\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox,graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{pifont}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{scratch}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\addtolength{\topmargin}{-1.6pt}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {},
pdftitle = {2017},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\thispagestyle{empty}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand{\e}{\,\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours Contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small avril 2019}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Contrôleur des douanes : surveillance 2019~\decofourright\\
}}}


\bigskip

\textbf{OPTION A :  MATHÉMATIQUES}\end{center}

\medskip

\textbf{Remarque préliminaire :}

\textbf{Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 1}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 
\[g(x) = \e^x - x - 1\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $g$ et en déduire son tableau de variation.
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$
\item En déduire que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,\: \e^x - x > 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par 
\[f(x) = \dfrac{\e^x - 1}{\e^x - x}.\]

On admet que $f$ est strictement croissante sur [0~;~1].

Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère 

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) \in [0~;~1]$.
\item Soit $(D)$ la droite d'équation $y = x$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], \:$f(x) - x = \dfrac{(1 - x)g(x)}{\e^x - x}$.
		\item Étudier la position relative de la droite $(D)$ et de la courbe
$\mathcal{C}$ sur [0~;~1].
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de $f$ sur [0~;~1].
		\item Calculer l'aire, en unité d'aire, du domaine du plan déterminé par la courbe $\mathcal{C}$,la droite $(D)$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 2}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :
\[\left\{\begin{array}{l c c}
u_0&=&2\\
u_{n+1} &=& \dfrac{2u_n}{2 + 3 u_n}
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item La suite $\left(u_n\right)$ est elle arithmétique ? Géométrique ?
	\end{enumerate}
\item On suppose que pour tout $n \in \N$ \:$,u_n$ n'est pas nul et on pose $v_n = 1 + \dfrac{2}{u_n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis déduire $u_n$ en fonction de $n$ 
		\item Vers quel nombre tend la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 3}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal direct \Oijk.

Il n'est pas demandé de faire de figure.

On considère quatre points A, B, C et I de coordonnées respectives : 
\begin{center} A$(-1~;~2~;~1)$, \quad B$(1~;~6~;~-1)$, \quad C(2~;~2~;~2), \quad I$(0~;~1~;~-1)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

Justifier que les trois points A, B et C définissent un plan $P$.
\item Soit $\vect{u}$ le vecteur de coordonnées $(1~;~1~;~-3)$.

Démontrer que $\vect{u}$ est orthogonal à $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

Déterminer une équation cartésienne du plan $P$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 4}

\medskip

\begin{minipage}{0.62\linewidth}
On considère une roue partagée en 15 secteurs angulaires numérotés de 1 à 15. 

Ces secteurs sont de différentes couleurs : 
\begin{itemize}
\item secteurs 1 et 10 rouges ; 
\item secteurs 2, 4, 6, 9, 11, 13 et 15 jaunes ; 
\item secteurs 5 et 8 bleus ;
\item secteurs 3, 7, 12 et 14 verts).
\end{itemize}

On fait tourner la roue qui s'arrête sur l'un des 15 secteurs dont on note le numéro.

L'ensemble des éventualités est :

$\Omega = \{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8~;~9~;~10~;~11~;~12~;~13~;~14~;~15\}$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.7,-2.7)(2.7,2.7)
\pscircle(0,0){2.7}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0){2.7}{-6}{18}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){2.7}{18}{42}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.7}{42}{66}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0){2.7}{66}{90}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.7}{90}{114}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){2.7}{114}{138}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.7}{138}{162}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=red](0,0){2.7}{162}{186}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.7}{186}{210}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){2.7}{210}{234}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.7}{234}{258}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){2.7}{258}{282}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.7}{282}{306}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=red](0,0){2.7}{306}{330}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.7}{330}{354}
\multido{\n=174+-24,\na=1+1}{15}{\rput(2.2;\n){\na}}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item $E$ \og le numéro est multiple de 5 \fg
		\item $F$ \og le numéro n'est pas multiple de 5 \fg
		\item $G$ \og le numéro est pair et inférieur à 11 \fg
		\item $E \cap G$ ; $E \cup G$.
	\end{enumerate}
\item Les secteurs 1 et 10 sont de couleur rouge. Les secteurs 5 et 8 sont de couleur bleue. Les secteurs 3, 7, 12 et 14 sont de couleur verte. Les autres secteurs sont de couleur jaune.

La variable aléatoire $X$, qui associe à la couleur bleue le nombre 100, à la couleur rouge le nombre 30, à la couleur verte le nombre 10 et à la couleur jaune le nombre 0, correspond au gain du joueur en euros.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\item Deux observateurs A et B sont un peu éloignés de la roue. Ils voient la couleur du secteur sur lequel la roue s'arrête mais ne peuvent pas distinguer les numéros. 

B connaît la correspondance entre les numéros et les couleurs des différents secteurs et indique à A sur quel numéro il doit parier.

Évaluer dans chacun des cas suivants la probabilité pour A de gagner :
	\begin{enumerate}
		\item La roue s'arrête sur un secteur rouge et A parie que le numéro est 15.
		\item La roue s'arrête sur un secteur vert et A parie que le numéro est 3.
		\item La roue s'arrête sur un secteur bleu et A parie que le numéro est 8.
		\item La roue s'arrête sur un secteur jaune et A parie que le numéro n'est pas 14.
			\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}