\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{latexsym} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{diagbox} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES}, pdftitle = {Centres étrangers juin 2008}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{17 juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers 17 juin 2008~\decofourright }}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une association organise chaque année un séjour qui s'adresse à des adultes handicapés. À sa création en 1997, dix adultes handicapés sont partis durant cinq jours. Ainsi, on dira qu'en 1997 le nombre de \og journées participant \fg{} est de $5 \times 10$ soit $50$. Le tableau suivant donne le nombre de \og journées participant \fg{} de 1997 à 2004. L'année 1997 a le rang~0. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.6cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Années&1997 &1998& 1999& 2000 &2001 &2002 &2003 &2004\\ \hline Rang de l'année : $x_{i}$& 0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline Nombre de \og journées participant \fg{} : $y_{i}$&50&130& 200 &240&250&280&300& 320\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de \og journées participant \fg{} de 1997 à 2000, puis celui de 2000 à 2001 \item Ces données sont représentées par le nuage de points ci-joint. \medskip \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.02cm} \begin{pspicture}(-1,-50)(10,400) \psframe(-1,-50)(10,400) \multido{\n=0+50}{8}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(8,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Oy=0,Dy=50]{->}(0,0)(10,400) \psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,linecolor=red](0,50)(1,130)(2,200)(3,240)(4,250)(5,280)(6,300)(7,320) \end{pspicture} \end{center} \medskip On considère qu'un ajustement affine n'est pas pertinent. L'allure du nuage suggère de chercher un ajustement de $y$ en $x$ de la forme $y = k\ln (ax + b)$ où $k,~a$ et $b$ sont trois nombres réels. Pour cela on pose : $z_{i} = \text{e}^{\frac{y_{i}}{100}}$. \textbf{Dans cette question les calcul. seront effectués à la calculatrice. Aucune justification n'est demandée. Les résultats seront arrondis au centième.} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \hspace*{-1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|m{3.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de l'année : $x_{i}$& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6 &7\\ \hline Nombre de \og journées participant \fg{} : $y_{i}$& 50& 130& 200 &240& 250& 280& 300 &320\\ \hline \rule[0.3cm]{0pt}{5pt}$z_{i} = \text{e}^{\frac{y_{i}}{100}}$& 1,65&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Représenter le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthononnal (unités : 1~cm) \item Donner les coordonnées du point moyen et placer ce point sur le graphique précédent. \item Déterminer une équation de la droite (D) d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Représenter la droite (D) sur le graphique précédent \item Sachant que $z_{i} = \text{e}^{\frac{y_{i}}{100}}$ déterminer l'expression de $y$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \item On suppose que l'évolution du nombre de \og journées participant \fg{} se poursuit dans un futur proche selon le modèle précédent. \begin{enumerate} \item Estimer, à l'unité près, quel serait le nombre de \og journées participant \fg{} prévu pour l'année 2007. \item En réalité, le nombre de \og journées participant \fg{} en 2007 a été de 390. Si l'écart en valeur absolue entre la valeur estimée et la valeur réelle est inférieure à 10\,\% de la valeur réelle, on considère que le modèle est pertinent. Est-ce le cas ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n 'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un magasin de sport propose à la location des skis de piste, des snowboards et des skis de randonnée. Son matériel est constitué de 50\,\% de skis de piste, le reste étant également réparti entre les snowboards et les skis de randonnée. Après la journée de location, le matériel est contrôlé et éventuellement réparé. Il a été constaté que la moitié des skis de piste, deux tiers des snowboards et le quart des skis de randonnée nécessitent une réparation. \medskip Chaque paire de ski et chaque snowboard est répertorié sur une fiche qui précise son suivi. On tire au hasard une fiche. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $Sp$ : \og La fiche est celle d'une paire de skis de piste \fg{} ; \item[] $Sn$ : \og La fiche est celle d'un snowboard \fg{} ; \item[] $Sr$ : \og La fiche est celle d'une paire de skis de randonnée \fg{} ; \item[] $R$ : \og Le matériel nécessite une réparation \fg{} ; $\overline{R}$ est son évènement contraire. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \emph{Tous les résultats des quatre premières questions seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} \medskip \begin{enumerate} \item Traduire toutes les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication). \item Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne une paire de skis de piste ne nécessitant pas une réparation. \item Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne du matériel ne nécessitant pas une réparation. \item La fiche tirée concerne du matériel ayant nécessité une réparation. Quelle est la probabilité que cette fiche concerne un snowboard ? \item Les paires de skis de piste, de randonnée, ainsi que les snowboards sont loués 30~\euro{} pour la journée. Quelle est l'espérance de gain sur le matériel loué sachant que chaque réparation coûte 20~\euro{} au loueur ? \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans un village, l'association de gymnastique volontaire possédait $50$ adhérents en 2000. Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année elle reçoit $18$ ~nouvelles adhésions et que 85\,\% des anciens inscrits renouvellent leur adhésion. On note $a_{n}$ le nombre d'adhérents pour l'année $2000 + n$ ; on a donc $a_{0} = 50$ et $a_{n+1} = 0,85 a_{n} + 18$ pour tout entier naturel $n$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n} = a_{n} - 120$ pour tout $n \geqslant 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ a_{n} = 120 - 70 \times 0, 85^n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ quand $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \item Chaque semaine, 60\,\% des adhérents s'inscrivent pour une heure de gymnastique et 40\,\% pour deux heures de gymnastique. \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $n$ le nombre d'heures de gymnastique à prevoir par semaine pour l'an $2000 + n$. \item Une séance de gymnastique dure une heure et est limitée à 20 personnes. On veut déterminer à partir de quelle année l'association devra prévoir plus de 8 séances par semaine. Démontrer qu'alors $n$ doit vérifier l'inéquation $98 \times 0,85^n < 8$. Résoudre cette inéquation et conclure. \emph{ Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un Q. C. M. (Questionnaire à Choix Multiples).} \emph{Chaque question admet une seule réponse exacte : a, b ou c. Pour chacune des questions indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \emph{Barème : une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.} \bigskip {\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{8cm}|X|}\hline &QUESTIONS& RÉPONSES\\ \hline \multirow{3}{0.5cm}{Q1}& \multirow{3}{8cm}{D'une année sur l'autre, un produit perd 10\,\% de sa valeur. Le produit a perdu au moins 70\,\% de sa valeur initiale au bout de :}&\textbf{a.}~~ 7 années\\ &&\textbf{b.}~~11 années\\ &&\textbf{c.}~~ 12 années\\ \hline \multirow{3}{0.5cm}{Q2}& \multirow{3}{8cm}{Dans une expérience aléatoire, la probabilité d'un évènement A est égale à 0,4. On répète huit fois cette expérience de façon indépendante. La probabilité que l'évènement A se réalise au moins une fois est égale à :}&\textbf{a.}~~ $(0,4)^8$\\ &&\textbf{b.}~~ $(0,6)^8$\\ &&\textbf{c.}~~ $1 - (0,6)^8$\\ && \\\hline \multirow{3}{0.5cm}{Q3}& \multirow{3}{8cm}{$F$ est la primitive qui s'annule en 1 de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 + 1$. On a }&\textbf{a.}~~ $F(0) = 1$\\ &&\textbf{b.}~~ $F(0) = - \dfrac{4}{3}$\\ &&\textbf{c.}~~ $F(0) = \dfrac{4}{3}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline \multirow{3}{0.5cm}{Q4}& \multirow{3}{8cm}{$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{3x}$. On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans un repère. La tangente ($\mathcal{T}$) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A d'abscisse $0$ a pour coefficient directeur :}& \textbf{a.}~~$0$\\ &&\textbf{b.}~~ $1$\\ &&\textbf{c.}~~ $3$\\ &&\\ \hline \end{tabularx}} \medskip Pour toutes les questions suivantes, on donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $]- \infty~;~ - 3[$. On appelle $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère.\\ \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,3.5) \psframe(9,3.5) \psline(0,3)(9,3) \psline(1,0)(1,3.5) \uput[u](0.5,3){$x$} \uput[u](1.45,3){$- \infty$} \uput[u](3,3){$-3$} \uput[u](5,3){$-2$} \uput[u](7,3){$2$} \uput[u](8.8,3){$3$} \put(0.3,1.5){$f(x)$} \uput[d](1.45,3){$+ \infty$} \uput[u](5,0){$-2$} \uput[d](8.6,3){$+ \infty$} \psline{->}(1.7,2.5)(4.6,0.4) \psline{->}(5.4,0.4)(8.3,2.7) \rput*(3,1.55){$0$} \rput*(7,1.65){0} \end{pspicture} \end{center} \smallskip {\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{7cm}|X|}\hline &QUESTIONS& RÉPONSES\\ \hline \multirow{3}{0.5cm}{Q5}& \multirow{3}{7cm}{On peut affirmer que :}&\textbf{a.}~~ $f(0) < 0$\\ &&\textbf{b.}~~$f(0) = 0$\\ &&\textbf{c.}~~ $f(0) > 0$\\ \hline \multirow{3}{0.5cm}{Q6}& \multirow{3}{7cm}{La courbe ($\mathcal{C}$) admet pour asymptote la droite d'équation :}&\textbf{a.}~~ $x = 0$\\ &&\textbf{b.}~~ $x = 3$\\ &&\textbf{c.}~~ $y = 3$\\ && \\\hline \multirow{3}{0.5cm}{Q7}& \multirow{3}{7cm}{$g$ est la fonction définie par $g(x) = \ln [f(x)]$ sur l'intervalle $]- \infty~;~-3[$. La limite de $g$ en $- \infty$ :}&\textbf{a.}~~ est $- \infty$\\ &&\textbf{b.}~~ est $+ \infty$\\ &&\textbf{c.}~~ n'existe pas\\ \hline \multirow{3}{0.5cm}{Q8}& \multirow{3}{7cm}{$F$ désigne une primitive de $f$ sur $] - \infty~;~3[$. $F$ est : }&\textbf{a.}~~strictement décroissante sur $] - \infty~;~3[$\\ &&\textbf{b.}~~ strictement décroissante sur $]-3~;~2[$\\ &&\textbf{c.}~~ strictement croissante sur $]-2~;~3[$\\ \hline \end{tabularx}} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]-1~;~+\infty[$ par \[f(x) = -3x + 4 + 8 \ln (x + 1).\] On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ en $-1$. Donner l'interprétation graphique du résultat obtenu. \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ (on pourra utiliser $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x + 1)}{x} = 0$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $f'$ la dérivée de $f$ sur $]-1~;~+\infty[$. Démontrer que $f'(x) = \dfrac{5 - 3x}{x + 1}$. \item Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de $f$. On donnera une valeur arrondie au dixième du maximum de $f$ sur $]-1~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item On se place dans l'intervalle $\left[\dfrac{5}{3}~;~+ \infty\right[$. Démontrer que dans cet intervalle, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique notée $x_{0}$. Donner une valeur approchée de $x_{0}$ à $10^{-2}$ près. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $F$ définie par \[F(x) = - \dfrac{3}{2}x^2 - 4x + 8(x+1) \ln (x + 1)\] est une primitive de $f$ sur $]-1~;~ +\infty[$. \item Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 5$ (on donnera la valeur exacte de cette aire et une valeur approchée au dixième près). \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}