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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A.P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles-Guyane, Réunion}}
\rfoot{\small{18 juin 2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.P.M.E.P.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Corrigé du baccalauréat STAV \\[7pt]Métropole-Antilles-Guyane-Réunion juin 2014\hspace{1.2em} }}
  \end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip
%{\footnotesize
Les parties A et B sont indépendantes.

 \medskip 
 
\textbf{PARTIE A }

\medskip

On souhaite implanter un parc éolien dans une région et pour cela on réalise un sondage sur la population 
proche. 

Les résultats obtenus sont les suivants : 

\begin{itemize}
\item  60\,\% de la population interrogée est contre l'implantation de ce parc éolien dans leur région et parmi 
eux 25\,\% se définissent écologistes. 
\item  Parmi la population interrogée favorable à l'implantation de ce parc, 10\,\% se définissent écologistes. 
\end{itemize}

On interroge au hasard une personne issue de cette population. 

On note F l'événement \og la personne interrogée est favorable à l'implantation de ce parc éolien\fg. 

On note E l'événement \og la personne interrogée se définit écologiste\fg. 
%}
\begin{enumerate}
\item Construisons un arbre de probabilités décrivant cette situation, en précisant sur chaque branche la valeur des 
probabilités. 

\begin{center}
\psset{nodesep=1mm,labelsep=0.1pt,levelsep=2.75cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{F}\taput{\np{0.4}}}
	{\TR{E}\taput{\np{0.1}}
	\TR{$\overline{\text{E}}$}\tbput{\np{0.9}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{\text{F}}$}\tbput{\np{0.6}}}
	{\TR{E}\taput{\np{0.25}}
	\TR{$\overline{\text{E}}$}\tbput{\np{0.75}}
	}
}
\end{center}

\item  La probabilité que la personne interrogée se définisse écologiste et soit contre l'implantation du 
parc éolien dans sa région est notée $p\left(\overline{\text{F}}\cap\text{E}\right)$. Calculons cette probabilité.

\[p\left(\overline{\text{F}}\cap\text{E}\right) = p\left(\overline{\text{F}}\right) \times p_{\overline{\text{F}}}(\text{E})= \np{0,6} \times \np{0,25}=\np{0,15}\]
\item Montrons que $p(\text{E}) = 0,19$. 

\[ p(E)= p(\text{F} \cap \text{E}) + p\left(\overline{\text{F}} \cap \text{E}\right) = \np{0.4}\times\np{0,1} + \np{0,15}=\np{0,19}.\]
\item Calculons $p_{\text{E}}\left(\overline{\text{F}}\right)$. 

\[p_{\text{E}}\left(\overline{\text{F}}\right)= \dfrac{p\left(\text{E}\cap \overline{\text{F}}\right)}{p(\text{E})} = \dfrac{\np{0,15}}{\np{0,19}}\approx \np{0,79} \]

Parmi les personnes se définissant écologistes, la probabilité qu'il soit contre l'implantation du parc éolien est de $\np{0,79}$.

%(on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près) et donner la signification du résultat obtenu dans le contexte de l'exercice. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}
{\footnotesize
\medskip
On s'intéresse à la rentabilité énergétique d'un parc d'éoliennes dans une région. 

Les relevés météorologiques sur une année montrent que la probabilité d'avoir des conditions optimales de 
fonctionnement de ce parc est de 0,45. 

On admettra que les conditions météorologiques sont indépendantes d'une année sur l'autre. 

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'années pour lesquelles ces conditions optimales de 
fonctionnement sont réunies sur une période de 10 ans. 

\emph{Tous les résultats numériques seront arrondis à $10^{-3}$ près}. 
}

\begin{enumerate}
\item  La loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,45$ car il s'agit d'une répétition de $10$ séries indépendantes  et identiques caractérisées par  deux issues : conditions optimales ou non et  la probabilité que la condition soit optimale est \np{0.45}. 

 Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (10;\ \np{0.45}) d'où $p(X=k)=\binom{10}{k}(\np{0.45})^k(\np{0.55})^{10-k}$.
\item Calculons la probabilité pour que les conditions optimales de fonctionnement de ce parc ne soient jamais 
atteintes durant cette période c'est-à-dire calculons $p(X=0)$. 
\[ p\big(X=0\big)=\binom{10}{0}\times (\np{0.45})^0 \times (\np{0.55})^{10}=\np{0.55}^{10}\approx \np{0.002533}\]
soit 0,003 au millième près.
\item Calculons la probabilité pour que les conditions optimales de fonctionnement de ce parc soient atteintes au 
moins deux années durant cette période c'est-à-dire calculons $p(X\geqslant 2)$. 

\[p(X\geqslant2)=1-\left(p(X=0)+ p(X=1)\right)=1-\left( \np{0.003}+ \binom{10}{1}\np{0.45}\times\np{0.55}^{9}\right)\approx \np{0.976}.\]

La probabilité qu'il y ait au moins deux années de fonctionnement dans les conditions optimales est d'environ \np{0.976}.
\end{enumerate}


\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble des réels. 

Le plan étant muni d'un repère orthonormé, on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative et $(T)$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au 
point d'abscisse 0. 

La courbe $\mathcal{C}_f$ n'admet que deux tangentes horizontales, l'une en A et l'autre en B, et la droite d'équation 
$y = -1$ est une asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$. 

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-12,-3.5)(4,6)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-10.8,-3)(3.6,5.8)
\multido{\n=-3+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](-10.8,\n)(3.1,\n)}
\multido{\n=-10+1}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](\n,-3.1)(\n,5.2)}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-10.8,-0.4)(-10,-0.2)(-9,0.1)(-8,0.5)(-7,0.95)(-6,1.5)(-5,2)(-4,2.38)(-3.5,2.46)(-3,2.5)(-2.5,2.48)(-2,2.35)(-1.5,2.05)(-1,1.45)(-0.5,0.72)(0,0)(1,-1)(1.5,-0.5)(1.7,0)(2,1.9)(2.25,4)(2.35,5)(2.45,5.7)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=2000]{-3.7}{2.1}{x 1.5 mul neg}
\psdots[dotstyle=Bullet,dotscale =1.2](1,-1)(-3,2.5)
\uput[d](1,-1){B}\uput[u](-3,2.5){A}
\psline[linewidth=0.2pt]{<->}(-4,2.5)(-2,2.5)\psline[linewidth=0.2pt]{<->}(0,-1)(2,-1)
\uput[ur](-3.5,5){$(T)$}\uput[d](-10.5,-0.35){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

À l'aide de cette représentation graphique et des données de l'énoncé, répondons aux questions suivantes en expliquant notre démarche.

\begin{enumerate}
\item $f(0)=0$, la courbe passe par l'origine. 
\item $f'(0)=-\dfrac{3}{2}$, lecture du coefficient directeur de la droite T . 
\item L'ensemble des solutions de l'équation $f'(x) = 0$ est $\{-2,\ 1\}$  lorsque la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, le nombre dérivé est nul. 
\item Déterminons la limite de $f$ en $-\infty$. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}(f(x)=-1$ car la droite d'équation $y=-1$ est asymptote à la courbe en $-\infty$.
\item On note $\displaystyle I = \int_{-4}^{-1}f(x)\mathrm{d}x$. Montrons que $5 \leqslant I \leqslant 9$. Sur l'intervalle [-4~;~-1], $f>0,\ I$ peut s'interpréter comme l'aire du domaine plan délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-4$ et $x=-1$. Il y a au moins 5 carreaux et au plus 9 dans ce domaine.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  9 points}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~3] par 
\[ g(x)=\dfrac{1}{2}x^2 +x - 2\ln(x).\]
 
On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 
\begin{enumerate}
\item  Calculons la limite de $g$ en 0.
\[\displaystyle \lim_{x\to 0}g(x)=\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{2}x^2 +x \right)+\lim_{x\to 0}(-2\ln x)=0-(-\infty )=+\infty\]

Lorsque $x$ tend vers $0$ la courbe est asymptote à l'axe des ordonnées.

\item \begin{enumerate}
		\item Déterminons l'expression de la fonction dérivée de $g$.
		
$g^\prime(x)=\dfrac{1}{2}(2x) +1-2\dfrac{1}{x}=x+1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{x^2+x+-2}{x}$.
		\item Pour tout $x$ de l'intervalle ]0~;~3], $g'(x)$ est du signe de $x^2 + x - 2$. 

En effet $x$ étant strictement positif, le signe du quotient est donc le signe du numérateur.
		\item Résolvons l'équation $x^2 +x-2=0$ dans ]0~;~3].
 
		$\Delta= 1^2 -4(1)(-2)=9$.

$\Delta >0$, le trinôme admet deux racines  $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
		
		$x_1=\dfrac{-1-3}{2}=-2$ ou $x_2=\dfrac{-1+3}{2}=1$
		
		Dans l'intervalle ]0~;~3], l'équation n'admet donc qu'une unique solution : $1$
		
		\item Dressons le tableau de variation de la fonction $g$ sur ]0~;~3].
		
		Déterminons d'abord le signe de $x^2+x-2$. D'après la question précédente, $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$. Comme $x$ appartient à ]0~;~3], $x+2$ est strictement positif, le trinôme a le signe de $x-1$.

 $x-1>0 \iff x>1$. 

Par conséquent si $x$ appartient à ]0~;~1[ alors $g'(x)<0$ et si $x$ appartient à ]1~;~3] alors $g'(x)>0$.
	
	
		Si pour tout $x\in I, \ f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

 Sur $]0~;~1[,\ g'(x)<0$, donc $g$ est strictement décroissante sur cet intervalle 


		Si pour tout $x\in I,\ f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. Sur $]1~;~3],\ g'(x)>0$ donc $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.
		
		
		 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$t$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$1$}    \uput[u](7.73,2.45){$3$}
\uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $g$}
 \uput[u](1.37,1.45){$+\infty$}\uput[u](7.32,1.35){$\frac{15}{2}-2\ln 3$}
\psline{->}(1.7,1.55)(4,0.55)\psline{->}(5,0.5)(7.3,1.55)
\uput[u](4.5,0.1){$\frac{3}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Complétons le tableau de valeurs %présenté en \textbf{ANNEXE A (à rendre avec la copie)} en arrondissant les résultats à $10^{-1}$ près.

\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$&\np{0.25}&\np{0.5}&\np{0.75}&1&2&\np{2.5}&3\\\hline
$g(x)$&\np{3.1}&\np{2.0}&\np{1.6}&\np{1.5}&\np{2.6}&\np{3.8}&\np{5.3}\\\hline
\end{tabularx}
{\footnotesize\emph {Les résultats numériques sont arrondis à $10^{-1}$ près}}
\item %Tracer sur le papier millimétré joint (à rendre avec la copie), 
La courbe représentative $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$  est tracée dans un repère orthonormé d'unité graphique \np[cm]{2}. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item Vérifions que la fonction $G$ définie par $G( x) = \dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^2}{2} + 2x - 2x \ln(x)$ est une primitive de la fonction 
$g$ sur]0~;~3]. 

$G$ est une primitive de $g$ lorsque $G'=g$. Déterminons la dérivée de $G$.

\[G'(x)=\dfrac{3x^2}{6}+\dfrac{2x}{2}+2 -\left(2\ln x+2x\times \dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{x^2}{2}+x-2\ln x = g(x)\]
$G$ est une primitive de $g$ sur ]0~;~3]
\item 	 $\displaystyle \int_1^2 g(x)\mathrm{d}x=\Bigg[G(x)\Bigg]_1^2=G(2)-G(1)=\dfrac{4}{3}+2 + 4 - 4\ln(2)-\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2} + 2 \right)=\dfrac{14}{3}- 4\ln 2$.

Une valeur approchée de cette intégrale à $10^{-1}$ près  est \np{1.9}.
\item 	Sur $[1~;~2],\ g(x)>0$, l'intégrale peut s'interpréter géométriquement comme l'aire, en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x = 2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,6)
 \psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(3.5,5.8)
 \multido{\n=0+0.25}{23}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(3.4,\n)}
 \multido{\n=0+0.25}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,5.5)}
 \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0.070}{3}{x 2 exp 0.5 mul x add x ln 2 mul sub}
\uput[ul](3,5){$\mathcal{C}_g$}\uput[dl](0,0){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}\textbf{{\large {Annexe A }}(à compléter et à rendre avec la copie)}\end{center}

\vspace{1.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3}
\begin{center}
Tableau de valeurs
\end{center}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$&\np{0.25}&\np{0.5}&\np{0.75}&1&2&\np{2.5}&3\\\hline
$g(x)$&\np{3.1}&\np{2.0}&\np{1.6}&\np{1.5}&\np{2.6}&\np{3.8}&\np{5.3}\\\hline
\end{tabularx}
{\footnotesize\emph {Les résultats numériques sont arrondis à $10^{-1}$ près}}


\end{document}