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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]session 2010
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \left(x^2 - 5x + 1\right)\text{e}^{-x}\]

On note $C$ sa représentation graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$
\item Étudier les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+\infty$.
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ puis factoriser l'expression de cette dérivée.
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Donner une équation de la tangente $T$ à $C$ au point d'abscisse $x = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{I -} Une grande enveloppe contient les douze \og figures \fg{} d'un jeu de cartes: les quatre rois, les quatre dames et les quatre valets. On tire simultanément et au hasard, cinq cartes de l'enveloppe.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de rois obtenus.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique $E$.

\bigskip

\textbf{II -} Dans la même enveloppe contenant les mêmes douze cartes, on effectue successivement cinq fois le tirage d'une carte que l'on remet à chaque fois dans l'enveloppe.

On appelle $Y$ la variable aléatoire dont la valeur est égale au nombre de rois obtenus au cours des cinq tirages.

Déterminer la loi de probabilité de $Y$ et calculer son espérance mathématique.

Quelle conclusion peut-on tirer en comparant les espérances mathématiques obtenues dans chacun de ces 2 cas ?

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par:

\[f(x) = 2 x^2 - 2 - \ln x\]

et $C$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle $I$ sur lequel la fonction $f$ est définie, puis donner la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
		
En déduire que $C$ admet une asymptote et donner une équation de celle-ci.
		\item Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
		\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que sur l'intervalle $I$ le signe de $f'(x)$ est celui de $(2x - 1)$.
		\item En déduire le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C$ au point d'abscisse 1.
		\item Tracer un repère orthonormé et donner l'allure des courbes $C$ et $T$.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $h$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par: 
		
		\[h(x) = x\ln x - x.\]
		
Calculer la dérivée $h'(x)$.
		\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par: $g(x) = 2x^2 -2$.
		
Déterminer une primitive $G$ de $g$ sur $]0~;~ +\infty[$.
		\item En utilisant les résultats précédents, déterminer une primitive $F$ de $f$.
		\item Calculer l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine limité par $C$, l'axe des abscisses et
les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$.

Donner une valeur numérique approchée de celle-ci (à cette fin, on donne l'approximation $\ln 2 \approx 0,69$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0$ et pour tout $n \in \N$ :

\[3u_{n+ 1} = 2 u_n + 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'il existe une valeur de $u_0$ pour laquelle la suite $\left(u_n\right)$ est stationnaire (rappel : $\left(u_n\right)$ est une suite stationnaire signifie que, pour tout $n \in  \N$ , \:$u_n = $constante).
\item On pose désormais $u_0 = 2$ et on définit la suite $\left(v_n\right)$ par, pour tout $n \in \N$ : \:$v_n = u_n - 1$.

Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère \Oijk orthonormal. 

Soit $s$ un nombre réel.

On donne les points A(8~;~0~;~8), B(10~;~3~;~10) ainsi que la droite $D$ d'équations paramétriques :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-5+3s\\
y&=&1+2s\\
z&=& -2 s
\end{array}\right.$

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par A et B 
		\item Démontrer que $D$ et $\Delta$ sont non coplanaires.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le plan $P$ est parallèle à $D$ et contient $\Delta$.
		
Montrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~-2~;~1)$ est un vecteur normal à $P$ et déterminer une équation
cartésienne de $P$.
		\item Montrer que la distance d'un point quelconque $M$ de $D$ à $P$ est indépendante de $M$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}