nombre, arrondi à 0,1. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E\\ \hline 1&Année&2021&2022&2023&2024\\ \hline 2&Nombre de sanctions prononcées&18&21&42&87\\ \hline 3&Indices (base 100 en 2021)&100,0&116,7&&483,3\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Proposer une formule à saisir dans la cellule C3 et qui, par recopie vers la droite, permet d’obtenir les indices annuels successifs de la ligne 3 du tableau. \item Calculer la valeur contenue dans la cellule D3 du tableau. Arrondir à 0,1. \end{enumerate} \item Calculer le taux d’évolution du nombre de sanctions entre 2022 et 2024. Arrondir à 0,1\,\%. \item \begin{enumerate} \item Justifier qu’entre 2021 et 2024, le nombre de sanctions a augmenté d’environ 383,3\,\% \item Calculer le taux d’évolution annuel moyen correspondant. Arrondir à 0,1\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip On suppose dans cette question qu’à partir de l’année 2024, le nombre de sanctions va augmenter tous les ans de 69\,\%. On décide de modéliser ce nombre par une suite $(u_n)$ où $u_n$ désigne le nombre de sanctions prises pour l’année $(2024 + n)$. On a ainsi : $u_0 = 87$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la valeur arrondie à l’unité de $u_1$, puis de $u_2$. \item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Donner sa raison. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter sur votre copie les lignes 4 et 5 de l’algorithme ci-après afin qu’après son exécution, la variable $N$ contienne l’année à partir de laquelle, selon ce modèle, le nombre de sanctions prononcées par la CNIL dépassera \np{5000} pour la première fois. \begin{center} \begin{tabular}{|c|l|}\hline 1&\quad $N \gets 0$\\ \cline{1-1} 2&\quad $U \gets 87$\\ \cline{1-1} 3& Tantque $U \leqslant \np{5000}$\\ \cline{1-1} 4&\qquad $N \gets \ldots$\\ \cline{1-1} 5&\qquad $U \gets \ldots$\\ \cline{1-1} 6&Fin Tant que\\ \cline{1-1} 7&$N \gets N + 2024$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Déterminer la valeur contenue dans la variable $N$ à la fin de l’exécution de l’algorithme précédent. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{\large{}Exercice 2\hfill 9,5 points} \medskip Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. \medskip Une maison de santé est une structure regroupant plusieurs professionnels de santé qui travaillent de façon coordonnée au service des patients. Le but de cet exercice est de s’intéresser au fonctionnement d’une maison de santé. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans le but d’améliorer l’accueil et les soins, les responsables de cette maison de santé ont réalisé un sondage anonyme sur leurs patients. Ce sondage a donné les résultats suivants : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item 18\,\% des patients souffrent d’une affection de longue durée (ALD). \item 13\,\% des patients se rendent à la maison de santé en utilisant un véhicule sanitaire léger (VSL) ou un taxi. Les autres se rendent à la maison de santé par leurs propres moyens. \item Parmi les patients qui se rendent à la maison de santé en utilisant un véhicule sani- taire léger (VSL) ou un taxi, 85\,\% souffrent d’une ALD. \end{itemize} On choisit au hasard un patient concerné par ce sondage. Tous les patients ont la même probabilité d’être choisis. On s’intéresse alors aux évènements suivants : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item $V$ : « le patient utilise un VSL ou un taxi pour se rendre à la maison de santé » \item $A$ : « le patient souffre d’une ALD ». On note respectivement $\overline{V}$ et $\overline{A}$ les évènements contraires des évènements $V$ et $A$. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item À partir de l’énoncé donner, sans calcul, les probabilités $P(V), P(A)$ et la probabilité conditionnelle $P_V(A)$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $P(V \cap A)$. \item En déduire que $P\left(\overline{V} \cap A\right) = \np{0,0695}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité conditionnelle $P_{\overline{V}}(A)$. Arrondir à 0,01. \item Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant : \end{enumerate} \begin{center} \psset{levelsep=4cm,nodesepB=4pt, treesep=1cm} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$V$}\naput{\blue \ldots}} { \TR{$A$}\naput{\blue \ldots} \TR{$\overline{V}$}\nbput{\blue \ldots} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{V}$}\nbput{\blue \ldots}} { \TR{$A$}\naput{\blue \ldots} \TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue \ldots} } } \end{center} \item Les responsables de cette maison de santé affirment que, parmi les personnes souffrant d’une ALD, moins de 40\,\% viennent par leurs propres moyens. Justifier ce résultat. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Pour un patient de cette maison de santé, le temps passé dans la salle d’attente avant d’être pris en charge est modélisé par la variable aléatoire $T$ qui suit la loi uniforme sur [0~;~30] (valeurs exprimées en minutes). \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le temps moyen d’attente selon ce modèle. \item \begin{enumerate} \item Déterminer $P(5 \leqslant T \leqslant 12)$. Arrondir à 0,01. \item Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. \end{enumerate} \item Déterminer la probabilité qu’un patient passe plus de 25 minutes dans la salle d’attente. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Les responsables de la maison médicale envisagent de faire construire une extension pour pouvoir y accueillir davantage de professionnels de santé. Le coût des travaux est évalué à \np{300000}~\euro. Les responsables contractent à la banque un prêt de \np{300000}~\euro remboursable en 5 annuités constantes au taux annuel de 3\,\%. On rappelle que si $C$ désigne le capital emprunté, $t$ désigne le taux annuel de l’emprunt et $n$ désigne le nombre d’annuités, alors le montant d’une annuité constante $a$ est égal à : \[a = C \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{- n}}\] \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le montant de l’annuité constante $a$ correspondant à cet emprunt. Arrondir au centime. \item Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul d’un tableur, est le tableau d’amortissement incomplet correspondant à cet emprunt. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E\\ \hline 1&Année&Capital restant dû en début d'année&Intérêts dus&Amortissement du capital&Annuité constante\\ \hline 2&1&\np{300000,00}~\euro&&&\np{65506,37}~\euro\\ \hline 3&2&&&&\np{65506,37}~\euro\\ \hline 4&3&&&&\np{65506,37}~\euro\\ \hline 5&4&&&&\np{65506,37}~\euro\\ \hline 6&5&&&&\np{65506,37}~\euro\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner les deux formules à saisir dans les cellules C2 et D2 qui, recopiées vers le bas permettent de compléter ce tableau d’amortissement. \item Calculer la valeur contenue dans la cellule D2 et la valeur contenue dans la cellule B3. \end{enumerate} \item Quel est le coût de cet emprunt ? \end{enumerate} \end{document}