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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]session 2014
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Mathématiques}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'évolution des prix des abonnements à la téléphonie fixe est donnée par le tableau suivant.

Le prix est exprimé en dizaines d'euros.

On note $x_i$ le rang de l'année, $x_i = 1$ étant donné pour l'année 2005.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2005&2006& 2007& 2009& 2010& 2011\\ \hline
Rang de l'année $x_i$& 1 &2 &3 &5 &6 &7\\ \hline
Prix de l'abonnement  en euros $y_i$&5&4 &4,5 &4 &2 &1,5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Représentez le nuage de points $P_i\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal du plan.
\item Déterminez les coordonnées de $G$, point moyen de ce nuage ; placez-le dans le repère précédent.
\item On réalise un ajustement affiné de ce nuage par la droite $D$ d'équation $y = - 0,536x + b$ qui passe par le point $G$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez la valeur de $b$.
		\item Tracez la droite $D$ dans le repère précédent.
	\end{enumerate}
\item Déterminez, à l'aide de l'ajustement précédent, le prix estimé de l'abonnement téléphonie fixe en 2012.
\item En réalité, un relevé récent a permis de constater qu'en 2012, le prix réel de l'abonnement téléphonie fixe était de $14,75$ euros.

Déterminez, en pourcentage, l'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte (on arrondira à l'unité).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un appareil acheté neuf coûte \np{2500}~euros. Au bout d'un an, son prix de revente a diminué de 20\,\% et on suppose qu'il en est ainsi chaque année.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculez le prix de revente $u_1$ au bout de la première année.
\item Soit $u_n$ le prix de revente au bout de la nième année. Justifiez que 
$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,8$. Exprimez $u_n$n en fonction de $n$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $v_n= \ln \left(u_n\right)$ ?
\item Déterminez le nombre d'années à partir duquel le prix de revente sera inférieur à $500$~euros.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = \text{e}^{x - 3} - \dfrac{1}{x + 4}\]

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée.

Calculez $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Déduisez que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
\item Déterminez $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dressez le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		\item Montrez que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. On note $\alpha$ cette solution.
		
Donnez le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduisez et complétez le tableau suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 1,32& 1,325& 1,33\\ /hline
$f(x)$&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Les valeurs seront arrondies au dix-millième.
		\item Déduisez la valeur décimale, arrondie au centième, du nombre $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = \text{e}^{x - 3} - \ln (x + 4).\]

La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. On note $g'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculez $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Étudiez le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ en utilisant les résultats de la partie A.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un jeune garçon possède deux manettes de jeu d'aspects parfaitement identiques, mais l'une d'entre elles est truquée.

Le jeune garçon ne peut pas savoir laquelle des deux est truquée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le jeune garçon choisit au hasard l'une des deux manettes et il joue une partie avec celle-ci.

On note :

\setlength\parindent{1cm}
$A$ l' évènement \og le garçon choisit la manette truquée\fg{} et $\overline{A}$ l' évènement contraire ; 

$E$ l'évènement \og le garçon gagne la partie\fg{} et $\overline{E}$ l'évènement contraire.
\setlength\parindent{0cm}

Cette situation aléatoire est modélisée par l'arbre incomplet suivant, dans lequel figure certaines probabilités.

\begin{pstree}


\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,5$}}
	{
	\TR{$E$}\naput{$0,6$}
	\TR{$\overline{E}$}\nbput{}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{}}
{
\TR{$E$}\naput{$0,3$}
\TR{$\overline{E}$}
}
}
\bigskip
\end{center}

Ainsi $0,6$ est la probabilité que le garçon gagne sachant qu'il a choisi la manette truquée.
	\begin{enumerate}
		\item Reproduisez cet arbre sur la copie et le compléter.
		\item Calculez la probabilité de l'évènement \og le garçon choisit la manette truquée et il gagne \fg.
		\item Calculez la probabilité de l'évènement \ogle garçon choisit la manette non truquée et il gagne \fg.
		\item Montrez que la probabilité que le garçon gagne est égale à $0,45$.
		\item Calculez la probabilité que le garçon ait choisi la manette non truquée sachant qu'il a gagne.
	\end{enumerate}
\item Trois fois successivement et de façon indépendante, le jeune garçon choisit au hasard l'une des deux manettes et joue une partie.

Calculez la probabilité de l'évènement \ogle garçon gagne exactement deux fois \fg. Le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au millième.

\end{enumerate}
\end{document}