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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 2015}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]session 2015
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :}

\textbf{Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au millième près.}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Une association sportive louant des terrains de tennis s’interroge sur la rentabilité de ses terrains. Sachant que la location d’un terrain dure une heure, l'association a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine). Dans le cadre de cette répartition, $80$\,\% des heures sont creuses.

Une étude statistique sur plusieurs semaines lui a permis de s’apercevoir que : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Lorsque l’heure est creuse, 30\,\% des terrains sont occupés ;
\item[$\bullet~~$] Lorsque l’heure est pleine, 90\,\% des terrains sont occupés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On choisit un terrain au hasard.

On notera les évènements :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C$ : \og l’heure est creuse \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $T$ : \og le terrain est occupé \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représentez cette situation par un arbre de probabilités pondéré.
\item Calculez $P(T \cap C)$.
\item Déterminez la probabilité que le terrain soit occupé.
\item Déterminez la probabilité que l’heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, et donnez le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Dans le but d’inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, l'association a instauré, pour la location d’un terrain, des tarifs différenciés :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $12$ \euro{} pour une heure pleine ;
\item[$\bullet~~$] $5$ \euro{} pour une heure creuse.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location horaire d’un terrain choisi au hasard.
\item Quelles sont les valeurs prises par la variable $X$ ? 

Construisez le tableau décrivant la loi de probabilité de $X$.
\item Déterminez l’espérance mathématique de $X$. Interprétez ce résultat.
\item Sachant que l’association dispose de $12$~terrains et est ouverte $60$~heures par semaine, quelle est sa recette hebdomadaire moyenne ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Lors d’une émission télévisée, les téléspectateurs sont appelés à envoyer des messages téléphoniques par SMS, pendant une durée de $5$~minutes.

Pendant ces 5 minutes, les messages arrivent de façon continue, avec un débit variable en fonction du temps. Si $x$ est le temps exprimé en minutes, le débit, exprimé en milliers de messages par minute, est donné par la fonction $f$ telle que :

\[\begin{array}{l}
f(x)= - 4x^2 + 8x \:\text{pour}\quad  x \in [0~;~1]\\
f(x)= \ln x - x + 5  \:\text{pour}\quad  x \in [1~;~5]
\end{array}\]

On veut calculer le nombre total de messages reçus pendant ces 5 minutes, et on admet que ce nombre de messages est donné par :

\[\displaystyle\int_0^5 f(x)\:\text{d}x\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrez que $f$ est croissante sur [0~;~1] et décroissante sur [1~;~5]. 
\item Donnez une primitive $F$ de la fonction $f$ sur [0~;~1].
\item Calculez la valeur exacte de l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine plan délimité par la courbe $C$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = 0$ et $x = 1$.
\item Soient $g$ et $G$ les fonctions définies sur [1~;~5] par $g(x) = \ln x$ et $G(x) = x \ln x - x$, montrez que $G$ est une primitive de $g$ sur [1~;~5].
\item Calculez la valeur exacte de l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine plan délimité par la courbe $C$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = 1$ et $x = 5$.
\item Donnez le nombre total de messages reçus pendant ces 5 minutes, arrondi à l’unité. 

À titre indicatif, on précise que $\ln 5 \approx \np{1,60944}$.
\item Calculez la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle [0~;~5]. 

Donnez la valeur exacte, puis arrondie au millième. 

Interprétez ce résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 }

\medskip

On considère $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, deux suites définies par $u_0 = 9$ et, pour tout $n \in \N$ , par : 

\[u_{n+1} = 12u_n - 3\qquad  \text{et}\qquad  v_n = u_n + 6\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La suite $\left(v_n\right)$ est-elle une suite arithmétique ou géométrique ?

Justifiez votre réponse et précisez quelle est la raison de cette suite.
\item Exprimez $S_n = v_0 + v_1 + \ldots + v_n$, puis $S'_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n$ en fonction de $n$.
\item  Déterminez les limites de $\left(S_n\right)$ et $\left(S'_n\right)$ quand $n \to + \infty$.

On définit, pour tout $n \in \N$, la suite $\left(w_n\right)$ par $w_n= \ln \left(v_n\right)$.
\item  Montrez que $\left(w_n\right)$ est une suite arithmétique et précisez sa raison.
\item  Exprimez $S''_n= w_0 + w_1+\ldots + w_n$ en fonction de $n$, puis calculer la limite de $\left(S''_n\right)$ quand
$n \to  + \infty$.
\item  Calculez le produit $P_n = v_0.v_1...v_n$ en fonction de $n$. Déduisez-en la limite de $\left(P_n\right)$ quand $n \to  + \infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Deux amis, Marc et Alexandre, discutent :

Marc : \og\emph{Si on lance trois pièces de monnaie en l'air en même temps, quelle est la probabilité pour qu'elles retombent toutes sur le même côté, c'est-à-dire toutes les trois du côté PILE ou toutes les trois du côté FACE ?} \fg

Alexandre : \og \emph{Comme les pièces n'ont que deux faces, sur les trois pièces lancées, il y en aura forcément au moins deux qui retomberont du même côté, c'est-à-dire qu'il y aura automatiquement, et au minimum, deux pièces côté PILE ou deux pièces côté FACE. Il reste donc une chance sur deux pour que la troisième pièce tombe à son tour sur ce même côté. La réponse à ta question est donc $1/2$.} \fg

\medskip

Que pensez-vous du raisonnement et de la réponse d'Alexandre ? Argumentez votre position.

\end{document}