\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Centres étrangers I}}
\rfoot{\small juin 1997}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers  juin 1997~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans une classe de $30$ élèves, $14$ sont des filles. Par ailleurs, $8$ filles et $4$ garçons sont internes. Les autres élèves sont externes.
 
On choisit un élève au hasard dans cette classe.
 
On considère les évènements suivants : 

$A$ : \og l'élève choisi est interne \fg{} ; 

$B$ : \og l'élève choisi est un garçon \fg.
 
Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions simplifiées et 
seront justifiés.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$ puis de l'évènement $B$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(B/A)$, c'est-à-dire la probabilité que l'élève choisi soit 
un garçon, sachant qu'il est interne.
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement $A \cap  B$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $p(A/B)$.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $A \cup B$, à partir des questions précédentes, ou par une justification directe.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Dans cet exercice, les calculs peuvent être effectués à la calculatrice ; leur détail n'est pas exigé.}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne la charge maximale $y_{i}$ en tonnes, qu'une 
grue peut lever pour une longueur $x_{i}$ en mètres, de la flèche. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{1,8cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}X}\hline
Longueur $x_{i}$& 16,5 &18 &19,8 &22 &25 &27 &29 &32 &35 &39 &41,7\\ \hline 
Charge $y_{i}$& 10 &9 &8 &7 &6 &5,5& 5 &4,5& 4& 3,5& 3,2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Les réponses numériques à cette question seront données à $10^{-2}$ près. 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points $M\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ à l'aide d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités 1~cm pour 2~mètres en abscisses et 1~cm pour 
une tonne en ordonnées.
		\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. 
		\item Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Construire cette droite sur le graphique 
précédent. 
		\item Utiliser cette équation pour déterminer la charge maximale que peut lever la grue avec une flèche de $26$~mètres.
	\end{enumerate} 
\item On pose $z_{i} = \dfrac{1}{y_{i}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant (les $z_{i}$ seront arrondis à 
$10^{-3}$ près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}X}\hline
$x_{i}$ &16,5 &18 &19,8 &22 &25 &27 &29 &32 &35 &39 &41,7\\ \hline 
$z_{i}$& \small 0,100	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $z$ puis une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les résultats numériques seront arrondis à $10^{- 4}$ près.
		\item En se fondant sur les résultats obtenus en 2. b, calculer la valeur de $z$ correspondant à $x = 26$ ; en déduire la charge maximale que peut lever la grue avec une flèche de $26$~mètres. 
		\item Ce résultat vous paraît-il plus satisfaisant que celui de 1. a ? 
Pourquoi ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans un lycée, 55\,\% des élèves sont des filles. Dans ce même lycée, 22\,\% des filles et 18\,\% des garçons étudient l'allemand.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un élève du lycée.
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que l'élève choisi est un garçon, quelle est la probabilité qu'il apprenne l'allemand ?  
		\item Calculer la probabilité que l'élève choisi apprenne l'allemand et qu'il soit un garçon.
		\item Montrer que la probabilité que l'élève choisi étudie l'allemand est $p = 0,202$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question les résultats seront donnés à $10^{-4}$ près.}
 
On choisit maintenant au hasard et de façon indépendante 5 élèves du lycée. (On suppose que l'effectif du lycée est suffisamment élevé pour que cette expérience soit assimilée à un schéma de Bernoulli.) 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que, sur les 5 élèves choisis, aucun n'étudie l'allemand ?
		\item Quelle est la probabilité que les 5 élèves étudient l'allemand ?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 élèves étudiant l'allemand ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le coût de production, en milliers de francs, de $x$ centaines d'appareils
 fabriqués par une entreprise est donné par la fonction $C$, définie 
 par  :
 
\[C(x) = 3x + 25 + \text{e}^{3 - 0,1x}. \] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en arrondissant à un franc près, le coût de production de 
3 centaines d'appareils. 

Quel est dans ce cas le coût moyen de production, arrondi au franc près, d'un appareil ? 
		\item Vérifier que lorsqu'on fabrique $x$ centaines d'appareils, le coût moyen, en francs, d'un appareil est $\dfrac{10C(x)}{x}$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer $C'(x)$ et en déduire le sens de variation de $C$ dans l'intervalle
 [0~ ;~ 10].
\item Chaque appareil est vendu $200$~F pièce, mais, en raison de défauts de 
fabrication et de distribution, seulement 95\,\% des appareils fabriqués sont
 effectivement vendus.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le bénéfice, en milliers de francs, obtenu avec la fabrication 
de $x$ centaines d'objets est : 

\[B(x ) = 16x - 25 - \text{e}^{3 - 0,1x}.\]

		\item Calculer $B'(x)$ et étudier le sens de variation de $B$ dans l'intervalle 
[0~;~10].
		\item Démontrer que l'équation $B(x) = 0$ admet une solution unique dans 
l'intervalle [0~;~10]. On note $\alpha$ cette solution.
		\item Déterminer un encadrement de  $\alpha$, d'amplitude $10^{- 2}$.
		\item En déduire le nombre entier minimum d'appareils  à produire pour réaliser un bénéfice.
		\item Quel est, en francs, le bénéfice obtenu en fabriquant \np{1000} appareils ? 
(Arrondir au franc le plus proche.)
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}