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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small   juin 1998}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers  juin 1998~\decofourright} }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soient $a$ et $b$ des nombres réels.

On considère la fonction $f$, définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels
par : 

\[f(x) = \text{e}^{2x} + a\text{e}^x + b, \]

 et on désigne par $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item On sait que $f(\ln 3)$ = - 9 et $f^{\prime}(\ln 3)$ = 0.

Déterminer les nombres réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le but de cette partie est le calcul de l'intégrale
\[ 
\text{I} = \displaystyle\int_{- 1}^{1} \left[(2x + 1)\text{e}^{2x}- 6(x + 1)\text{e}^x
\right]\:\text{d}x. \] 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par

\[f(x)  = \text{e}^{2x} - 6\text{e}^x.\]
 
On pose, pour tout $x$ appartenant à $\R,~g(x) = xf(x)$.
 
Calculer $g^{\prime}(x)$. 
\item En déduire la valeur exacte de I.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (obligatoire)\hfill 5 points}

\medskip

Pour chaque probabilité demandée on donnera la valeur décimale arrondie à 
$10^{-4}$ près. 
 
Dans une université, 55\,\% des étudiants possèdent un ordinateur. 
Parmi les étudiants ayant un ordinateur :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item 20\,\% ont un violon ;
\item 30\,\% ont une flûte ;
\item aucun étudiant ne possède à la fois une flûte et un violon.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Parmi les étudiants n'ayant pas d'ordinateur :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item 5\,\% ont un violon ;
\item 15\,\% ont une flûte ;
\item aucun étudiant ne possède à la fois une flûte et un violon.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

On choisit au hasard un étudiant de cette université.
  
On définit les évènements suivants :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $D$, l'étudiant a un ordinateur ;
\item $V$, l'étudiant a un violon ;
\item $F$, l'étudiant a une flûte ;
\item $R$, l'étudiant n'a aucun de ces deux instruments de musique. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

Ainsi : la probabilité $p(D)$ de l'évènement $D$ est $0,55$ ; la probabilité 
$p(V/D)$ qu'un étudiant ait un violon sachant qu'il a un ordinateur est 
$0,2$.
 
\medskip 

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que l'étudiant ait un ordinateur et un 
violon.
\item Calculer la probabilité que l'étudiant ait un violon et pas 
d'ordinateur.
\item Calculer $p(V)$.
\item Calculer $p(F)$.
\item Quelle est la probabilité que l'étudiant ait un ordinateur
sachant qu'il a une flûte ? 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2 (spécialité) \hfill 5 points}
 \medskip
 
Un éditeur établit ses prix pour l'année chaque 1\up{er}
janvier.
 
Dans tout l'exercice nous nous intéresserons à deux collections publiées par
l'éditeur : la collection A et la collection B.
 
Dans chaque collection, tous les volumes sont vendus au même prix 
unitaire.
 
\medskip
 
\textbf{I - Étude de la collection A.}
 
 \medskip

Le prix unitaire des livres de cette collection augmente de 7 F au 1\up{er}
janvier de chaque année. On désigne par $P$ le prix unitaire des livres le
 $1\up{er}$ janvier 1995. Pour tout nombre entier naturel $n$, on désigne 
par $P_{n}$ le prix unitaire des livres le 1\up{er} janvier de l'année 
$(1995 + n)$. Par exemple, $P_{3}$ est le prix unitaire le 1\up{er} janvier 
1998.
 
\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour $n \geqslant 1$, exprimer $P_{n}$ en fonction de $P_{n-1}$.
		\item Exprimer $P_{n}$ en fonction de $n$ et de $P_{0}$.
	\end{enumerate}
\item Le 1\up{er} janvier 1995 le prix unitaire était 150~F.
	\begin{enumerate}
		\item Quel sera le prix unitaire le 1\up{er} janvier 2007 ? 
		\item À quelle date le prix unitaire sera-t-il pour la première fois supérieur à $250$~F ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{II - Étude de la collection B}
 
 \medskip

Le prix unitaire des livres de cette collection augmente de 3\,\% au $1\up{er}$ 
janvier de chaque année. On désigne par $R_{0}$ le prix unitaire des livres le
1\up{er} janvier 1995. 
 
Pour tout nombre entier naturel $n$, on désigne  par $R_{n}$ le prix unitaire des livres le 1\up{er} janvier de l'année $(1995 + n)$. Par exemple, $R_{3}$ est le prix unitaire le 1\up{er} janvier1998.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour $n \geqslant 1$, exprimer $R_{n}$ en fonction de $R_{n-1}$.
		\item Exprimer $R_{n}$ en fonction de $n$ et de $R_{0}$.
	\end{enumerate}
\item Le 1\up{er} janvier 1995 le prix unitaire était
150 F.
	\begin{enumerate}
		\item Quel sera le prix unitaire le 1\up{er} janvier 2007 ? (on donnera la valeur arrondie entière de ce prix à 1~F près). 
		\item À quelle date le prix unitaire sera-t-il pour la première fois supérieur à 
250~F ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Les objectifs de ce problème sont l'étude d'une fonction et le tracé de
sa courbe représentative (partie II), s'appuyant sur l'étude du signe d'une 
fonction auxiliaire (partie I).

\medskip

\textbf{I} Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = x - 5 + 5 \ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $g$ (ne pas étudier les
limites).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une solution unique
dans l'intervalle [1~;~7]. On note $\alpha$ cette solution.
		\item Déterminer la valeur décimale  arrondie au centième de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item Étudier le signe de $g(x)$, pour $x$ appartenant à $]0~;~+~ \infty[$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{II} Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle 
$]0~;~+~\infty[$ par 

 \[f(x) = \dfrac{(x - 5) \ln x}{x}\]
 
On peut donc aussi écrire
 
\[f(x) = \dfrac{1}{x}(x - 5) \ln x \quad \text{et} \quad  f(x) = \ln x - \dfrac{5 
\ln x}{x}.\]
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en 0.
Interpréter graphiquement le résultat.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+~\infty$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$. 
		\item Montrer que $f(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. 
	\end{enumerate}
\item On désigne  par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de
$f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij.
	\begin{enumerate}
		\item Soit A le point de la courbe $\mathcal{C}$, d'abscisse 1.
Donner une équation de la droite $\mathcal{D}$ tangente en A à la la courbe
$\mathcal{C}$.
		
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{D}$ et 
de l'axe des  ordonnées. 
		\item Tracer $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$ sur papier millimétré. (Unité graphique : 2 cm)
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}  
\end{document}