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%Tapuscrit : Denis Vergès relecture François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur septembre 2020\\[5pt] Conception de produits industriels}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 :\hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Un formulaire est fourni en fin d'exercice}

\medskip

Une entreprise fabrique une pièce métallique pour la construction automobile.

Pour fabriquer cette pièce métallique, il est nécessaire de chauffer le métal à haute température puis de le faire refroidir.

On s'intéresse dans cette partie à la température de la pièce métallique lors de la phase de refroidissement.

On pose $t =0$ l'instant de début de refroidissement. La pièce métallique a alors une température de $200$~\degres C.

On décide de modéliser la température de la pièce métallique lors de la phase de refroidissement par une fonction $f$ du temps $t$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, solution de l'équation différentielle d'inconnue $y$ :

\[(E) :\quad  y'(t) + 0,05y(t) = 1,05\]

telle que $f(0) = 200$, où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

L'unité du temps $t$ est la minute et l'unité de $f(t)$, température de la pièce, est le degré Celsius (\degres C).

\bigskip

\textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle

\[ 
(E) :\quad y'(t) + 0,05y(t) = 1,05\]

où l'inconnue $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_0\right) : \quad y'(t) + 0,05y(t) = 0$.
\item Déterminer la fonction constante $g$ solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item On rappelle que $f(0) = 200$. En déduire l'expression de $f(t)$ pour $t \in [0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}
 
\medskip

Dans cette partie, on admet que $f(t) = 179\text{e}^{-0,05t} + 21$ pour $t \in [0~;~+\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la température de la pièce métallique $60$ minutes après sa sortie du moule ? Arrondir le résultat au degré le plus proche.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		\item Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 
		\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item  La pièce peut être manipulée dès que sa température est inférieure à $40$~\degres.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe un instant $t_0$ à partir duquel on peut manipuler la pièce.
		\item Déterminer la valeur de $t_0$, on donnera sa valeur exacte, puis une valeur arrondie à
la minute près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{FORMULAIRE}

\smallskip\\
\textbf{Équation différentielle d'ordre 1}\\
Les solutions de l'équation différentielle homogène $\left(E_0\right) :\quad  ay'(t) + by(t) = 0$ sont les fonctions $y$ définies sur un intervalle $I$ par:

\[y(t) = k\text{e}^{-\frac{b}{a}t},\quad  \text{avec }\:k\: \text{constante réelle}.\]

\smallskip
\textbf{Formule de dérivation}\\
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur $I$ et on a :

\[\left(\text{e}^{u}\right)' = u'\text{e}^{u}.\]
\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Exercice 2 : \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise produit des pièces à l'aide d'une machine-outil.

\bigskip

\textbf{Partie A: Évolution du chiffre d'affaires}

\medskip

Depuis 2012, l'entreprise a développé une nouvelle démarche commerciale qui lui a permis d'améliorer son chiffre d'affaires.

Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017 	&2018 	&2019\\ \hline
Rang $x_i$ de l'année	& 0 	&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7\\ \hline
Chiffre d'affaires $y_i$
 en millions d'euros	&4,41 	&4,59 	&4,76 	&5,1 	&5,34 	&5,59 	&5,67 	&5,82\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal d'unités: 2 cm pour 1 an en abscisse, et 2 cm pour 1 million en ordonnée.
		\item Un ajustement affine de ce nuage de points semble-t-il approprié ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le point moyen $G(x~;~y$).
\item A l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$ où $a$ et $b$ sont à arrondir au centième.
\item Pour cette question, on prendra la droite d'équation $y = 0,2x + 4,4$ qui réalise un ajustement de l'évolution du chiffre d'affaire sur cette période.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer cette droite dans le repère de la question 1. a.
		\item Si cette évolution se poursuit, estimer le chiffre d'affaires de cette entreprise en 2021, au dixième de million près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Pannes de la machine-outil}

\medskip

L'entreprise étudie régulièrement le nombre de pannes survenant sur sa machine-outil.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute période de $100$ jours consécutifs tirés au hasard, associe le nombre de pannes de la machine-outil.

Une étude menée par l'entreprise permet d'admettre que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda = 4$.

On rappelle que pour tout nombre $k$ entier, on a $P(X = k) = \dfrac{\lambda^k}{k!}\text{e}^{-\lambda}$.

Donner les résultats arrondis au centième près.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P(X = 2)$.
\item Déterminer la probabilité de l'évènement: \og la machine a strictement plus de 5 pannes pendant la période de 100 jours consécutifs \fg.
\item Déterminer le plus petit entier n tel que : $P(X\leqslant n) > 0,99$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :Test de validité d'hypothèse}

\medskip

Parmi les pièces produites, cette entreprise fabrique des tubes métalliques.

On s'intéresse à la fabrication de tubes métalliques dont la longueur doit être de $165$ millimètres.

On souhaite vérifier la qualité de la production concernant les dimensions de cette pièce.

On propose de construire un test d'hypothèse bilatéral pour contrôler la moyenne $m$ des longueurs en millimètre des tubes produits.

On note $Z$ la variable aléatoire qui à chaque tube prélevé dans la production associe sa longueur en mm. $Z$ suit la loi normale de moyenne inconnue $m$ et d'écart type $\sigma = 0,6$.

On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de $100$ tubes prélevé dans la production, associe la moyenne des longueurs de tube.

L'hypothèse nulle $H_0$ est: \og $m = 165$ \fg. Dans ce cas la production est dite conforme pour la longueur. 

Le seuil de signification du test est fixé à 5\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'hypothèse alternative $H_1$ ?
\item Sous l'hypothèse $H_0$, la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne $m' = 165$ et d'écart-type $\sigma' = 0,06$.

Déterminer, sous l'hypothèse $H_0$, le réel positif $h$ tel que $P(16S- h \leqslant 165 + h) = 0,95$.
\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item On prélève un échantillon aléatoire de $100$ tubes dans la production.

La moyenne des longueurs des $100$ tubes de cet échantillon est $164,91$mm.

 Peut-on juger que la qualité de la production est bonne ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{document}