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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 20 novembre 2023~\decofourright\\[7pt]BRANCHE DU CONTRÔLE DES OPÉRATIONS COMMERCIALES ET DE L'ADMINISTRATION GÉNÉRALE}\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. \emph{Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet}.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie par:
\[f(x)= \dfrac{2x^2 + 12x+ 18}{x^2 + 3}.\]

On note $f'$ sa dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner son ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. Justifier.
\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{-12x^2 - 24x + 36}{\left(x^2 + 3\right)^2}.$
\item Étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
\item $f$ possède-t-elle des extremums locaux ?
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de  cette fonction au
point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

On considère un entier naturel $n$ et les fonctions 
\begin{center}$f(x) = (1 + x)^n$\qquad  et \qquad $g(x) = 1 + nx$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x > 0,\: f(x) \geqslant g(x)$.
\item Soit un nombre réel $q > 1$ et $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout naturel $n$ par $u_n = q^n$.

Étudier la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\item On considère maintenant que $0 < q < 1$.

En posant $q = \dfrac 1p$, déduire de la question précédente que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  u_n = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&=&0  \quad \text{et}\\
u_{n+1}&=&\dfrac{2u_n + 2}{u_n + 3}\: \text{pour tout entier naturel}\: n,
\end{array}\right.\]

On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ par la relation
\[v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 2}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que la suite $\left(v_n\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique
\item Calculer $v_0$
\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Quelle est la limite de $\left(v_n\right)$ ?
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$.
\item En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

\textbf{Les parties I et II sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Une entreprise est composée de trois services A, B, et C d'effectifs respectifs $450, 230$ et $320$~ employés.

Une enquête effectuée sur le temps de parcours quotidien entre le domicile des employés et l'entreprise a montré que :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item 40\,\% des employés du service A résident à moins de 30~minutes de l'entreprise;
\item 20\,\% des employés du service B résident à moins de 30~minutes de l'entreprise;
\item 80\,\% des employés du service C résident à moins de 30~minutes de l'entreprise.
\end{itemize}

On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item $A$ : \og l'employé fait partie du service A \fg
\item $B$ : \og l'employé fait partie du service B \fg
\item $C$ : \og l'employé fait partie du service C \fg
\item $T$ : \og l'employé réside à moins de $30$~minutes de l'entreprise \fg.
\end{itemize}
\medskip

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, la probabilité d'un évènement $E$ est notée $p(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $p_F(E)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier $p(A) = 0,450$.
		\item Donner $p_A(T)$.
		\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré en indiquant les probabilités associées à chaque branche.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que l'employé choisi soit du service A et qu'il réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail.
\item Montrer que $p(T) = 0,482$.
\end{enumerate}

Pour la question 4, le candidat ne donnera pas de valeur calculée approchée. Le résultat sera présenté sous forme de fraction.

\begin{enumerate}[resume]
\item Sachant qu'un employé de l'entreprise réside à plus de $30$~minutes de son lieu de travail, déterminer la probabilité qu'il fasse partie du service C.
\item On choisit successivement et de manière indépendante 5 employés de l'entreprise. 

On considère que le nombre d'employés est suffisamment grand pour que ce tirage soit assimilé à un tirage avec remise. Déterminer la probabilité qu'exactement 2 employés d'entre eux résident à moins de 30 minutes de leur lieu de travail.
\end{enumerate}

\medskip

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Cette entreprise souhaite faire une offre de transport auprès de ses employés. Un sondage auprès de quelques employés est effectué afin d'estimer la proportion d'employés dans l'entreprise intéressée par cette offre de transport. On souhaite ainsi obtenir un intervalle de confiance d'amplitude strictement inférieur à $0,15$ avec un niveau de confiance de $95\,\%$.

Quel est le nombre minimal d'employés à consulter ?

\medskip

\textbf{Aide aux calculs, si besoin :}

$\begin{array}{l l} 
\dfrac{1}{0,15}\approx 6,7&\left(\dfrac{1}{0,15}\right)^2 \approx 44,4\\
\dfrac{2}{0,15}\approx 13,3&\left(\dfrac{1}{0,15}\right)^2 \approx 177,8\\
\dfrac{2}{0,95}\approx 2,1&\left(\dfrac{2}{0,95}\right)^2 \approx  4,4\\
\dfrac{1}{0,15}\approx 1,1&
\end{array}$
\end{document}