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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small Centres étrangers}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center} {\Large\textbf{Baccalauréat ES Centres étrangers juin 2000}}
\end{center}
   
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 4] dont 
la représentation graphique, dans un repère orthonormal 
\Oij, est la courbe ($\mathcal{C}$) donnée en
annexe. Cette annexe est à rendre avec la copie.

Les points M, N, P, Q et R appartiennent à ($\mathcal{C}$). Les 
coordonnées de M sont $\left(0~;~\dfrac{3}{2}\right)$, celles de N sont
$\left(1~;~\dfrac{7}{2}\right)$ ,  celles de P sont $\left(2~;~
\dfrac{5}{2}\right)$,  celles de Q sont $\left(3~;~\dfrac{3}{2}\right)$ et celles de R sont $\left(4~;~\dfrac{7}{2}\right)$.

La courbe ($\mathcal{C}$) admet en chacun des points $N$ et $Q$ une tangente  parallèle à l'axe des abscisses.
 
La droite $(\Delta)$ est la tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au 
point P ; elle passe par le point S de coordonnées (3~;~1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner $f'(1),~f'(2)$ et $f'(3)$.		
		\item Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$.		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à l'aide du graphique le nombre de
solutions de l'équation $f(x) = 3$ sur l'intervalle [ 0 ~; ~4].
		\item Tracer la droite d'équation $y = \dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{2}$
sur le document en annexe puis, à l'aide du graphique, résoudre l'inéquation $f(x) < \dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{2}$.
	\end{enumerate}
\item La fonction $f$ est la dérivée d'une 
fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~4].
En justifiant la réponse, donner le sens de variation de $F$.

\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [ 0 ~; ~4]
par :

\[g(x) = \dfrac{1}{f(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner le tableau de variations de $f$.
		\item En déduire le tableau de variations de $g$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une entreprise a fabriqué \np{20000}~objets d'un modèle
$\alpha$ en 1999. Elle réduit progressivement cette production de \np{2500}~pièces par an jusqu'à ce que la production devienne nulle. On note $u_{0}$ la production
du modèle $\alpha$ pour l'année 1999 et $u_{n}$  la production du 
modèle $\alpha$ pour l'année (1999 + $n$).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
		\item Exprimer $u_{n+ 1}$ en fonction de $u_{n}$.

Quelle est la nature de la suite $(u_{n})$ ?
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer le nombre total d'objets de modèle $\alpha$ qui auront été produits du 1\up{er} janvier 1999 au 31 décembre 2007.
	\end{enumerate}
\item Dès 1999, cette entreprise lance un nouveau 
modèle $\beta$. \np{11000}~objets du modèle $\beta$ ont été produits en 1999. La production du modèle $\beta$ augmente de 8\,\% chaque année. On note $v_{0}$ la production du modèle $\beta$ pour l'année 1999 et $v_{n}$ la production du modèle $\beta$ pour l'année ($1999 + n$). Les résultats numériques seront arrondis à l'unité près.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $v_{1} = \np{11880}$ et calculer $v_{2}$.
		\item Exprimer $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$.
Quelle est la nature de la suite $(v_{n})$ ? 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer la production de l'année 2007. 
		\item Déterminer le nombre total d'objets de modèle $\beta$ qui auront été  produits du 1\up{er} janvier 1999 au 31 décembre 2007.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soit la suite $u_{n}$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel, $u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_{n} + 3$.

\medskip
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle
$[ 0~;~+\infty[$	par $f(x) = \dfrac{1}{4} x+ 3.$
	\begin{enumerate}
		\item Tracer dans un même repère orthonormal d'unité 2 cm la représentation
graphique $(D)$ de la fonction $f$ et la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x$.
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.
		\item En faisant apparaître le mode de construction, utiliser ce graphique pour représenter $u_{1}, u_{2}$ et $u_{3}$ sur l'axe des abscisses.
		\item Quels semblent être le sens de variation et la limite de la suite $(u_{n})$ ?
	\end{enumerate}
\item Soit la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel
par $v_{n} = u_{n+ 1} - u_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel, $v_{n+1} = \dfrac{1}{4}v_{n}$. 

Quelle est la nature de la suite $(v_{n})$ ? Préciser son premier terme 
$v_{0}$.
		\item Exprimer $v _{n}$ en fonction de $n$. 		
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $u_{n}$ et en déduire que, pour  tout  entier naturel $n$,

\[u_{n} = -3 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n + 4.\]

		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 			
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[ $ par :

\[g(x) = x^2 + 1 - \ln x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la fonction dérivée de $g$ et étudier son
signe.
\item Donner le tableau de variations de $g$ (on ne demande pas
les limites en 0 et en $+\infty$ ).   En déduire le signe de $g(x)$ 
pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{\ln x}{x}\]

et soit ($\mathcal{C}$) sa représentation graphique dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en 0. Interpréter
graphiquement ce résultat.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ . (On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.) 		
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $] 
0~;~+ \infty[,\, f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$. En déduire le signe de $f'(x)$ puis le tableau de variations de $f$. 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 3$ admet une unique
solution $x_{0}$ dans l'intervalle $[2~;~3]$.

À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude $10^{- 2}$  de $x_{0}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $\left[f(x) - \left(x + 
\dfrac{1}{2}\right )\right]$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Interpréter
graphiquement ce résultat. 
		\item Calculer les coordonnées du point $A$, intersection de la courbe 
($\mathcal{C}$) avec la droite $(D)$ d'équation $y = x + \dfrac{1}{2}$.
		\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe ($\mathcal{C}$) au point $A$. 
		\item Étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à la droite $(D)$.
	\end{enumerate}
\item Tracer ($\mathcal{C}),~ (D)$ et $(T)$ dans le repère
orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[F(x) = \dfrac{x^2 + x + (\ln x)^2}{2}\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur
l'intervalle $]0~;+\infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer, sur le graphique précédent, le 
domaine $E$ limité par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et les
droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = $e.
		\item Calculer l'aire de $E$ en unité d'aire, de manière exacte.
		\item Donner la valeur exacte de cette aire en cm$^2$ et en donner la valeur décimale arrondie au dixième. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,5)
\uput[u](2,5){\emph{Annexe à rendre avec la copie}}
\multido{\n=-1+0.5}{13}{\psline[linestyle=dotted](-1,\n)(5,\n)}
\multido{\n=-1+0.5}{13}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,5)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psline(-1,0)(5,0) \psline(0,-1)(0,5)
\psline(1,4)(3,1) \psline{<->}(0.5,3.5)(1.5,3.5) 
\psline{<->}(2.5,1.5)(3.5,1.5)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) 
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} 
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\rput(3.7,2){\blue ($\mathcal{C}$)}  
\uput[u](1,3.5){N} \uput[dl](2,2.5){P}  \uput[d](3,1.5){Q} 
\uput[ur](4,3.5){R}  \uput[dr](3,1){S}  \uput[u](3.5,0.5){$(\Delta)$}
\uput[ul](0,1.5){M}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{4}{x 3 exp 2 div x 2 exp 3 mul sub 4.5 x mul add 1.5 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}