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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[6pt]session 2016}}

\medskip

\lefthand~\textbf{OPTION A : Mathématiques}~\righthand

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Remarque préliminaire :}

Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.

\bigskip

\textbf{\large Exercice \no 1 :}

\medskip

On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4.
On lit le nombre sur la face cachée.
Pour k∈(1;2;3;4) , on note pi la probabilité d'obtenir le nombre k sur la face cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres p1 , p2 , p3 et p4 , dans cet ordre, forment une progression arithmétique.
1. Sachant que p4=0,4 , démontrez que p1=0,1 , p2=0,2 et p3=0,3 .
2. On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont indépendants.
a. Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ?
b. Quelle est la probabilité d'obtenir trois nombres distincts rangés dans l'ordre croissant ?
3. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants. On note U n la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au n-ième lancer.
a. Montrez que (U n ) est une suite géométrique et qu'elle est convergente.
n
b. Calculez Sn=∑Ui puis étudiez la convergence de la suite (Sn) .
i=1

\bigskip

\textbf{\large Exercice \no 2 :}

\medskip
On considère la suite de nombres réels (un) définie sur N par :
u0=−1 , u1=12 et, pour tout entier naturel n , un+ 2=un+ 1−14 un .

1. Calculez u2 et déduisez-en que la suite (un) n'est ni arithmétique ni géométrique. 2. On définit la suite (vn) en posant, pour tout entier naturel n : vn=un+1−12 un .

  a. Calculez v0 .
b. Exprimez vn+1 en fonction de vn .
c. Déduisez-en que la suite (v n) est géométrique de raison d. Exprimez vn en fonction de n .

12 .

3. On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n : wn=un . vn
a. Calculez w0 .
b. En utilisant l'égalité un+ 1=vn+ 12 un , exprimez wn+ 1
un et de
vn .
c. Déduisez-en que pour tout n de N , d. Exprimez wn en fonction de n .
4. Montrez que pour tout entier naturel n
5. Pour tout entier naturel n , on pose :
Démontrez par récurrence que pour tout n 
Sn=∑uk=u0+ u1+ ...+ un . k=0
de N = Sn=2− 2n+ 3 . 2n

\bigskip

\textbf{\large Exercice \no 3 :}

\medskip
en fonction de
. .

Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par 

\[\varphi(x) =1 + x^2 - 2 x^2\ln x.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudiez le sens de variation de la fonction $\varphi$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
		\item Calculez $\varphi(\text{e})$.
		
Démontrez que l'équation $\varphi(x)=0$ admet une unique solution
$\alpha$ sur l'intervalle $[1~;~\text{e}[$. (On rappelle que e $\approx 2,718$).
		\item Déterminez le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln x}{1 + x^2}$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $f'(x)$et montrez que pour tout $x \geqslant 1$ on a : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x\left(1+x^2\right)^2}$.
		\item Déduisez de la question 1. le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
		\item Démontrez que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1~;~+\infty[$, on a : .
$0 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{\ln x}{x^2}$.
		\item Déduisez-en $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice \no 4 :}

\medskip
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O, ⃗i ,⃗j ,⃗k ).
On considère les points A(3; 0; 6) et I(0; 0; 6) et on appelle (D) la droite passant par A et I. On appelle (P) le plan d'équation 2 y+z−6=0 et (Q) le plan d'équation y−2 z+12=0 .
2. Soit la fonction f définie sur l'intervalle [1 ; +∞[ par f (x)= ln x .
1+x2
a. Calculez f '(x) et montrez que pour tout x≥1 on a : f '(x)= φ(x) .
On note f ' la fonction dérivée de f .
wn+ 1=wn+ 2 , un=2n−1
 2n k=n
   . d.Déduisez-en lim f(x) .
 
1. Démontrez que (P) et (Q) sont perpendiculaires.
2. Démontrez que l'intersection des plans (P) et (Q) est la droite (D).
3. Démontrez que (P) et (Q) coupent l'axe (O;⃗j) et déterminez les coordonnées des points B et C, intersections respectives de (P) et (Q) avec l'axe (O ;⃗j) .
4. Démontrez qu’une équation du plan (T) passant par B et de vecteur normal ⃗AC est x+4y+2z−12=0 .



\end{document}