\documentclass[11pt]{article} \newcommand{\i}{$\text{i}$} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{accents} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{listings} \usepackage{tikz} \usepackage{lscape} \usepackage[mathscr]{eucal} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{13.6pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[dvips]{color} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{$k$}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\,\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Épreuve 2} \lfoot{\small{CAPES externe Mayotte }} \rfoot{\small{31 mars 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{\Large CAPES externe Mayotte Épreuve 2 31 mars 2026} \medskip {\Large\bfseries PROBLÈME 1 : VRAI -- FAUX} \end{center} Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. \begin{enumerate} \item \textbf{Proposition :} si chaque année le prix d'un article augmente de 19\%, alors le prix de cet article aura plus que doublé en 4 ans. \item \textbf{Proposition :} l'écart-type de la série $-3\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3$ est égal à 4. \item Une association emploie trois salariés. Leur salaire moyen est de 1\,758~\euro, leur salaire médian est de 1\,925~\euro, et l'étendue des salaires est de 900~\euro. L'association recrute une quatrième personne, ce qui fait passer le salaire moyen à 1\,931,50~\euro. \textbf{Proposition :} le salaire de la 4\textsuperscript{e} personne est inférieur à 2\,450 euros. \item \textbf{Proposition :} pour tout réel $x \geqslant 1$, $\displaystyle\left(\sqrt{x - \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}\right)^2 = 2x$. \item \textbf{Proposition :} les réels $x$ vérifiant $4 \leqslantslant x^2 \leqslantslant 9$ sont les réels de l'intervalle $[2\,;\,3]$. \item Soit $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls. \textbf{Proposition :} si $a \geqslant 2b$, alors $a^2 \geqslant 2ab$. \item \textbf{Proposition :} si un entier $a$ est divisible par les entiers $b$ et $c$, alors il est divisible par le produit $bc$. \item \textbf{Proposition :} si $n$ est un entier impair, alors $n^2 \equiv 1 \pmod{4}$. \item On lance un dé équilibré à six faces numérotées 1, 2, 3, 4, 5, 6. Soit $A$ l'évènement \og obtenir 1, 2, 3 ou 4 \fg\ et $B$ l'évènement \og obtenir 4 ou 5 \fg. \textbf{Proposition :} $A$ et $B$ sont indépendants. \item Soit $A$ et $B$ deux évènements. \textbf{Proposition :} si $P(A) + P(B) = 1$, alors $A \cup B$ est un évènement certain. \item La variable aléatoire $Y$ suit une loi normale d'espérance $\mu = 0$ et d'écart type $\sigma$ inconnu. \textbf{Proposition :} si $P(-6 < Y < 6) = 0{,}86$ alors $P(Y < 6) = 0{,}93$. \end{enumerate} \begin{minipage}{0.8\linewidth} \begin{enumerate}[resume] \item Un caractère d’écriture en braille est formé de trous obtenus en piquant une feuille de papier à travers au moins l'un des 6 points de la grille ci-contre : \textbf{Proposition}: on peut créer exactement 15 caractères ayant 4 trous. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.13\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(1.5,2.6) \psframe(0.1,0.1)(1.3,2.5)\psline(0.1,1.3)(1.3,1.3) \psdots(0.1,0.1)(1.3,0.1)(0.1,1.3)(1.3,1.3)(0.1,2.5)(1.3,2.5) \end{pspicture} \end{minipage} \begin{enumerate}[start=13] \item \textbf{Proposition :} on peut construire un rectangle d'aire $7\ \text{cm}^2$ et de périmètre $12{,}5\ \text{cm}$. \item \textbf{Proposition :} soit $p$ un nombre réel. L'équation $x^2 + (p+1)x + 1 = 0$, d'inconnue $x$, n'admet pas de solution réelle si et seulement si $p \in\, ]{-3}\,;\,1[$. \medskip Dans un repère orthonormé, les coordonnées des points $A$ et $B$ sont respectivement $(3\,;\,7)$ et $(-1\,;\,1)$. \item \textbf{Proposition :} une équation de la droite (AB) est $3x - 2y + 5 = 0$. \item \textbf{Proposition :} une équation du cercle de diamètre [AB] est \[x^2 + y^2 - 2x - 8y + 4 = 0.\] \item \textbf{Proposition :} sur $[0\,;\,+\infty[$, la courbe d'équation $y = \dfrac{x^2}{x+1}$ est au-dessus de la parabole $y = x^2$. \item \textbf{Proposition :} l'équation $x^3 + x + 1 = 0$ admet une unique solution sur $[-1\,;\,0]$. \item Sur la figure ci-dessous, la mesure en radians de l’angle $\widehat{\text{BAE}}$ est $\dfrac{\pi}{6}$. \textbf{Proposition} : l’aire du domaine formé par le triangle isocèle EAB et le carré BCDE est supérieure à $8$~cm$^2$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,0.3)(5.5,-2.2) \pspolygon(3.2;0)(0;0)(3.2;-30) \pspolygon(2.8,-1.6)(3.2,0)(4.8,-0.4)(4.4,-2) \uput[l](0;0){A} \uput[d](3.2;-30){B} \uput[d](4.4,-2){C} \uput[ur](4.8,-0.4){D} \uput[u](3.2;0){E} \uput[u](1.6;0){4 cm} \psline(1.55,0.1)(1.55,-0.1)\psline(1.65,0.1)(1.65,-0.1) \psline(1.5,-0.7)(1.4,-0.95)\psline(1.6,-0.75)(1.5,-1) \end{pspicture} \end{center} \item Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij. Soit A le point d'affixe $14 - 6\i$ et B le point d'affixe $4 - 10\i$. \textbf{Proposition :} le triangle OAB est un triangle rectangle isocèle. \end{enumerate} % ============================================================ \newpage \begin{center} {\Large\bfseries PROBLÈME 2 : FONCTION NUMÉRIQUE ET CALCUL INTÉGRAL} \end{center} \subsection*{Partie A : étude d'une fonction} Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par : \[f(x) = \begin{cases} x^2\!\left(\dfrac{1}{2} - \ln(x)\right) & \text{si } x > 0, \\[6pt] 0 & \text{si } x = 0. \end{cases}\] On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. \begin{enumerate} \item Résoudre l'inéquation $f(x) > 0$ sur $]0\,;\,+\infty[$. \item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. \item \begin{enumerate}[label=\alph*.] \item Démontrer que $f$ est continue sur $[0\,;\,+\infty[$. \item Démontrer que $f$ est dérivable en $0$ et donner la valeur de $f'(0)$. Interpréter graphiquement. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[label=\alph*.] \item Démontrer que pour tout réel $x > 0$, on a : $f'(x) = 2x\bigl(1 - \ln(x)\bigr)$. \item Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$. On fera apparaître les limites et les valeurs particulières. \item Déterminer l'équation réduite de la tangente $(\Delta)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1. \end{enumerate} \item On admet que pour tout réel $x > 0$, on a : $f''(x) = - 2\ln(x)$. \begin{enumerate}[label=\alph*.] \item Étudier la convexité de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$. \item Justifier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion ayant pour abscisse 1 et en donner une interprétation graphique. \end{enumerate} \item Représenter sur la copie la droite $(\Delta)$ ainsi que l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$ en tenant compte des résultats des questions précédentes. \end{enumerate} \subsection*{Partie B : calcul d'une aire} Pour tout $\lambda \in\, ]0~;~\e]$, on pose $I(\lambda) = \displaystyle\int_{\lambda}^{\e^{\frac 32}} f(t)\, \text{d}t$. \begin{enumerate} \item Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que : \[I(\lambda) = \dfrac{\lambda^3}{3}\ln(\lambda) - \dfrac{11}{36}\,\lambda^3 + \dfrac{1}{9}\,\e^{\frac 92}.\] \item Déterminer sans justifier un domaine du plan ayant pour aire $I(\lambda)$ en unités d'aire. \item Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda \to 0^+} I(\lambda)$. Interpréter ce résultat en termes d'aire et hachurer le domaine correspondant sur le graphique de la partie A, question 6. \end{enumerate} % ============================================================ \newpage \begin{center} {\Large\bfseries PROBLÈME 3 : PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET SUITES NUMÉRIQUES} \end{center} \subsection*{Partie A : probabilités conditionnelles} Lors d'une séance d'entraînement, une joueuse de basketball s'entraîne à marquer des paniers. On admet que la probabilité de réussir son 1\textsuperscript{er} tir est de 0,7. On admet de plus que : \begin{itemize} \item Lorsqu'elle a réussi un tir, la probabilité de réussir le tir suivant devient alors de 0,9 ; \item Lorsqu'elle a raté un tir, la probabilité de réussir le tir suivant n'est plus alors que de 0,4. \end{itemize} On note $R_n$ l'évènement \og la joueuse réussit le $n$-ième tir \fg\ et $\overline{R_n}$ son évènement contraire. On note enfin $p_n = P(R_n)$. Ainsi $p_1 = 0{,}7$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $p_2 = 0{,}75$. \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $p_{n+1} = 0{,}5\,p_n + 0{,}4$. \end{enumerate} \subsection*{Partie B : étude d'une suite} Dans cette partie, il s'agit d'étudier la suite $(p_n)$ définie par $p_1 = 0{,}7$ et $p_{n+1} = 0{,}5\,p_n + 0{,}4$ pour tout entier naturel $n$ non nul. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate}[label=\alph*.] \item Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul : \[0 \leqslant p_n \leqslant p_{n+1} \leqslant 0{,}8.\] \item Déduire de la question précédente que la suite $(p_n)$ est convergente. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_n = p_n - 0{,}8$. \begin{enumerate}[label=\alph*.] \item Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $v_1$. \item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis que pour tout entier naturel $n$ non nul : \[p_n = 0{,}8 - 0{,}1 \times 0{,}5^{n-1}.\] \item Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de la partie A. \end{enumerate} \item Le script ci-dessous, écrit en langage Python, est destiné à déterminer le nombre minimal $n$ de tirs pour que la probabilité $P$ que la joueuse réussisse le $n$-ième tir dépasse le seuil $S$. \begin{center} \begin{minipage}{0.45\textwidth} \begin{lstlisting} def seuil(S): n = 1 P = 0.7 while ......: n = ...... P = ...... return n \end{lstlisting} \end{minipage} \end{center} \begin{enumerate}[label=\alph*.] \item Recopier ce script sur la copie et compléter les pointillés. \item On exécute le script en prenant pour \texttt{S} la valeur \texttt{0.799}. Pourquoi est-on sûr que le programme s'arrête ? \item Donner sans justifier la valeur retournée par \texttt{seuil(0.799)}. \end{enumerate} \end{enumerate} % ============================================================ \newpage \begin{center} {\Large\bfseries PROBLÈME 4 : GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE} \end{center} L'espace est rapporté à un repère \Oijk. On utilisera les définitions suivantes : \begin{itemize} \item Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé \textbf{médiane}. \item Un tétraèdre est de \textbf{type 1} si ses faces ont la même aire. \item Un tétraèdre est de \textbf{type 2} si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux. \item Un tétraèdre est de \textbf{type 3} si chaque médiane est orthogonale à la face opposée. \item Enfin, un tétraèdre est de \textbf{type 4}, ou \textbf{régulier}, si ses six arêtes ont la même longueur. \end{itemize} \medskip \textbf{Les deux parties suivantes sont indépendantes.} \subsection*{Partie A : étude d'un tétraèdre} On considère les points suivants de l'espace : \[\text{O}(0~;~0~;~0),\quad \text{A}(1~;~0~;~0),\quad \text{B}(1~;~1~;~0),\quad \text{C}(0~;~1~;~0),\quad \text{D(1~;~0~;~1),\] \[\text{E}(1~;~1~;~1),\quad \text{F}(0~;~1~;~1),\quad \text{G}(0~;~0~;~1).\] On admet que la droite (DC) est orthogonale au plan (AGE). On note I le point d'intersection de la droite (DC) et du plan (AGE). \begin{enumerate} \item Déterminer une équation du plan (AGE). \item Déterminer une équation paramétrique de la droite (DC). \item Déterminer les coordonnées du point I. \item Démontrer que la droite (DC) est une médiane de la face (AGE) dans le tétraèdre ADGE. \item Justifier si le tétraèdre AGED est : \begin{enumerate}[label=\alph*.] \item de type 1. \item de type 2. \item de type 3. \item de type 4. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Partie B : construction d'un tétraèdre de type 2} On considère les points suivants de l'espace : \[\text{A}(0~;~0~;~1),\quad \text{B}(1~;~b~;~0),\quad \text{C}(1~;~c~;~0),\quad \text{O}(0~;~0~;~0).\] \begin{enumerate} \item Trouver une relation entre $b$ et $c$ pour que le tétraèdre OABC soit de type 2. \item Donner un exemple de tétraèdre de type 2 grâce à cette relation. \end{enumerate} \end{document}