\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Centres étrangers}, pdftitle = {juin 2001}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small juin 2001} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 2001~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité} \medskip Le directeur d'un musée, dont le plan est fourni ci-dessous, organise une exposition. Afin de prévoir la fréquentation des salles, il décide d'imaginer le parcours d'un visiteur, pris au hasard, en faisant les hypothèses suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Le visiteur passe \emph{au hasard} d'une salle à une salle voisine. \item[$\bullet~$] Pour sortir d'une salle, il franchit de manière équiprobable n'importe quelle autre porte que celle qu'il a utilisée pour entrer. Dans le parcours du visiteur, le directeur ne s'intéresse qu'aux quatre premières salles traversées, l'entrée E étant comprise dans celles-ci. Un trajet par ces quatre premières salles est codé par un mot de quatre lettres, commençant par la lettre E. Par exemple : \item[$\bullet~$] Si le visiteur passe successivement par les salles E, B, D, F, on codera son trajet par le mot EBDF. \item[$\bullet~$] Le trajet codé EBDB est impossible avec les hypothèses choisies. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \begin{pspicture}(7,8.5) \psline(0,1)(6.2,1)(6.2,7.2) \psline(0,1)(0,7.2)(4,7.2) \psline(0.2,1.2)(2,1.2)(2,2)(2.2,2)(2.2,1)%bas gauche \psline(0.2,1.2)(0.2,3)(1,3)(1,3.2)(0.2,3.2)(0.2,5)(1,5)(1,5.2) (0.2,5.2)(0.2,7)(2,7)(2,6.2)(2.2,6.2)(2.2,7)(4,7)(4,5.2) (3.2,5.2)(3.2,5)(4,5)(4,4.2)(4.2,4.2) \psline(4.2,4)(4,4)(4,3.2)(3.2,3.2)(3.2,3)(4,3)(4,2.2)(4.2,2.2) (4.2,3)(5,3)(5,3.2)(4.2,3.2)(4.2,4)%intérieur gauche \psline(4.2,4.2)(4.2,7.2) \psline(1.2,3.2)(1.2,3)(2,3)(2,2.2)(2.2,2.2)(2.2,3)(3,3)(3,3.2) (2.2,3.2)(2.2,4)(2,4)(2,3.2)(1.2,3.2)%croix du bas \psline(1.2,5.2)(1.2,5)(2,5)(2,4.2)(2.2,4.2)(2.2,5)(3,5)(3,5.2) (2.2,5.2)(2.2,6)(2,6)(2,5.2)(1.2,5.2)% croix du haut \psline(4,1)(4,2)(4.2,2)(4.2,1.2)(6,1.2)(6,3)(5.2,3)(5.2,3.2)(6,3.2)(6,7.2)%bord droit \psarc(5.1,7.2){0.9}{0}{180} \psarc(5.1,7.2){1.1}{0}{180} \psarc(3.1,1){0.5}{-180}{0} \psarc(3.1,1){0.7}{-180}{0} \psarc(3.1,1){0.9} {-180}{0} \rput(3,2.3){Entrée} \rput(1,2){B} \rput(1,4){D} \rput(1,6){F} \rput(3,6){G} \rput(3,4){A} \rput(3,1.7){E} \rput(5,2){C} \rput(5,5.5){T} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item On considère un visiteur, pris au hasard, devant effectuer un trajet selon les hypothèses précédentes. \begin{enumerate} \item Construire l'arbre pondéré des différents trajets possibles pour ce visiteur. \item Montrer que la probabilité du parcours codé EBDF est $\dfrac{1}{6}$. \item Déterminer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement : \og La quatrième salle du trajet est F \fg. \item Pour des raisons techniques, le directeur installe les œuvres les plus intéressantes dans la salle T. Déterminer la probabilité $p_2$ de l'évènement \og Le trajet passe par la salle T \fg. \end{enumerate} \item Le directeur imagine dix visiteurs pris au hasard, effectuant chacun un trajet, de manière indépendante et selon les hypothèses précédentes. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, aux dix visiteurs, associe le nombre de leurs trajets passant par la salle T. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $(X = 1)$. \item Calculer la probabilité que deux visiteurs au moins passent par la salle T. (Donner le résultat arrondi au millième.) \item Le directeur décide d'obliger les visiteurs à se diriger, après l'entrée, vers la salle A, les hypothèses précédentes demeurant pour la suite des trajets. Il pense ainsi augmenter la probabilité que deux visiteurs au moins, sur les dix, passent par la salle T. Prouver qu'il a tort. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan P est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 4~cm), dans lequel on considère les points A (2~;~0), B(0~;~2) et C$(- 2~;~- 2)$. \begin{enumerate} \item Soient $a,~ b$ et $c$ les nombres définis pour $t$ réel par : \[\renewcommand\arraystretch{1.7}\left\{ \begin{array}{l c r} a &=& - \dfrac{1}{2}\sin 2t + \dfrac{2}{3}\cos t + \dfrac{2}{3}\\ b &=& \sin 2t - \dfrac{1}{3} \cos t + \dfrac{2}{3}\\ c & =& - \dfrac{1}{2}\sin 2t - \dfrac{1}{3} \cos t + \dfrac{2}{3}\\ \end{array} \right.\] \renewcommand\arraystretch{1} \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $t$, il existe un barycentre, noté $G(t)$, du système de points pondérés \{(A,~a) ; (B,~b) ; (C,~c)\}. \item Montrer que, pour tout réel $t$, les coordonnées du point $G(t)$ sont : \[x(t) = \cos t \quad \text{et} \quad y(t) = \dfrac{3}{2} \sin 2t.\] Lorsque le paramètre $t$ varie, ce barycentre décrit une courbe ($\Gamma$), que l'on se propose d'étudier. \end{enumerate} \item Étude des symétries de la courbe ($\Gamma$) \begin{enumerate} \item Étudier les positions relatives des points $G(t)$ et $G(t + 2\pi$). \item Étudier les positions relatives des points $G(t)$ et $G(- t)$. \item Étudier les positions relatives des points $G(t)$ et $G(\pi - t)$. \item Déduire de ce qui précède, en justifiant la démarche, un intervalle d'étude approprié pour les fonctions $x$ et $y$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de chacune des fonctions $x$ et $y$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ et les faire apparaître dans un même tableau. \item Placer les points de ($\Gamma$) correspondant aux valeurs du paramètre 0, $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ et tracer les tangentes à la courbe ($\Gamma$) en ces points. \item Tracer la partie de ($\Gamma$) obtenue lorsque $t$ appartient à l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ puis tracer ($\Gamma$) complètement. (Hors-programme en 2002) \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Un astronome a observé au jour J$_0$ le corps céleste A, qui apparaît périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard (J$_0$ + 6), il observe le corps B, dont la période d'apparition est de 81 jours. On appelle J$_1$ le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de l'astronome. Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour J$_1$. \medskip \begin{enumerate} \item Soient $u$ et $v$ le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre J$_0$ et J$_1$. Montrer que le couple $(u~;~ v)$ est solution de l'équation (E$_1)$~ : \[35x - 27y = 2.\] \item \begin{enumerate} \item Déterminer un couple d'entiers relatifs $(x_0~;~y_0)$ solution particulière de l'équation (E$_2$) : \[35x - 27y = 1.\] \item En déduire une solution particulière $(u_0~;~v_0)$ de (E$_1$). \item Déterminer toutes les solutions de l'équation (E$_1$). \item Déterminer la solution $(u~;~v)$ permettant de déterminer J$_1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Combien de jours s'écouleront entre J$_0$ et J$_1$ ? \item Le jour J$_0$ était le mardi 7 décembre 1999, quelle est la date exacte du jour J$_1$ ? (L'année 2000 était bissextile.) \item Si l'astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devra-t-il attendre jusqu'à la prochaine conjonction des deux astres ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textsl{Les objectifs du problème sont de déterminer une solution particulière d'une équation différentielle (partie A), d'étudier cette solution (partie B) et de la retrouver dans un contexte différent (partie C).} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip On appelle (E) l'équation différentielle : $y'' - y = 0$, où $y$ est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $r$ tels que la fonction $h$, définie par $h(x) = \text{e}^{rx}$, soit solution de (E). \item Vérifier que les fonctions $\varphi$ définies par $\varphi(x) = \alpha \text{e}^x + \beta \text{e}^{- x}$, où $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres réels, sont des solutions de (E). On admet qu'on obtient ainsi toutes les solutions de (E). \item Déterminer la solution particulière de (E) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées $\left(\ln 2~;~ \dfrac{3}{4}\right)$ et admet en ce point une tangente dont le coefficient directeur est $\dfrac{5}{4}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On appelle $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par: \[f(x) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x - \text{e}^{- x}\right).\] On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij. \begin{enumerate} \item Soit $\mu$ un réel. Montrer que, pour tout réel $x,~f(x) = \mu$ équivaut à $\text{e}^{2x} - 2\mu \text{e}^x - 1 = 0$. En déduire que l'équation $f(x) = \mu$ a une unique solution dans $\R$ et déterminer sa valeur en fonction de $\mu$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. \item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 0. \item En étudiant le sens de variation de la fonction $d$ définie sur $\R$ par $d(x) = f(x) - x$, préciser la position de ($\mathcal{C}$) par rapport à (T). \item Tracer ($\mathcal{C}$) et (T) (unité graphique : 2 cm). \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{D}$ la partie représentant sur le graphique l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ tels que : \[\left\{ \begin{array}{l c l c l} 0 & \leqslant &x & \leqslant &1\\ x &\leqslant &y &\leqslant &f(x)\\ \end{array}\right.\] Calculer, en cm$^2$ l'aire de $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie C} \medskip On cherche à caractériser les fonctions $\varphi$, dérivables sur l'ensemble des nombres réels, telles que, pour tout réel $x$ : \[\varphi(x) - \displaystyle\int_0^x (x - t) \varphi (t)\:\text{d}t = x \quad (\text{H}).\] \begin{enumerate} \item On suppose qu'il existe une telle fonction $\varphi$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, \[\varphi(x) = x + x \displaystyle\int_0^x \varphi(t)\: \text{d}t - \displaystyle\int_0^x t \varphi(t)\:\text{d}t.\] Calculer $\varphi(0)$. \item Démontrer que, pour tout nombre réel $x, ~\varphi'(x) = 1 + \displaystyle\int_0^x \varphi(t)\:\text{d}t$. Calculer $\varphi'(0).$ \item Vérifier que $\varphi$ est une solution de l'équation différentielle (E) de la partie \textbf{A}. Déterminer laquelle, parmi toutes les solutions explicitées dans la question \textbf{A 2}. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_0^x t\left(\text{e}^t - \text{e}^{- t}\right)\:\text{d}t.$ \item Démontrer que la fonction trouvée à la question \textbf{1 c} vérifie bien la relation (H). \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}