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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Centres étrangers I}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers I juin 1997~\decofourright}}}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ contenant des boules indiscernables au toucher. $U_{1}$ contient $n$ boules blanches et 3 boules noires ($n$ est un entier supérieur ou égal à 1). $U_{2}$ contient 2 boules blanches et 1 boule noire.

On tire au hasard une boule de $U_{1}$ et on la met dans $U_{2}$, puis on tire au hasard une boule de $U_{2}$ et on la met dans $U_{1}$ ; l'ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'évènement A : \og après l'épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur configuration de départ \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$ peut s'écrire :
		
\[p(A) = \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{n + 2}{n + 3} \right).\]
		
		\item Déterminer la limite de $p(A)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'évènement B : \og après l'épreuve, l'urne $U_{2}$ contient une seule boule blanche \fg.
		
Vérifier que la probabilité $p(B)$ de l'évènement $B$ peut s'écrire
		
		\[p(B) = \dfrac{6}{4(n + 3)}.\]	

\item Un joueur mise 20~francs et effectue une épreuve. À l'issue de cette épreuve, on compte les boules blanches contenues dans $U_{2}$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Si $U_{2}$ contient 1 seule boule blanche, le joueur reçoit $2n$ francs ;
\item Si $U_{2}$ contient 2 boules blanches, le joueur reçoit $n$ francs ;
\item Si $U_{2}$ contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi le joueur n'a aucun intérêt à jouer tant que $n$ ne dépasse pas 10.?
Dans la suite, on considère $n > 10$ et on introduit la variable aléatoire $X$ qui prend pour valeurs les gains algébriques du joueur (par exemple, si, après l'épreuve, l'urne $U_{2}$ contient une seule boule blanche, $X = 2n - 20$).
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
		\item On dit que le jeu est favorable au joueur si et seulement si l'espérance mathématique est strictement positive. Montrer qu'il en est ainsi dès que l'urne $U_{1}$ contient au moins 25 boules blanches.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, l'unité graphique est 1~cm.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = \left(3\sqrt{3} - 2\right) + \text{i}\left(3 + 2\sqrt{3}\right) \quad  ; \quad   z_{\text{B}} = \left(- \sqrt{3} - 1\right) + \text{i}\left(\sqrt{3}- 1\right)\quad ;\]
\[z_{\text{C}} = \left(1 - 4\sqrt{3}\right) + \text{i}\left(- 4 - \sqrt{3}\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On se propose de placer les points A, B et C dans le repère \Ouv{} à l'aide du compas. Pour cela on considère la rotation $R$ de centre O et d'angle de mesure $- \dfrac{2\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de $R$.
		\item Vérifier que $R$ transforme le point A en le point A$'$ d'affixe : $4 - 6\text{i}$.
		
On admettra que $R$ transforme les points B et C en les points B$'$ et C$'$ d'affixes respectives $2 + 2\text{i}$ et $? 2 + 8\text{i}$.
		\item Placer les points A$'$, B$'$, C$'$ puis, à l'aide du compas, les points A, B, C. (La construction du point A sera justifiée).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $z_{\text{A}} - z_{\text{B}} + z_{\text{C}}$.
		\item En déduire que le point O est le barycentre du système de points pondérés $\{(A,~ 1),~(B,~- 1),~(C,~1)\}$.
	\end{enumerate}
\item  Soit l'ensemble $C$ des points $M$ du plan tels que :
		
\[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = \left\|\vect{M\text{A}} - 2\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\|.\]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que B appartient à $C$.
		\item Déterminer puis tracer l'ensemble $C$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer puis tracer l'ensemble $D$ des points $M$ du plan tels que :
		
\[2.\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} \right \| = \left\|M\vect{\text{A}} - 3\vect{M\text{B}}\right\|.\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire}

\medskip
 
Dans le plan complexe $P$ rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, on donne les points A d'affixe 2i, B d'affixe 2 et I milieu de [AB] (on prendra 2~cm pour unité graphique).
 
\medskip

On considère la fonction $f$ qui, à tout point $M$ distinct de A, d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
?
\[z' = \dfrac{2z}{z - 2\text{i}}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ admet comme points invariants le point O et un deuxième point dont on précisera l'affixe.
		\item Déterminer les images par $f$ des points B et I.
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point quelconque distinct de A et de O.
		
Établir que :
		
		\[\left\{\begin{array}{l c l}
		\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M'}\right)&=&\left(\vect{M\text{A}}~;~\vect{M\text{O}} \right) + k2\pi,~k \in \Z\\
		\text{O}M'&=&2\dfrac{\text{MO}}{\text{MA}}
		\end{array}\right.  \] 	
\item Soit $(\Delta)$ la médiatrice de [OA].
		
Montrer que les transformés par $f$ des points de $(\Delta)$ appartiennent à un cercle ($C$) que l'on précisera.
\item Soit ($\Gamma$) le cercle de diamètre [OA], privé du point A. Montrer que les transformés par $f$ des points de ($\Gamma$) appartiennent à une droite (D) que l'on précisera.
\item Tracer $(\Delta)$, ($\Gamma$), ($C$), (D) sur une même figure.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip
\textbf{Partie A}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ différent de 1 par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{- x}}{2(1 - x)}\]

On appelle $\Gamma$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal
\Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$, et lorsque $x$ tend vers $1$.
		
Interpréter graphiquement ces résultats.
		\item Vérifier que, pour tout $x$ différent de 1, $f(x)$ peut s'écrire :
		
		\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{- x}}{- x}\times \dfrac{x}{2(x - 1)}\]
		
En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f^\prime(x) = \dfrac{x\text{e}^{- x}}{2(1 - x)^2}$.
		\item Étudier les variations de $f$.
		\item Montrer que $f$ admet un minimum que l'on précisera sur l'intervalle 
		
$]-\infty~;~ 1[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
		
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) : 

\[y'' + 2y' + y = 0\]

où $y$ est une fonction numérique deux fois dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre (E).
\item On considère les solutions de (E) dont la courbe représentative passe par le point A de coordonnées $\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que ces solutions s'écrivent sous la forme : $\left(ax + \dfrac{1}{2} \right)\text{e}^{- x}$.
		
On note alors :
		
		\[h_{a}(x) = \left(ax + \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{- x}.\]
		
où $a$ est un nombre réel.
		\item Faire l'étude du sens de variation de $h_{a}$ selon les valeurs de $a$ et montrer que, pour tout réel $a$ différent de 0,~ $h_{a}$  admet un extremum pour une valeur de $x$ que l'on déterminera en fonction de $a$.
		\item On note $\mathcal{C}_{a}$ la courbe représentative de $h_{a}$ et $S_{a}$ le point de $\mathcal{C}_{a}$ correspondant à l'extremum de $h_{a}$ ; vérifier que, pour tout réel $a$ différent de $0,~ S_{a}$ est un point de $\Gamma$, la courbe définie dans la partie A.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\bigskip
		
\textbf{Partie C}

\medskip

Sur la feuille donnée en annexe, on a représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal les courbes $\mathcal{C}_{a}$ pour $a = \dfrac{1}{4}$ et pour quatre autres valeurs de $a$ : $- 2,~ 0,~ 1$ et $2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur cette feuille annexe, construire $\Gamma$ et ses droites asymptotes.
\item Pour chacune des courbes $\mathcal{C}_{a}$ tracées (autres que $\mathcal{C}_{\frac{1}{4}}$), déterminer la valeur correspondante de $a$ en indiquant la méthode utilisée.	
\end{enumerate}

\bigskip
		
\textbf{Partie D}

\medskip

Dans cette partie, on considère la fonction $h_{a}$ obtenue pour $a = \dfrac{1}{4}$.

Soit $\lambda$ un nombre réel supérieur à $- 2$ ; on appelle D$_{\lambda}$ l'ensemble des points du plan limité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{\frac{1}{4}}$ et la droite d'équation $x = \lambda$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $I = \displaystyle\int_{- 2}^{\lambda}h_{\frac{1}{4}}(t)\:\text{d}t$ en fonction de $\lambda$ ; on pourra utiliser une intégration par parties ou se servir de l'équation différentielle (E).
\item Soit $\mathcal{A}(\lambda)$ la mesure en unités d'aire de l'aire D$_{\lambda}$ ; quelle est la limite de $\mathcal{A}(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+ \infty$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-3.5)(5,4.5)
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\end{pspicture}
\end{center} 
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