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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2014~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]23 février 2014\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au millième près.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

D'après les statistiques du concours des douanes, sur les candidats aux épreuves de contrôleur de l'année $X$, on pouvait dire que :

\begin{itemize}
\item 55\,\% tentaient ce concours pour la première fois;
\item 40\,\% le tentaient pour la seconde fois ;
\item 5\,\% étaient au moins à leur troisième tentative;
\item 60\,\% de ceux qui le tentaient pour la première fois concouraient pour la branche surveillance ;
\item 80\,\% de ceux qui le tentaient pour la seconde fois concouraient pour la branche des opérations commerciales ;
\item 10\,\% de ceux qui le tentaient pour au moins la troisième fois concouraient pour la branche surveillance.
\end{itemize}

\medskip

En choisissant un des candidats au concours de contrôleur de l'année $X$, on note :

\begin{itemize}
\item $O$ l'évènement: \og le candidat concourt pour la branche des opérations commerciales \fg 
\item $S$ l'évènement: \og le candidat concourt pour la seconde fois \fg
\item $P$ l'évènement: \og le candidat concourt pour la première fois \fg
\item $T$ l'évènement: \og le candidat concourt pour au moins la troisième fois \fg
\end{itemize}

On notera $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$. L'évènement contraire de $E$ sera noté $\overline{E}$. $p_F(E)$ désignera la probabilité conditionnelle de l'évènement $E$ par rapport à l'évènement $F$.

D'autre part, on supposera que les candidats doivent choisir entre la branche de la surveillance et la branche des opérations commerciales et ne peuvent concourir dans les deux branches.

Les probabilités seront données sous forme décimale au millième près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donnez $p_P\left(\overline{O}\right),\: p_S(O)$ et $p_T\left(\overline{O}\right)$.
\item Construisez un arbre pondéré résumant la situation.
\item Calculez la probabilité de l'évènement : \og le candidat tente le concours pour la première fois et concourt dans la branche des opérations commerciales \fg.
\item Montrez que la probabilité de l'évènement $O$ est égale à $0,585$.
\item On choisit un candidat au hasard parmi ceux qui concourent pour la branche des opérations commerciales.

Calculez la probabilité que ce soit sa première participation au concours.
\item On choisit à présent trois candidats de façon aléatoire et de manière indépendante.

Calculez la probabilité qu'il s'agisse de candidats concourant dans la branche des opérations commerciales.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip


Soit 

\[f(x) = \displaystyle\int_0^x \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t\]

(on ne cherchera pas à expliciter $f(x)$)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifiez que $f$ est définie et croissante sur $\R$.
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un  repère orthonormal \Oij.

Montrez que $\mathcal{C}$ passe par O et donnez l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ en O.
\item Pour tout $x \in \left]-\frac{\pi}{2}~;~\frac{\pi}{2}\right[$, on pose 

\[g(x) = f (\tan x) = \displaystyle\int_0^{\tan x} \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t.\]

Démontrez que $g$ est dérivable sur $\left]-\frac{\pi}{2}~;~\frac{\pi}{2}\right[$ et déterminez $g'(x)$.

Déduisez-en une expression simple de $g(x)$ en fonction de $x$.
\item Définissez $f(1)$ et $f\left(\sqrt 3\right)$.
\item Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$,on pose : 

\[h(x) = f(x) + f\left(\dfrac 1x\right) = \displaystyle\int_0^x \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t + \displaystyle\int_0^{\frac 1x} \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t.\]

Montrez que $h$ est constante et déterminez cette constante.
\item Déterminez $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
\item Démontrez que $f$ est une fonction impaire.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Soit $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ les courbes d'équations respectives
\begin{center} $y = x^3$ \qquad et \qquad $y = \dfrac 1x$\end{center}

Expliquez pourquoi $\mathcal{C}$  et $\mathcal{C'}$ ne peuvent pas avoir de tangentes parallèles.
\end{document}