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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 2019}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[6pt]session 2019
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Mathématiques}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

Remarque préliminaire:

-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.

-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.

\bigskip

\textbf{Exercice \no 1}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = \text{e}^x - x - 1\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $g$ et en déduire son tableau de variations.
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$
\item En déduire que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, $\text{e}^x - x > 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par 

\[f (x)= \dfrac{\text{e}^x -1}{\text{e}^x - x}\]

On admet que $f$ est strictement croissante sur [0~;~1].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) \in [ 0~;~1]$.
\item Soit $(D)$ la droite d'équation $y = x$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) - x = \dfrac{(1 - x)g(x)}{\text{e}^x - x}$.
		\item Étudier la position relative de la droite $(D)$ et de la courbe
$(\mathcal{C})$ représentative de $f$ sur
[0~;~1] dans un repère orthonormé.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de $f$ sur [0~;~1].
		\item Calculer l'aire, en unité d'aire, du domaine du plan déterminé par la courbe $(\mathcal{C})$ ,la droite $(D)$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 2}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&=&2\\
u_{n+1}&=&\dfrac{2u_n}{2 + 3u_n}
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item La suite $\left(u_n\right)$ est elle arithmétique ? géométrique ?
	\end{enumerate}	
\item On suppose que pour tout $n \in \N$, $u_n$ n'est pas nul et on pose $v_n = 1 +\dfrac{2}{u_n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis déduire $u_n$ en fonction de $n$ 
		\item Vers quel nombre tend la suite $\left(u_n\right)$	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 3}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal direct \Oijk.

Il n'est pas demandé de faire de figure.

On considère quatre points A, B, C et I de coordonnées respectives : 

\[A(-1~;~2~;~1) \quad ; \quad  B(1~;~-6~;~-1) \quad ; \quad  C(2~;~2~;~2) \quad ; \quad  1(0~;~1~;~-1)\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $\vect{\text{AB}}$ et de $\vect{\text{AC}}$.

Justifier que les 3 points A, B et C définissent un plan P.
\item Soit $\vect{u}$ le vecteur de coordonnées $(1~;~1~;~-3)$. 

Démontrer que $\vect{u}$ est orthogonal à $\vect{\text{AB}}$ et à $\vect{\text{AC}}$.

Déterminer une équation cartésienne du plan P.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 4}

\medskip

On considère une roue partagée en 15 secteurs angulaires numérotés de 1 à 15. 

Ces secteurs sont de différentes couleurs (secteurs 1 et 10 rouges; secteurs 2, 4, 6, 9, 11, 13 et 15 jaunes; secteurs 5 et 8 bleus, secteurs 3, 7, 12 et 14 verts).

On fait tourner la roue qui s'arrête sur l'un des 15 secteurs dont on note le numéro.

\begin{minipage}{0.43\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(-3,3)
\pscircle(0,0){3}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0){3}{-12}{12}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){3}{12}{36}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){3}{36}{60}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0){3}{60}{84}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){3}{84}{108}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){3}{108}{132}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){3}{132}{156}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=red](0,0){3}{156}{180}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){3}{180}{204}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){3}{204}{228}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){3}{228}{252}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){3}{252}{276}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){3}{276}{300}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=red](0,0){3}{300}{324}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){3}{324}{348}
\multido{\n=168+-24,\na=1+1}{15}{\rput(2.2;\n){\na}}
\end{pspicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.53\linewidth}
L'ensemble des éventualités est:

\[\Omega = \{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8~;~9~;~10~;~11~;~12~;~13~;~14~;~15\}\]
\end{minipage}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item $E$ \og le numéro est multiple de 5 \fg
		\item $F$ \og le numéro n'est pas multiple de 5 \fg
		\item $G$ \og le numéro est pair et inférieur à 11 \fg
		\item $E \cap G$ ; $E \cup G$.
	\end{enumerate}	
\item Les secteurs 1 et 10 sont de couleur rouge. Les secteurs 5 et 8 sont de couleur bleue. Les secteurs 3, 7, 12 et 14 sont de couleur verte. Les autres secteurs sont de couleur jaune.

La variable aléatoire $X$, qui associe à la couleur bleue le nombre 100, à la couleur rouge le nombre 30, à la couleur verte le nombre 10 et à la couleur jaune le nombre 0, correspond au gain du joueur en euros.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter le résultat.
	\end{enumerate}	
\item Deux observateurs A et B sont un peu éloignés de la roue. Ils voient la couleur du secteur sur lequel la roue s'arrête mais ne peuvent pas distinguer les numéros. 

B connaît la correspondance entre les numéros et les couleurs des différents secteurs et indique à A sur quel numéro il doit parier.

Évaluer dans chacun des cas suivants la probabilité pour A de gagner :
	\begin{enumerate}
		\item La roue s'arrête sur un secteur rouge et A parie que le numéro est 15.
		\item La roue s'arrête sur un secteur vert et A parie que le numéro est 3.
		\item La roue s'arrête sur un secteur bleu et A parie que le numéro est 8.
		\item La roue s'arrête sur un secteur jaune et A parie que le numéro n'est pas 14.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}