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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]session 2012
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Mathématiques}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ deux suites définies par $u_0 = 9$ et $\forall n \in \N$,par:

\[u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n - 3 \qquad \text{et}\qquad v_n = u_n + 6.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison.
\item Exprimer $S_n = v_0 + v_1 + v_2+ \ldots + v_n$ puis $S'_n= u_0 + u_1 + U_2 + \ldots + u_n$ en fonction de $n$
(pour déterminer $S'_n$, on pourra utiliser la relation $u_n = v_n - 6$) 

Déterminer les limites de $\left(S_n\right)$ et de $\left(S'_n\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
\item On définit à présent, $\forall n \in \N$,la suite $\left(w_n\right)$ par : $w_n = \ln \left(v_n\right)$.

Montrer que $\left(w_n\right)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison. (à cet effet, on pourra calculer $w_{n+1} - w_n$).
\item Exprimer $S''_n = w_0 + w_1 + w_2 + \ldots + w_n$ en fonction de $n$ puis calculer la limite de $\left(S''_n\right)$.
\item Calculer le produit $P_n = v_0 \cdot v_1 \cdot v_2 \cdots v_n$, en fonction de $n$. 

En déduire la limite de $\left(P_n\right)$. (Pour déterminer ce résultat, on exprimera $P_n$ en fonction de $S''_n$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = x \text{e}^{-x + 2}\]

On note $(C)$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur  $[0~;~+\infty[$ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe $(C)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer l'allure de la courbe $(C)$ ainsi que celle de la courbe de la fonction logarithme népérien que l'on notera $L$.
		
Déduire du graphique réalisé, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = \ln x$ sur $[1~;~ +\infty[$.
		\item Montrer que la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \ln (x) - f(x)$ est strictement croissante sur $[1~;~+\infty[$.
		
En déduire que l'équation $f(x) = \ln x$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par 

\[h(x) = \text{e}^{x}\left(4 - \text{e}^{x}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $h$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
\item Soit $h'$ la dérivée de $h$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h'(x)$.
		\item Résoudre l'inéquation $2 - \text{e}^{x} > 0$ et en déduire le signe de $h'(x)$ et le sens de variations de $h$.
	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $h$.
\item On considère l'équation $h(x) = 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $x = 0$ est solution de cette équation
		\item Vérifier la relation $h(x) - 3 = \left(\text{e}^{x} - 3\right)\left(1 - \text{e}^{x}\right)$ et en déduire la valeur de la solution non nulle, $\lambda$, de l'équation $h(x) = 3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On réalise une enquête portant sur la réussite à un concours administratif (qui ne comporte
qu'une seule épreuve). Cette enquête montre que :

\begin{itemize}
\item avant de s'y présenter, 75\,\% des candidats ont travaillé très sérieusement ce concours;
\item lorsqu'un candidat a travaillé très sérieusement ce concours, il l'obtient dans 80\,\% des cas·,
\item lorsqu'un candidat n'a pas beaucoup travaillé ce concours, il ne l'obtient pas dans 70\,\% des cas.
\end{itemize}

\medskip

On interroge au hasard un candidat qui vient de passer le concours (on suppose que les résultats sont connus dès la fin de l'unique épreuve).

\medskip

On considère les évènements suivants:

$T$ l'évènement \og le candidat a travaillé très sérieusement \fg{} ;

$R$ l'évènement \og le candidat est reçu à ce concours\fg.

\emph{Les résultats seront donnés sous forme de décimales (en utilisant des puissances, le cas échéant).}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement \og le candidat a travaillé très sérieusement et est reçu au concours \fg.
		\item Montrer que la probabilité P(R) qu'un candidat soit reçu à ce concours est égale à $0,675$.
	\end{enumerate}	
\item Le candidat interrogé vient d'échouer au concours. Quelle est la probabilité qu'il ait travaillé très sérieusement?
\item À la sortie de l'épreuve, on interroge au hasard et de façon indépendante 3 candidats. 

Calculer la probabilité $P_3$ d'interroger au moins une personne ayant échoué au concours.
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un marchand de guitares vend le même jour cinq guitares identiques à des particuliers.

Ce marchand accorde les guitares avant de les remettre à ses clients.

La probabilité qu'une guitare de ce type soit toujours accordée 6 mois après la vente est de $0,8$.

Calculer les probabilités pour que :

\medskip

\begin{enumerate}
\item les cinq guitares soient toujours accordées 6 mois après la vente ;
\item les cinq guitares soient désaccordées 6 mois après la vente ;
\item trois guitares soient désaccordées 6 mois après la vente ;
\item deux guitares au plus soient désaccordées 6 mois après la vente.
\end{enumerate}
\end{document}