\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-node,pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small {Baccalauréat ES}} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2003}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft ~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 2003 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textsl{Aucun détail des calculs statistiques effectués à la calculatrice n'est demandé dans cet exercice. Sauf indication contraire, les résultats seront arrondis à} $10^{- 4}$. \medskip Le tableau suivant donne, en millions, la population mondiale de 1400 à 2000. \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année&Rang $x_i$ de l'année~~& ~~~Population $y_i$~~~\\ \hline 1400& 0& 374\\ \hline 1500& 100& 458\\ \hline 1600& 200& 580\\ \hline 1800& 400& 958\\ \hline 1900& 500& \np{1650}\\ \hline 1950& 550& \np{2519}\\ \hline 1970& 570& \np{3691}\\ \hline 1980& 580& \np{4430}\\ \hline 1990& 590& \np{5255}\\ \hline 2000& 600& \np{6057}\\ \hline \multicolumn{3}{r}{\scriptsize Source : site internet de I'INED (Institut national des études démographiques)} \end{tabularx} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ en utilisant le repère semi-logarithmique joint en annexe. \item On décide de faire un ajustement exponentiel, en ignorant les quatre premières données. On pose $z_{i} = \ln \left(y_i\right)$. \begin{enumerate} \item Reproduite sur la copie et compléter le tableau suivant par les valeurs $z_i$. \begin{center} \begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline Rang $x_i$ de l'année &500&550&570&580&590&600\\ \hline $z_i = \ln (y_i)$ & & & & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. \item En déduire une relation entre $y$ et $x$ de la forme $y = b \times a^x$, où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer. \item Utiliser cet ajustement pour estimer, au million près, la population mondiale en 2010. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} Annexe à compléter et à remettre avec la copie \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.02cm,yunit=2cm}\begin{pspicture}(600,5.298) \multido{\n=0+100}{7}{\psline(\n,0)(\n,5.298)} \multido{\n=0+100}{7}{\uput[d](\n,0){\n}} \psline(0,0.693)(600,0.693) \psline(0,1.099)(600,1.099) \psline(0,1.386)(600,1.386) \psline(0,1.609)(600,1.609) \psline(0,1.792)(600,1.792) \psline(0,1.946)(600,1.946) \psline(0,2.079)(600,2.079) \psline(0,2.197)(600,2.197) \psline(0,2.303)(600,2.303) \psline(0,2.996)(600,2.996) \psline(0,3.401)(600,3.401) \psline(0,3.689)(600,3.689) \psline(0,3.912)(600,3.912) \psline(0,4.094)(600,4.094) \psline(0,4.249)(600,4.249) \psline(0,4.382)(600,4.382) \psline(0,4.5)(600,4.5) \psline(0,4.605)(600,4.605) \psline(0,4.788)(600,4.788) \psline(0,4.868)(600,4.868) \psline(0,0)(600,0) \uput[l](0,0){100} \uput[l](0,2.996){1 000} \uput[l](0,5.298){10 000} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans une station-service, la probabilité que $n$ clients se présentent pendant une période de 10 minutes est donnée par le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &0 &1 &2\\ \hline Probabilité &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{4}{10}$ &$\dfrac{3}{10}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier que ce tableau définit une loi de probabilité. Calculer l'espérance de cette loi et interpréter le résultat. On note $C_n$ l'évènement \og $n$ clients se présentent pendant une période de 10 minutes \fg{}. Lorsqu'un client se présente, la probabilité qu'il prenne du gazole est $\dfrac{2}{5}$ et on note $D_p$ l'évènement : \og $p$ clients ont pris du gazole pendant une période de 10 minutes \fg. On rappelle que $P_{\text{B}}(\text{A})$ désigne la probabilité de l'évènement A sachant que B est réalisé. \item On sait que deux clients se présentent pendant une période de 10 minutes. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que ces deux clients prennent du gazole. \item Montrer que la probabilité $P_{C_2}(D_1)$ qu'un seul de ces deux clients prenne du gazole est égale à $\dfrac{12}{25}$. \end{enumerate} \i probabilités de l'évènement $D_p$ sachant que $C_n$, est réalisé pour toutes les valeurs possibles de $p$ et $n$, seront présentées dans le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} &$C_0$ &$C_1$ &$C_2$ \\ \hline $D_0$ &1 & & \\ \hline $D_1$ &0 & & $\frac{12}{25}$\rule[-3mm]{0mm}{7mm}\\ \hline $D_2$ &0 &0 & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier les valeurs 0 présentes dans le tableau. \item Justifier la valeur 1 correspondant à $P_{C_0}\left(D_0\right)$. \item Reproduire le tableau sur la copie en complétant les valeurs manquantes (on les donnera sous forme de fractions). \end{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement $D$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un livreur d'une société de vente à domicile doit, dans son après- midi, charger son camion à l'entrepôt noté A, livrer cinq clients que nous noterons B, C, D, E et F, puis retourner à l'entrepôt. Le réseau routier, tenant compte des sens de circulation, et les temps de par- cours (en minutes) sont indiqués sur le graphe G suivant : \begin{center} \begin{pspicture}(7,4.5) \psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=20} \cnodeput(0.4,1.5){A}{E} \cnodeput(2,3.5){B}{A} \cnodeput(2.7,0.5){C}{D} \cnodeput(3.9,2.4){D}{F} \cnodeput(5.5,1){E}{C} \cnodeput(5.7,3.8){F}{B} \ncarc{->}{B}{A} \ncput*{4} \ncarc{->}{A}{C} \ncput*{4} \ncarc{->}{C}{B} \ncput*{9} \ncarc{->}{D}{B} \ncput*{6} \ncarc{->}{C}{D} \ncput*{3} \ncarc{->}{E}{C} \ncput*{2} \ncarc{->}{C}{E} \ncput*{2} \ncarc{->}{D}{E} \ncput*{6} \ncarc{->}{E}{D} \ncput*{6} \ncarc{->}{E}{F} \ncput*{9} \ncarc{->}{D}{F} \ncput*{3} \ncarc{->}{F}{D} \ncput*{3} \ncarc{->}{F}{B} \ncput*{2} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner la matrice M associée au graphe G. On utilisera le modèle suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{} & A & B & C & D & E & F \\ \hline A & & & & & & \\ \hline B & & & & & & \\ \hline C & & & & & & \\ \hline D & & & & & & \\ \hline E & & & & & & \\ \hline F & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On donne la matrice M$^6$ : \[\text{M}^6 = \begin{pmatrix} 8 &6 &6 &3 &4 &6\\ 19 &11 &12 &9 &6 &16\\ 36 &28 &23 &22 &18 &34\\ 37 &24 &25 &17 &15 &31\\ 15 &12 &9 &10 &8 &15\\ 28 &22 &19 &15 &15 &26\\ \end{pmatrix}\] On s'intéresse aux chemins partant de l'entrepôt A et se terminant en A. \begin{enumerate} \item Combien existe-t-il de chemins de longueur 6 reliant A à A ? \item Citer ces chemins. \item Parmi ceux qui passent par tous les sommets du graphe, lequel minimise le temps de parcours ? \item Quelle conséquence peut tirer le livreur du dernier résultat ? \end{enumerate} \item Au départ de sa tournée, le livreur a choisi de suivre l'itinéraire le plus rapide. Malheureusement, le client C n'est pas présent au passage du livreur et celui-ci décide de terminer sa livraison par ce client. Indiquer quel est le chemin le plus rapide pour revenir à l'entrepôt A à partir de C. La réponse devra \^etre justifiée. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Étude d'une fonction} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = 2x + 100\text{e}^{-0,2x}.\] On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal\Oij{} (unités graphiques : 1 cm pour 1 unité en abscisse ; 1~cm pour 10~unités en ordonnée). \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Montrer que la droite D d'équation $y = 2x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$. \item Calculer la dérivée $f'$ et étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Tracer $\mathcal{C}_f$ et D dans le repère \Oij~ pour $x$ appartenant à [1 ; 18]. \item Résoudre graphiquement l'inéquation $f (x) \leqslant 50$ sur l'intervalle[1~;~18]. \item Calculer la valeur exacte du nombre M $= \dfrac{1}{17}\displaystyle\int_0^{18} f(x)\: \text{d}x$, puis donner sa valeur arrondie à l'entier le plus proche. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \textbf{Modélisation d'un coût} \medskip Un artisan confiseur qui propose des chocolats \og faits maison \fg{} en fabrique de 1 à $18$~kg par jour. Le coût moyen de fabrication d'un kilogramme de chocolats est exprimé en euro. Il est modélisé par la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A}, où $x$ désigne la masse en kg de chocolats fabriqués ($1 \leqslant x \leqslant 18$). Dans la suite, on utilisera les résultats de la \textbf{partie A}. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer, à un euro près, le coût moyen de fabrication pour 6 kg fabriqués. \item Quelle est la quantité à fabriquer pour que le coût moyen soit minimum ? \item Quel est alors ce coût ? \end{enumerate} \item L'artisan vend ses chocolats au prix de 50 \euro~ le kilogramme. Quelle quantité minimale doit-il fabriquer pour faire un bénéfice ? \item Quelle est pour l'artisan la valeur moyenne du coût de fabrication d'un kilogramme de chocolats ? \end{enumerate} \textsl{Aucun détail des calculs statistiques effectués à la calculatrice n'est demandé dans cet exercice. Sauf indication contraire, les résultats seront arrondis à} $10^{- 4}$. Le tableau suivant donne, en millions, la population mondiale de 1400 à 2000. \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & Rang $x_i$ de l'année&Population $y_i$\\ \hline 1400 &0 &374\\ \hline 1500 &100&458\\ \hline 1600 &200&580\\ \hline 1800 &400&958\\ \hline 1900 &500&\np{1650}\\ \hline 1950 &550&\np{2519}\\ \hline 1970 &570&\np{3691}\\ \hline 1980 &580&\np{4430}\\ \hline 1990 &590&\np{5255}\\ \hline 2000 &600&\np{6057}\\ \hline \multicolumn{3}{r}{\scriptsize Source : site internet de I'INED (Institut national des études démographiques)} \end{tabularx} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ en utilisant le repère semi-logarithmique joint en annexe. \item On décide de faire un ajustement exponentiel, en ignorant les quatre premières données. On pose $z_{i} = \ln \left(y_i\right)$. \begin{enumerate} \item Reproduite sur la copie et compléter le tableau suivant par les valeurs $z_i$. \begin{center} \begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline Rang $x_i$ de l'année& 500& 550& 570& 580& 590 & 600\\ \hline $z_i = \ln (y_i)$& & & & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. \item En déduire une relation entre $y$ et $x$ de la forme $y = b \times a^x$, où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer. \item Utiliser cet ajustement pour estimer, au million près, la population mondiale en 2010. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} Annexe à compléter et à remettre avec la copie \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.02cm,yunit=2cm}\begin{pspicture}(600,5) \multido{\n=0+100}{7}{\psline(\n,0)(\n,5)} \multido{\n=0+100}{7}{\uput[d](\n,0){\n}} \psline(0,0.693)(600,0.693) \psline(0,1.099)(600,1.099) \psline(0,1.386)(600,1.386) \psline(0,1.609)(600,1.609) \psline(0,1.792)(600,1.792) \psline(0,1.946)(600,1.946) \psline(0,2.079)(600,2.079) \psline(0,2.197)(600,2.197) \psline(0,2.303)(600,2.303) \psline(0,2.996)(600,2.996) \psline(0,3.401)(600,3.401) \psline(0,3.689)(600,3.689) \psline(0,3.912)(600,3.912) \psline(0,4.094)(600,4.094) \psline(0,4.249)(600,4.249) \psline(0,4.382)(600,4.382) \psline(0,4.5)(600,4.5) \psline(0,4.605)(600,4.605) \psline(0,4.788)(600,4.788) \psline(0,4.868)(600,4.868) \psline(0,0)(600,0) \uput[l](0,0){100} \uput[l](0,2.996){1 000} \uput[l](0,5.298){10 000} \end{pspicture} \end{center} \end{document}