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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small Centres étrangers}
\rfoot{\small{juin 1999}} 
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\thispagestyle{empty}   
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 1999~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

\emph{Aucun détail des calculs effectués à la calculatrice n'est
exigé dans cet exercice.}

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du chiffres d'affaires réalisé à
l'exportation par une entreprise. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année& 1990&	1991&1992&	1993&1994&	1995&1996&1997&1998\\ \hline
$x_{i}$&0	&1		&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline
$y_{i}$&100	& 101	&107&122&127&139&136&157&165\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

$x_{1}$ désigne le rang de l'année,

$y_{i}$ désigne l'indice du chiffre d'affaires à l'exportation rapporté à la base 100 en 1990.

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à la série double dans un repère orthogonal. On prendra :
		 
$\bullet$  pour origine le point $M_{0}(0~;~100)$,
 
$\bullet$  pour unités : 1,5~cm sur l'axe des abscisses,
 
\hspace{2cm} 2~cm pour 10~points d'indice sur l'axe des ordonnées.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G associé à cette série statistique et placer ce point sur le graphique. (On donnera la valeur décimale arrondie au dixième de l'ordonnée de G.)
	\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur décimale arrondie au centième du coefficient
de corrélation linéaire de la série double. Ce résultat permet-il d'envisager un ajustement affine ? Pourquoi ?
\item Soit $\mathcal{D}$, la droite d'ajustement 
de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur décimale arrondie au dixième du c?fficient directeur  de la droite $\mathcal{D}$.		 
		\item  En utilisant les coordonnées du point moyen G, donner une équation  de la droite $\mathcal{D}$.
 
Tracer cette droite sur le graphique précédent.
\end{enumerate}
\item En supposant que l'évolution du chiffre d'affaires
se poursuive de la même façon au cours des années suivantes, estimer l'indice du chiffre d'affaires de cette entreprise en l'an 2001 (on en donnera la valeur arrondie à l'unité).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{(obligatoire)}

\medskip

Une étude statistique indique que 95\,\% des téléviseurs fabriqués par une entreprise sont en état de fonctionnement. On fait subir à chaque appareil un test de contrôle.

On constate que :

$\bullet$ quand un appareil est en état de fonctionnement, il est accepté 
dans 96\,\% des cas à l'issue du test ;

$\bullet$ quand un appareil n'est pas en état de fonctionnement, il est néanmoins
accepté dans 8\,\% des cas à l'issue du test.

On choisit au hasard un téléviseur fabriqué par l'entreprise.

On définit les évènements suivants :

$F$ : \og le téléviseur est en état de fonctionnement \fg{} ;

$T$ : \og le téléviseur est accepté à l'issue du test \fg{} ;

$\overline{T}$ : \og le téléviseur est refusé à l'issue du test \fg.

Ainsi :

$\bullet$ la probabilité de l'évènement $F$, notée $P(F)$ est $0,95$ ;
 
$\bullet$ la probabilité $P(T/F)$ qu'un téléviseur soit accepté à l'issue du test sachant qu'il est en état de fonctionnement est $0,96$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le téléviseur ne soit pas en état de fonctionnement. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'un téléviseur soit refusé à l'issue du test sachant qu'il est en état de fonctionnement. 
		\item Calculer la probabilité que le téléviseur soit refusé à l'issue du test et qu'il soit en état de fonctionnement.
		\item Calculer la probabilité que le téléviseur soit refusé à l'issue du test et qu'il ne soit pas en état de fonctionnement.
	\end{enumerate}
\item En déduire la probabilité pour que le téléviseur soit refusé à l'issue du test. 
\item Quelle est la probabilité pour qu'un téléviseur soit en état de fonctionnement sachant qu'il est refusé à l'issue du test ? (On donnera  la valeur décimale arrondie au millième du résultat.) 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{(spécialité)}

\medskip

Le salaire annuel d'un technicien s'élevait pour l'année 1998  à \np{90000}~F.

Chaque année son employeur décide de l'augmenter de $2\,\%$ et de lui allouer en plus \np{5000}~F.

On désigne par $S_{0}$ le salaire du technicien pour l'année 1998. Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $S_{n}$ son salaire pour l'année $(1998 + n)$.

Par exemple : $S_{2}$ est le salaire du technicien pour l'année 2000.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $S_{1}$ et $S_{2}$. 
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer 
$S_{n+1}$	en fonction de $S_{n} $.
\item On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{n} = 
S_{n} + \np{250000}$ pour tout entier naturel.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $U_{0}$.
		\item Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,02$.
		\item Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$.
		\item En déduire le salaire prévu pour l'année 2005.
	\end{enumerate}
\item À partir de quelle année le salaire de ce technicien aura-t-il doublé ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

L'objet de ce problème est l'étude d'une fonction et le tracé de sa
représentation graphique (\textbf{partie B}) s'appuyant sur l'étude d'une fonction auxiliaire (\textbf{partie A}).

On calculera enfin une aire (\textbf{partie C}). On prendra soin
de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux
résultats.
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $a, b$ et $c$ des nombres réels. On définit une fonction $g$ sur $\R$ par \\$g(x) = (ax + b)\text{e}^{-x} + c$. On note 
$g^{\prime}$ la fonction dérivée de $g$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$.
		\item Le tableau de variation de $g$ est le suivant :
		
\begin{center}
\psset{xunit=10mm,yunit=10mm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-1,0.4)(9,-3)
\psframe(-,0.4)(9,-3)
\psline(-1,0)(9,0) \psline(-1,-1)(9,-1)  \psline(0,0.4)(0,-3)
\psline{->}(1,-2.5)(5,-1.4) \psline{->}(6.7,-1.4)(8.2,-2.4) 
\psline(6,0)(6,-1) 
\rput(-0.5,0.2){$x$}  \rput(-0.5,-0.5){$g'(x)$} \rput(-0.5,-2){$g(x)$}
\rput(0.4,0.2){$-\infty$} \rput(2.5,0.2){0} \rput(4,0.2){1} \rput(6,0.2){2}
\rput(8.5,0.2){$+\infty$}
\rput(3.5,-0.5){+} \rput(6,-0.5){0} \rput(7,-0.5){-}
\rput(0.4,-2.6){$-\infty$} \rput(2.5,-2.1){1} \rput(4,-1.64){2}
\rput(6,-1.3){$\text{e}^{-2} + 2$} \rput(8.5,-2.6){2}
\end{pspicture}
\end{center}

En utilisant les données numériques de ce tablcau, établir que $a = 1, \:b = -1$ et $c = 2$.

Ainsi, pour la suite du problème : $g(x) = (x - 1 )\text{e}^{-x} + 2$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet
 une solution unique dans l'intervalle $[- 1~;~0]$ . On note $\alpha$ cette solution.
		\item Déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur décimale arrondie au dixième de $\alpha$.
	\end{enumerate} 
\item Étudier le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à $\R$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 2 x + 1 - x\text{e}^{- x}.\]

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Déterminer la limite de $f$ en 
$+\infty$ (on admettra que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 
\dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$).
		\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ (on pourra mettre $x$ en facteur dans l'expression de $f(x)$).
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
Montrer que $f'(x) = g (x)$.
		\item Dresser, en le justifiant, le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, on appelle $(\mathcal{C})$
la représentation graphique de $f$ et $(\mathcal{D})$ la droite d'équation $y = 2x + 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}[f(x) - (2x + 1)]$.
		\item Donner une interprétation graphique de ce résultat.
		\item Étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à  $(\mathcal{D})$.
		\item Tracer $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{C})$ dans le plan muni du repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 2~cm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

Soient $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = -\text{e}^{- x}(1 +  x)$ et 
$h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = x\text{e}^{ - x}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$.
\item Hachurer sur le graphique précédent le domaine limité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(\mathcal{D})$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
\item Calculer l'aire $S$ en cm$^2$ du domaine
hachuré. 
\end{enumerate}
\end{document}