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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
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\rfoot{\small{session 2024}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 19 février 2024~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarques préliminaires :\\
-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. \emph{Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet}.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty~;~-2[ \cup ]-2~;~+ \infty[$ par:

\[f(x) = \dfrac{x^3 +x^2 + x + 1}{x + 2}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\item Calculer $f'(x)$.
\item On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par:
\[g(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x + 1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $g$ et dresser son tableau de variation
complet.
		\item Montrer que l'équation $g(x)= 0$ admet une solution unique sur
$]-\infty~;~-2[$, que l'on notera $\alpha$.

On admettra que $\alpha = - 2,86$.
		\item L'équation $g(x) = 0$ admet-elle d'autres solutions dans $\R$ ?
	\end{enumerate}
\item Dresser un tableau indiquant, en fonction de $x$, le signe de $f'(x)$ et les
variations de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Une entreprise de location de voitures sur circuit propose à ses clients deux types de voitures : voiture à moteur classique ou voiture électrique.

Par ailleurs, un client peut prendre l'option PILOTE. Dans ce cas, la voiture, qu'elle soit électrique ou à moteur classique, est louée avec un pilote.

On sait que :
\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item 60\,\% des clients choisissent une voiture électrique ; parmi eux, 20\,\% prennent l'option PILOTE ;
\item 42\,\% des clients prennent l'option PILOTE.
\end{itemize}

\medskip

On choisit au hasard un client et on considère les évènements:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $E$ : le client choisit une voiture électrique;
\item $L$ : le client prend l'option PILOTE.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre pondéré que l'on complétera au fur et à mesure.
\item Calculer la probabilité que le client choisisse une voiture électrique et qu'il ne prenne pas l'option PILOTE.
\item Démontrer que la probabilité que le client choisisse une voiture à moteur classique et qu'il prenne l'option PILOTE est égale à $0,30$.
\item En déduire $P_{\overline{E}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $E$ n'est pas réalisé.
\item Un client a pris l'option PILOTE.

Quelle est la probabilité qu'il ait choisi une voiture électrique ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Les arrondis se feront à $10^{-4}$ près.

Lorsqu'un client ne prend pas l'option PILOTE, la probabilité que sa voiture subisse un accident est égale à $0,12$. Cette probabilité est de $0,005$ si le client prend l'option PILOTE.

\smallskip

On considère un client. On note $A$ l'évènement : sa voiture subit un accident.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(L \cap A)$ et $P\left(\overline{L} \cap A\right)$.
\item L'entreprise loue \np{1000} voitures.

À combien d'accidents peut-elle s'attendre ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel 

\[u_{n+1} = \dfrac{6 u_n + 2}{u_n+ 5}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par:
\[f(x) = \dfrac{6x + 2}{x + 5}.\]

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1}= f\left(u_n\right)$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle
$[0~;~+\infty[$.

En déduire que pour tout réel $x > 2$,on a $f(x) > 2$.
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 2$.
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a :

\[u_{n+1} - u_n = \dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n + 5}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par : $v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\left(v_0\right)$.
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$  est une suite géométrique de raison $\dfrac47$.
		\item Déterminer, en justifiant, la limite de $\left(v_n\right)$. \\
		En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $(\mathcal{P})$ le plan défini par le point M$(-1~;~1~;~0)$ et par le vecteur normal $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}$. Soit A$(1~;~-4~;~5)$.

On veut déterminer la distance du point A au plan $(\mathcal{P})$, c'est-à-dire la distance
AH, où H est le projeté orthogonal de A sur $(\mathcal{P})$.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $\vect{\text{AM}} \cdot \vect{n}$ en fonction de la distance AH.

En déduire $\left|\vect{\text{AM}} \cdot \vect{n}\right|$.
\item En déduire la distance A au plan $(\mathcal{P})$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $(\mathcal{P})$ le plan défini par le point $M(x~;~y~;~z)$ et par le vecteur normal $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.

Soit $A\left(x_{A}~;~y_{A}~;~z_{A}\right)$ un point de l'espace et $H$ son projeté orthogonal sur le plan $(\mathcal{P})$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $\vect{AM} \cdot \vect{n}$ en fonction de $AH,\: a,\: b$ et $c$.
\item Montrer que $\left | \vect{AM} \cdot \vect{n}\right | = \left|ax_{A}+ by_{A} + cz_{A} -d\right|$ où $d$ est une constante à préciser.
\item Exprimer alors la distance de $A$ à $(\mathcal{P})$ en fonction de $x_{A},\: y_{A}, \:z_{A},\: a,\: b,\: c$ et $d$.
\end{enumerate}
\end{document}