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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Branche opérations commerciales}}
\rfoot{\small{session 2025}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]Branche Contrôle des opérations commerciales — session 2025
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :
\begin{itemize}
\item \textbf{Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont
demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.}
\item \textbf{Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet. Le sujet et les feuilles de brouillon ne seront ni ramassés ni corrigés.}
\end{itemize}}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

On note $D$ la droite passant par les points A$(3~;~- 3~;~0)$ et B$(4~;~- 1~;~-1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $D$
sachant que $t \in R$ , est :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{-}3+ \phantom{2}t\\
y&=&-3+ 2t\\
z&=&\phantom{-3 +}- t
\end{array}\right.\]

\item On note $D'$ la droite ayant pour représentation paramétrique,
sachant que $k \in \R$:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{- }3k + 1\\
y&=&\phantom{3}-k + 3\\
z&=&\phantom{- 3}k - 2
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner un vecteur directeur $\vect{u}$ de la droite $D'$
		\item Démontrer que les droites $D'$ et $D$ sont orthogonales.
		\item Démontrer que les droites $D'$ et $D$ ne sont pas sécantes.
	\end{enumerate}
\item On considère le plan $P$ d'équation $2x+ y+ 4z-3=0$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer le que le plan $P$ contient la droite $D$
		\item Démontrer que le plan $P$ et la droite $D'$ se coupent en un point C dont vous préciserez les coordonnées.
	\end{enumerate}
\item On considère la droite $\Delta$ passant par le point C et de vecteur directeur
$\vect{v}(1~;~2~;~-1)$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites $\Delta$ et
$D$ sont strictement parallèles.
		\item Démontrer que les droites $\Delta$ et $D'$ sont sécantes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x)= x - \dfrac{\ln (x)}{x^2}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par: 

\[u(x) = x^3 - 1 + 2 \ln (x).\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer $u(1)$ et en déduire le signe de $u(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$
en $0$ et en $+ \infty$.

On remarquera que :

$\dfrac{\ln(x)}{x^2} = \dfrac 1x \times \dfrac{\ln(x)}{x}$\: pour tout
$x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

Interpréter graphiquement la limite de $f$ en 0.
		\item Déterminer la fonction $f'$, dérivée de $f$
et construire le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.
		\item Calculer $\lim [f(x) - x]$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
		
Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Amateur de mots croisés, Mathias s'entraîne sur un site internet.

40\,\% des grilles qui y sont proposées sont de niveau facile, 30\,\% sont de niveau moyen et 30\,\% de niveau difficile.

Mathias sait qu'il réussit les grilles de niveau facile dans 95\,\% des cas, de niveau moyen dans 60\,\% des cas et de niveau difficile dans 40\,\% des cas.

Une grille de mots croisés lui est proposée de façon aléatoire.

On considère les évènements suivants :


\begin{description}
\item[ ] $F$ : \og La grille de mots croisés est de niveau facile. \fg ;
\item[ ] $M$ : \og La grille de mots croisés est de niveau moyen. \fg;
\item[ ] $D$ : \og La grille de mots croisés est de niveau difficile. \fg;
\item[ ] $R$ : \og Mathias réussit la grille. \fg{} et 
\item[ ] $\overline{R}$ son évènement contraire.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la grille de mots croisés proposée soit de niveau difficile et que Mathias la réussisse.
		\item Calculer la probabilité que la grille de mots croisés proposée soit de niveau facile et que Mathias ne la réussisse pas.
		\item Montrer que la probabilité que Mathias réussisse la grille proposée est égale $0,68$.
	\end{enumerate}
\item Sachant que Mathias n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de mots croisés de niveau moyen ?
\item Mathias a réussi la grille proposée. Sa petite sœur Elyne affirme : \og Je pense que ta grille était facile \fg.

Dans quelle mesure a-t-elle raison ?

Justifier la réponse à l'aide d'un calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Le nombre d'arbres de la forêt de Xivry, en milliers d'unités, est modélisé par la suite $(u_n)$ où $u_n$ désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année $(2024 + n)$.

En 2024, la forêt de Xivry possède \np{50000}~arbres.

Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, l'ONF, l'Office National des Forêts, décide d'abattre chaque année 5\,\% des arbres existants et de replanter \np{3000}~arbres.

Pour cette exercice, on donne les données suivantes :

$0,95^5 \approx \np{0,7737} ;\quad  0,95^6 \approx \np{0,7350} ;\quad  0,95^7 \approx \np{0,6983}$

$0,94^4 \approx \np{0,7807} ;\quad 0,94^5 \approx \np{0,7339} ;
\dfrac{\ln (0,4)}{\ln (0,95)} \approx 17,86 ;
\dfrac{\ln (0,6)}{\ln (0,95)} \approx 9,95 ;$

$\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,95)} \approx 13,51,95 ;
\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,94)} \approx 8,25 ; \dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,95)} \approx 12,51 ;$

\textbf{N. B :} toutes ces données ne sont pas nécessairement utilisables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la situation peut être modélisée par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
 u_0&=&50\\
u_{n+1}&=&0,95u_n + 3 \:\:\text{ pour tout entier
naturel }\:n
\end{array}\right.\]

\item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel
$n$ par la relation:

$v_n = 60 - u_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95.
		\item Calculer $v_0$.
		
Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$

\[u_n = 60 - 10 \times (0,95)^n.\]

	\end{enumerate}
\item Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2029. On donnera une valeur
approchée arrondie à l'unité.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout entier naturel $n$
on a l'égalité $u_{n+ 1} - u_n = 0,5 \times (0,95)^n$.
		\item En déduire la monotonie de la suite.
		\end{enumerate}
\item Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'arbres de la forêt aura la dépassé de 10\,\% celui de 2024.
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Interpréter.
\end{enumerate}
\end{document}