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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Centres étrangers  II}}
\rfoot{\small  juin 1996}
%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers  II juin 1996~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau suivant donne, en millions, le nombre de réfugiés
dans le monde.

\medskip

\begin{tabularx}{\textwidth}{|m{3.8cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\textbf{Année}&\textbf{1978}&\textbf{1980}&\textbf{1982}&\textbf{1984}&\textbf{1986} &\textbf{1988} &\textbf{1990}&\textbf{1992}\\ \hline
\textbf{Rang de l'année :} $x_i$& 0 &1	&2	&3	&4 & 5 	& 6 &7\\ \hline
\textbf{Nombre de réfugiés :} $y_i$	&4,6&8,2&10,4 &10,5	&12& 14,8	& 17,2	&18,9 \\\hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize{(Source : Haut Commissariat pour les réfugiés -\emph{Express}, juin 1995)}}\\
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point moyen de cette série.
\item Représenter graphiquement le nuage des points $M\left(x_i~;~y_i\right)$.

On prendra un repère orthogonal \Oij{} d'unités : 1~cm pour 1 année en abscisse et 1~cm
 pour un million d'individus en ordonnée.
\item Le détail des calculs dans cette question n'est pas exigé ; les résultats sont donnés à $10^{-2}$ près.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et 
$y$.
		
Que peut-on en déduire ?
		\item Déterminer une équation de la droite de régression $y$ en $x$
par la méthode des moindres carrés.
		\item Construire cette droite dans le repère défini précédemment.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item En supposant que la tendance n'a pas changé, établir une estimation du nombre de réfugiés en 1994.
		\item Il y avait en réalité 23 millions de réfugiés en 1994. Quelle est
la variation, en pourcentage, du nombre de réfugiés par rapport
à l'estimation ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

À la kermesse de l'école, une tombola est organisée : 250 billets, numérotés de 1 à 250, sont vendus 10 francs chacun à 250 personnes différentes.
 
Après tirage, on apprend que tous les billets dont le numéro finit par 3 
rapportent 50 francs, et ceux dont les numéros finissent par 20 ou 65 rapportent
 150 francs.
  
(Dans chacun des calculs demandés, donner les valeurs exactes des résultats
sous forme de fraction irréductible.) 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item On interroge au hasard une personne ayant acheté un billet. Quelle est la probabilité d'interroger :
 
A : une personne avec un billet gagnant $150$ francs ?
 
B : une personne avec un billet gagnant ?
  
C : une personne ayant reçu $150$ francs, alors que l'on savait que cette personne
 possédait un billet gagnant ? 
\item Soit $X$ la variable aléatoire associant à chaque participant son gain algébrique ($X$ prend donc la valeur $- 10$ pour
 l'achat d'un billet non gagnant). 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de la variable $X$.
		\item Quelle est l'espérance mathématique de $X$ ?
		 
Si l'on avait pu connaître à l'avance la répartition et le montant des gains, l'achat d'un billet aurait-il été conseillé ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Monsieur Dumont est très content. Il a réussi à louer pour la semaine tout son
 matériel, réparti en 4 catégories :
 
70 paires de ski \og détente \fg, 50 paires de ski \og compétition \fg, 50 paires de chaussures \og adulte \fg et 30 paires de chaussures \og enfant \fg.
  
Il a constitué un fichier informatique de $200$~fiches pour les $200$~articles loués. 
(Pour chacun des calculs demandés, donner une expression exacte et le 
résultat arrondi au centième.) 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Il lit au hasard trois fiches (on suppose
les tirages équiprobables). 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour qu'il ait lu :
		
A : deux fiches \og skis \fg et une fiche \og chaussures \fg{} ?
		
B : trois fiches \og skis de compétition \fg{} ?
		 
C : au moins une fiche \og chaussures enfants \fg{} ?
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement D : \og lire trois fiches de catégories différentes \fg{} est de 35 \%. 
	\end{enumerate}
\item Il renouvelle plusieurs fois son expérience, de manière indépendante. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour que, après cinq lectures de trois fiches, Monsieur Dumont ait obtenu, quatre fois exactement, trois fiches de catégories différentes ? 
		\item Quel est le nombre minimum de lectures de trois fiches à effectuer pour que l'évènement D se réalise au moins une fois avec une probabilité supérieure à $0,99$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Pour un promoteur immobilier, le coût de production, en millions de francs, pour
 $n$ maisons construites, $0 \leqslant n \leqslant 30$, est donné par :

\[\text{C}(n) = \np{0,5}n + 2 - \np{1,5} \ln (n + 1).\]
 
Chaque maison est vendue \np{400000}~F.

\bigskip
 
\textbf{Partie A - Étude de la fonction~ \boldmath$f$\unboldmath~définie sur
[0~;~30] par}  \boldmath$f(x) = 0,5x + 2 - 1,5 \ln (x + 1) $\unboldmath

On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ et (D) la droite 
d'équation $y = 0,4x$ dans un repère orthogonal \Oij{} (unités : 0,5~cm en abscisses, 2~cm en
 ordonnées). 

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 
\item Montrer qu'il existe un point A de ($\mathcal{C}$) où la tangente ($\Delta$) est parallèle à (D). Donner les coordonnées de  A. 
\item Tracer (D), ($\Delta$) et ($\mathcal{C}$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Utilisation du graphique}
(Les réponses seront justifiées.) 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel nombre de maisons faut-il construire pour que le coût de production soit minimal ? 
\item Combien le promoteur doit-il construire de maisons pour réaliser du bénéfice ? 
\item Comment peut-on utiliser le graphique pour déterminer le nombre de maisons à construire pour obtenir le bénéfice  maximal ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C - étude du bénéfice}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le bénéfice réalisé pour la fabrication de $n$ maisons est en millions de francs B$(n) = - \np{0,1} n - 2 + \np{1,5} \ln (n + 1)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ définie sur [0~;~30] par
		
\[g(x) = - \np{0,1} x - 2 + \np{1,5} \ln (x + 1).\]
 
		\item Démontrer qu'il existe un réel unique $x_0$ dans l'intervalle
[0~;~6] tel que $g(x_0) = 0$. Donner un encadrement de $x_0$ d'amplitude $10^{-1}$.
		\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $g(x)$ est maximal.
	\end{enumerate}
\item En déduire le nombre minimal de maisons à construire pour que le bénéfice soit positif, et le nombre de maisons pour que le bénéfice soit maximal.
\end{enumerate}	 
\end{document}