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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture :
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur -- Polynésie}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{mai 2021}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\[5pt] mai 2021 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres ou établissement privé hors contrat}}}

\end{center}

\vspace{0.25cm}
L'usage de calculatrice, avec mode examen actif est autorisé. 

L'usage de calculatrice sans mémoire, \og type collèqe \fg{} est autorisé.

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes}

\medskip

On s'intéresse à une entreprise spécialisée dans la fabrication de masques.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'entreprise fabrique des masques en tissu et d'autres en fibre. Pour des raisons de fiabilité, l'entreprise procède à des tests.

45\,\% des masques fabriqués sont en tissu.

Parmi les masques en tissu, 92\,\% ont réussi les tests. 

Parmi les masques en fibre, 96\,\% ont réussi les tests.


Un client commande un masque sur le site de l'entreprise. On note les évènements :

\quad -- $T$ \og Le masque commandé par le client est en tissu \fg,

\quad -- $F$ \og Le masque commandé par le client a réussi les tests de fiabilité \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur des probabilités $p(T)$ et $P_T(F)$.
\item Réaliser un arbre de probabilité représentant la situation.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $T \cap F$. Interpréter ce résultat par une
phrase.
\item Montrer que $P(F) = 0,942$.
\item Sachant que le masque choisi a réussi les tests de fiabilité, quelle est la
probabilité que ce masque soit en tissu? Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un magasin commande en début de mois $120$ masques en tissu. On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout prélèvement de $120$ masques associe le nombre de masques en tissu ayant un défaut.

On considère que la probabilité d'avoir un défaut est de $0,08$.

Le stock est assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Calculer la probabilité pour que, dans le lot reçu par le magasin, il y ait exactement cinq masques en tissu ayant un défaut. Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\item Calculer la probabilité pour que le lot reçu par le magasin contienne au moins dix masques en tissu ayant un défaut. Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le nombre de masques en fibre vendus par mois par l'entreprise peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 260$ et d'écart type $\sigma = 10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(240 \leqslant y \leqslant 280)$. Arrondir le résultat à $0,001$ près. 

Interpréter le résultat par une phrase.
\item Déterminer $P(Y \leqslant 240)$. Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

Le tableau suivant donne le nombre d'adhérents d'un club d'escrime pour les années 2011 à 2017.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 				&2011 	&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017\\ \hline
Rang				&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
Nombre d'adhérents	&76 	&95 	&120 	&146 	&167 	&192 	&218\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux global d'évolution en pourcentage du nombre d'adhérents entre les années 2011 et 2017. Arrondir le résultat à $0,1$\,\% près.
\item Calculer le taux annuel moyen d'évolution en pourcentage entre 2011 et 2017. Arrondir le résultat à $0,1$\,\% près.
\item On suppose que le nombre d'adhérents, après 2017, augmente de $19$\,\% par an jusqu'en 2023.

Soit la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_n$ représente le nombre d'adhérents de ce club en $(2017 + n)$, on a $u_0 = 218$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$. Arrondir à l'unité.
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer le nombre d'adhérents en 2023.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On cherche à étudier l'évolution du nombre $y$ d'adhérents en fonction du rang $x$ de l'année.

On rappelle le nombre d'adhérents dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 				&2011 	&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017\\ \hline
Rang				&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
Nombre d'adhérents	&76 	&95 	&120 	&146 	&167 	&192 	&218\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, sans justifier, le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série
statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$. Arrondir à 0,001 près.

Expliquer pourquoi ce résultat permet d'envisager un ajustement affine.
\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.

Les coefficients seront arrondis à $0,1$ près.
\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite d'équation: $y = 24x + 50$.

Selon ce modèle :
	\begin{enumerate}
		\item Donner une estimation du nombre d'adhérents en 2023.
		\item À partir de quelle année le club aura-t-il plus de $600$ adhérents ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}