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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Branche surveillance}
\lfoot{\small{Aéronautique : pilote d'hélicoptère}}
\rfoot{\small{session 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 7 mars 2016~\decofourright\\[7pt]Branche surveillance Aéronautique : pilote d'hélicoptère}\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
-- L'usage de la calculatrice est interdit,
-- Tous les exercices devront être traités, et chaque réponse devra être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte ;
Toutes les réponses doivent être rigoureusement justifiées}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

On considère un jeu de trente-deux cartes, comprenant quatre couleurs (cœur, carreau, trèfle et pique), avec pour chacune huit hauteurs (as, roi, dame, valet, dix, neuf, huit et sept).

Les résultats des questions 1. et 2. pourront être exprimés sous la forme de produits de nombres premiers et/ou de nombres premiers élevés à une puissance.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien y a-t-il de mains de huit cartes possibles ? 
\item Combien y en a-t-il contenant :
	\begin{enumerate}
		\item une dame exactement ?
		\item trois cœurs exactement ?
		\item une dame et trois cœurs exactement ?
		\item aucune dame ?
		\item une dame et aucun cœur ?
	\end{enumerate}
\item Exprimer littéralement, en fonction des résultats trouvés ci-dessus, la probabilité associée à l’évènement \og la main contient au moins une dame \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

On considère la fonction polynôme $P$ définie par :
\[P(x) = 3x^3 - x - 2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $P(1) = 0$.
\item Déterminer les réels $a, b$ et $c$ tels que pour tout réel $x : \:P(x) = (x - 1)\left(ax^2 + bx + c\right)$.
\item Déterminer le signe de $P(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par

\begin{center}$g(x) = x^3 - x + 1 - 2\ln x$\: où ln désigne le logarithme népérien.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g'$ la dérivée première de $g$. Montrer que $g'(x) = \dfrac{P(x)}{x}$.
\item Étudier le sens de variation de $g$.
\item Déduire de la question précédente le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
\[f(x) = x + 1 + \dfrac{x + \ln x}{x^2}.\]

On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
		\item Montrer que $\dfrac{x + \ln x}{x^2}$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty$.
		\item En déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
		\item Justifier que les droites $(D)$ et $(\Delta)$ d’équations respectives $x = 0$ et $ y = x + 1$ sont  asymptotes à la courbe $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $h$ telle que $h(x) = x + \ln x$ est strictement croissante sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que $(\Delta)$ coupe $(\mathcal{C})$ en un point unique d’abscisse $\alpha$ vérifiant $\alpha + \ln \alpha = 0$.
		
Prouver que $0,56 < \alpha < 0,57$  ; on donne les valeurs approchées suivantes :
		
		$\ln (0,56) \approx - 0,58$ et 
$\ln (0,57) \approx - 0,56$).
		\item Déterminer la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(\Delta)$.
	\end{enumerate}
\item Étudier le sens de variation et la continuité de $f$ sur son intervalle de définition.
\item Déduire de la question précédente l’existence d’une valeur unique $\beta$ telle que $f(\beta) = 0$.

Montrer que $0,46 < \beta < 0,47$ (on donne les valeurs approchées suivantes : 

$\ln (0,46) = - 0,78$ et $\ln (0,47) \approx - 0,75$).
\item Soit $\mathcal{A}$ l’aire de la région du plan comprise entre $(\mathcal{C})$ et $(\Delta)$ et les droites d’équations $x = 1$ et $x = \e $.

On admettra que : $\displaystyle\int_1^{\e} \dfrac{\ln x}{x^2}\:\text{d}x = 1 - \dfrac{2}{\e}$.

Calculer $\mathcal{A}$ (le résultat sera exprimé en unités d’aire u. a.).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Sophie place un capital initial $C_0 = \np{3000}$~\euro{} à un taux annuel de 6\,\%, les intérêts étant simples (capital d’une année égal à celui de l’année précédente augmenté de 6\,\% du capital initial).

On note $C_n$ le capital de Sophie au bout de $n$ années.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier $n,\: C_{n+1} = C_n + 180$.

Qu’en déduit-on concernant la nature de la suite $\left(C_n\right)$ ?
\item Pour tout entier $n$, exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
\item De quel capital Sophie dispose-t-elle au bout de $10$~ans ?
\item Au bout de combien d’années le capital a-t-il doublé ?
\item Au bout de combien d’années le capital dépasse-t-il \np{10000}~\euro ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Un maître et son élève tirent à l’arc sur une cible. L’élève tire deux fois sur trois et atteint la cible une fois sur deux. Le maître tire une fois sur trois mais atteint la cible neuf fois sur dix.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est, pour une flèche tirée, la probabilité d’atteindre la cible ?
\item Une flèche est dans la cible. Quelle est la probabilité qu’elle ait été tirée par l’élève ?

Les résultats des 2 questions seront exprimés sous la forme de fractions irréductibles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 5}

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On considère une suite réelle $\left(u_n\right)$ qui vérifie: $\left\{\begin{array}{l c l}
0&<& u_0\\
1&<& \dfrac{u_{n+1}}{u_n}
\end{array}\right.$

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante positive.
\item Si maintenant on suppose qu'il existe un réel $r$ vérifiant $1 < r \leqslant \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$,  démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $+\infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Soit $a$ un réel strictement positif, on étudie la suite $\left(v_n\right)$ définie par : 
$\left\{\begin{array}{l c l}
0 <& v_0 &< a\\
v_{n+1}&=&\dfrac{v_{n}+ a}{2}
\end{array}\right.$

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ vérifie $1< \dfrac{v_{n+1}}{v_n}$.
\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ converge vers une limite finie que l'on précisera.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la suite $\left(w_n\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l c l}
0&<& w_0\\
w_{n+1}&=& w_n + 1
\end{array}\right.$ ?

\item Quelle est la limite du rapport $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 6}

\medskip

Soif $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \left(x^2+ x + 1\right)\e^{-x} - 1.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
		\item Étudier le sens de variation de $f$ puis dresser son tableau de variations sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions dans $\R$ dont une dans l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\end{document}