\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Kriegk %Corrigé : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=2.5cm, right=2.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight15 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité - corrigé}, pdftitle = {Métropole Sujet 2, 12 septembre 2023}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage[np]{numprint} %\usepackage{tikz} %\usepackage{pgfplots} %\renewcommand\arraystretch{1.3} %\frenchsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} %\setlength\parskip{3pt} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2} \lfoot{\small{Métropole et La Réunion}} \rfoot{\small{12 septembre 2023}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\bf\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Métropole et La Réunion~\decofourright\\[7pt] Sujet 2 -- 12 septembre 2023\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ} \end{center} \bigskip {\large \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}} \medskip La paratuberculose est une maladie digestive infectieuse qui touche les vaches. Elle est due à la présence d'une bactérie dans l'intestin de la vache. On réalise une étude dans une région dont 0,4\,\% de la population de vaches est infectée. Il existe un test qui met en évidence la réaction immunitaire de l'organisme infecté par la bactérie. Le résultat de ce test peut être soit \og positif\fg{}, soit \og négatif\fg{}. On choisit une vache au hasard dans la région. \begin{list}{\textbullet}{Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :} \item Si la vache est atteinte par l'infection, la probabilité que son test soit positif est de $0,992$ ; \item Si la vache n'est pas atteinte par l'infection, la probabilité que son test soit négatif est de $0,984$. \end{list} \begin{list}{\textbullet}{On désigne par :} \item $I$ l'évènement \og{}la vache est atteinte par l'infection\fg{} ; \item $T$ l'évènement \og{}la vache présente un test positif\fg{}. \end{list} On note $\overline{I}$ l'évènement contraire de $I$ et $\overline{T}$ l'évènement contraire de $T$. %\medskip % %\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.} \bigskip \textbf{Partie A} %\smallskip \begin{enumerate} \item On complète l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation. \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$I$}\naput{\small $0,004$}} { \TR{$T$}\naput{\blue\small $0,992$} \TR{$\overline{T}$}\nbput{\blue\small $1-0,992=0,008$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{I}$}\nbput{\blue\small $1-0,004=0,996$}} { \TR{$T$}\naput{\blue\small $1-0,984=0,016$} \TR{$\overline{T}$}\nbput{\blue\small $0,984$} } } \bigskip \end{center} \item \begin{enumerate} \item La probabilité que la vache ne soit pas atteinte par l'infection et que son test soit négatif est: $P\left (\overline{I} \cap \overline{T} \right )= 0,996\times 0,984 \approx 0,980$. %On donnera le résultat à $10^{-3}$ près. \item La probabilité que la vache présente un test positif est $P(T)$. D'après la formule des probabilités totales: $P(T)=P\left (I\cap T\right ) + P\left (\overline{I}\cap T\right ) =0,004\times 0,992 + 0,996\times 0,016 =\np{0,019904}$ soit $0,020$ à $10^{-3}$ près, \item La \og{}valeur prédictive positive du test\fg{} est la probabilité que la vache soit atteinte par l'infection sachant que son test est positif, c'est-à-dire: $P_{T}(I)$. %Calculer la valeur prédictive positive de ce test. On donnera le résultat à $10^{-3}$ près. $P_{T}(I) = \dfrac{P(I\cap T)}{P(T)} = \dfrac{0,004\times 0,992}{0,02} \approx 0,199$ \item Le test donne une information erronée sur l'état de santé de la vache lorsque la vache n'est pas infectée et présente un résultat positif au test, c'est-à-dire avec une probabilité de $P\left (\overline{I}\cap T\right )$, ou lorsque la vache est infectée et présente un résultat négatif au test, c'est-à-dire avec une probabilité de $P\left (I\cap \overline{T}\right )$. La probabilité que ce test donne une information erronée sur l'état de santé de la vache est donc: $P\left (\overline{I}\cap T\right ) + P\left (I\cap \overline{T}\right ) = 0,996\times 0,016 + 0,004\times 0,008 = \np{0,015968} \approx 0,016$ au millième près. %On donnera un résultat à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %\newpage \medskip \textbf{Partie B} %\smallskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item Lorsqu'on choisit au hasard dans la région un échantillon de 100 vaches, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On rappelle que, pour une vache choisie au hasard dans la région, la probabilité que le test soit positif est égale à 0,02. On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de 100 vaches de la région choisies au hasard associe le nombre de vaches présentant un test positif dans cet échantillon. \begin{enumerate} \item %Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi. L'expérience élémentaire consiste à savoir si, pour une vache donnée, le test est positif (avec une probabilité $p=0,02$) ou non; il n'y a donc que deux issues. On exécute cette expérience élémentaire 100 fois pour extraire un échantillon de taille $n=100$ en assimilant ce choix à un tirage avec remise. La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de vaches présentant un test positif dans cet échantillon suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,02$. \item La probabilité que dans un échantillon de 100 vaches, il y ait exactement 3 vaches présentant un test positif est: $P(X=3) = \ds\binom{100}{3}\times 0,02^{3}\times (1-0,02)^{100-3} \approx 0,182$. %On donnera un résultat à $10^{-3}$ près. \item La probabilité que dans un échantillon de 100 vaches, il y ait au plus 3 vaches présentant un test positif est: $P(X\leqslant 3)\approx 0,859$ (résultat donné par la calculatrice). %On donnera un résultat à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \item On choisit à présent un échantillon de $n$ vaches dans cette région, $n$ étant un entier naturel non nul. On admet que l'on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise. La valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu'il y ait, dans l'échantillon, au moins une vache testée positive, soit supérieure ou égale à 0,99 est telle que $P(X\geqslant 1) \geqslant 0,99$. C'est-à-dire: $1-P(X=0) \geqslant 0,99$ ou encore: $0,01\geqslant P(X=0)$. On résout l'inéquation: $P(X=0)\leqslant 0,01$. $P(X=0) = \ds\binom{n}{0}\times 0,02^{0}\times (1-0,02)^{n-0}=0,98^n$ $0,98^n \leqslant 0,01 \iff \ln\left (0,98^n\right ) \leqslant \ln(0,01) \iff n\times \ln (0,98 ) \leqslant \ln(0,01) \iff n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,98)}$ Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,98)} \approx 227,95$ donc il faut un échantillon d'au moins 228 vaches pour que la probabilité qu'il y ait, dans l'échantillon, au moins une vache testée positive, soit supérieure ou égale à 0,99. \end{enumerate} \vspace{1cm} {\large \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$ par $f(x) = (2-\ln x) \times \ln x,$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0~;~+\infty[$. On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal et $C'$ la courbe représentative de la fonction $f'$, fonction dérivée de la fonction $f$. La \textbf{courbe} $\boldsymbol{C}'$ est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale $(T)$. \begin{figure}[t] \centering \psset{xunit=0.7cm, yunit=3.5cm,comma} \def\xmin {-1.9} \def\xmax {17.8} \def\ymin {-0.39} \def\ymax {2.18} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[xunit=3.5cm,subgriddiv=5, gridlabels=0,griddots=5](0,\ymin)(\xmax,\ymax) \psaxes[labelFontSize=\small, arrowsize=3pt 2, ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(-0.9,\ymin)(\xmax,\ymax) \uput[dl](0,0){O} \def\f{2 1 x ln sub mul x div}% définition de la fonction \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0.1}{\xmax}{\f} \psline[linecolor=red](0,-0.27)(\xmax,-0.27) \psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt, linecolor=red](7.39,0)(7.39,-0.27) \rput*(9.5,1.8){\fbox{\parbox{9cm}{\centering\textbf{On rappelle que cette courbe $\boldsymbol{C'}$ est la courbe représentative de la fonction dérivée $\boldsymbol{f'}$}}}} \uput[ur](1.27,1.2){\blue $C'$} \uput[d](1,-0.27){\red $(T)$} %%%%%%%%%%%% \psline[ArrowInside=->,linecolor=red,arrowscale=2,linestyle=dashed](1,0)(1,2)(0,2) \psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{]-}(7.39,0)(\xmax,0) \uput[ur](7.39,0){\small\red $7,4$} \end{pspicture*} \end{figure} \begin{enumerate} \item% Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner : \begin{enumerate} \item Le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d'abscisse 1 est $f'(1)$; graphiquement, c'est environ 2. \item Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe est le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f'$ est croissante, soit $[7,4\;;\;+\infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. $\left .\begin{array}{l} \ds\lim _{x\to +\infty} \ln x = +\infty\\ \ds\lim _{x\to +\infty} 2-\ln x = -\infty \end{array} \right \} \ds\lim _{x\to +\infty} \left (2-\ln x\right )\times \ln x = -\infty$ et donc $\ds\lim _{x\to +\infty} f(x) = -\infty$. \item% Calculer $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat. $\left .\begin{array}{l} \ds\lim _{x\to 0} \ln x = -\infty\\ \ds\lim _{x\to +\infty} 2-\ln x = +\infty \end{array} \right \} \ds\lim _{x\to 0} \left (2-\ln x\right )\times \ln x = -\infty$ et donc $\ds\lim _{x\to 0} f(x) = -\infty$. On en déduit que la courbe $C$ admet la droite d'équation $x=0$ comme asymptote verticale. \end{enumerate} \item %Montrer que la courbe $C$ coupe l'axe des abscisses en deux points exactement dont on précisera les coordonnées. Les abscisses des points d'intersection de la courbe $C$ et de l'axe des abscisses sont solutions de l'équation $f(x)=0$; on résout cette équation. $f(x)=0 \iff (2-\ln x)\times \ln x=0 \iff 2-\ln x = 0 \text{ ou } \ln x = 0 \iff \ln x = 2 \text{ ou } \ln x = 0\\ \phantom{f(x)=0} \iff x=\e^{2} \text{ ou } x=1$ Les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C$ et de l'axe des abscisses sont donc \\$(1\;;\;0)$ et $(\e^{2}\;;\;0)$. \item \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$: %\quad f'(x) = \dfrac{2(1-\ln x)}{x}$. $f'(x)= \left (0-\dfrac{1}{x}\right ) \times \ln x + (2-\ln x)\times \dfrac{1}{x} = -\dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{2-\ln x}{x} = \dfrac{2-2\ln x}{x} = \dfrac{2 \left (1-\ln x\right )}{x}$ \item %En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$. $f'(x)$ s'annule et change de signe quand $1-\ln x = 0$, donc pour $x=\e$. $f(\e)= (2-\ln\e)\times \ln\e = (2-1)\times 1=1$ D'où le tableau de variations de la fonction $f$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| l *4{c}|} \hline x & 0 & \esp & \e & \esp & +\infty \\ \hline x & 0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \\ \hline 1-\ln x &\vline\;\vline & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline f'(x) &\vline\;\vline & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline &\vline\;\vline & & \Rnode{max}{1} & & \\ f(x) &\vline\;\vline & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ &\vline\;\vline \Rnode{min1}{~-\infty} & & & & \Rnode{min2}{-\infty} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} \end{enumerate} \item On note $f''$ la dérivée seconde de $f$ et on admet que sur $]0~;~+\infty[$, $f''(x) = \dfrac{2(\ln x-2)}{x^{2}}$. %Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser les coordonnées du point d'inflexion de la courbe $C$. La fonction $f$ est convexe si et seulement si $f''(x)\geqslant 0$; on résout cette inéquation. $f''(x)\geqslant0 \iff \dfrac{2(\ln x-2)}{x^{2}} \geqslant 0 \iff \ln x - 2\geqslant 0 \iff \ln x \geqslant 2 \iff x\geqslant \e^{2}$ Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe est donc $\left [ \e^{2}\;;\;+\infty\right [$. $f''(x)=0 \iff 2-\ln x=0 \iff x=\e^{2}$ et $f(\e^{2})=(2-\ln \e^{2})\times \ln \e^{2}=0$ Donc la courbe $C$ admet le point de coordonnées $(\e^{2}\;;\;0)$ comme point d'inflexion. \end{enumerate} \vspace{1cm} {\large \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par: $\left\{ \begin{array}{l} u_{1}=\dfrac{1}{\e} \\ \text{pour tout entier } n \geqslant 1,\: u_{n+1}=\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{n}\right) u_{n} \end{array} \right.$ \begin{enumerate} \item %Calculer les valeurs exactes de $u_{2}$ et $u_{3}$. On détaillera les calculs. \begin{list}{\textbullet}{} \item Pour $n=1$: $u_2=u_{1+1}=\dfrac{1}{\e}\left (1+\dfrac{1}{1}\right )u_1 =\dfrac{1}{\e}(2)\dfrac{1}{\e}=\dfrac{2}{\e^{2}}$ \item Pour $n=2$: $u_3=u_{2+1}=\dfrac{1}{\e}\left (1+\dfrac{1}{2}\right )u_2 =\dfrac{1}{\e}\left (\dfrac{3}{2}\right )\dfrac{2}{\e^2}=\dfrac{3}{\e^{3}}$ \end{list} \item On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel $n$ donné, affiche le terme $u_{n}$. On complète les lignes $L_{2}$ et $L_{4}$ de ce programme. \begin{center} \begin{tabular}{|c|>{\ttfamily}l|} \hline $L_{1}$ & def suite(n): \\ $L_{2}$ & ~~\blue u = 1/e \\ $L_{3}$ & ~~for i in range(1, n): \\ $L_{4}$ & ~~~~u = \blue 1/e*(1+1/i)*u\\ $L_{5}$ & return u \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item On admet que tous les termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ sont strictement positifs. \begin{enumerate} \item %Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $1+\dfrac{1}{n} \leqslant \e$. $n\geqslant 1 \implies \dfrac{1}{n}\leqslant 1 \implies 1+\dfrac{1}{n}\leqslant 2$ donc $1+\dfrac{1}{n}\leqslant \e$ \item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. $1+\dfrac{1}{n}\leqslant \e$ donc $\dfrac{1}{\e} \left (1+\dfrac{1}{n}\right )\leqslant 1$ Or pour tout $n$, $u_n>0$, donc: $\dfrac{1}{\e} \left (1+\dfrac{1}{n}\right ) u_n\leqslant u_n$ c'est-à-dire $u_{n+1}\leqslant u_n$. La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. \item %La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle convergente ? Justifier votre réponse. Pour tout $n$, $u_n>0$ donc la suite $(u_n)$ est minorée par 0. On a démontré que cette suite était décroissante donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété: $u_{n}=\dfrac{n}{\e^{n}}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} Pour $n=1$: $u_1=\dfrac{1}{\e}$ et $\dfrac{n}{\e^{n}}=\dfrac{1}{\e}$ Donc la propriété est vraie au rang $n=1$. \item \textbf{Hérédité} On suppose que la propriété est vraie au rang $n\geqslant 1$; c'est l'hypothèse de récurrence. $u_{n+1} = \dfrac{1}{\e}\left (1+\dfrac{1}{n}\right ) u_n = \dfrac{1}{\e}\left (\dfrac{n+1}{n}\right ) \dfrac{n}{\e^n} = \dfrac{n+1}{\e^{n+1}}$ donc la propriété est vraie au rang $n+1$. \item \textbf{Conclusion} La propriété est vraie au rang 1, elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$, donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n\geqslant 1$. \end{list} On a donc démontré que, pour tout $n\geqslant 1$, on a: $u_{n}=\dfrac{n}{\e^{n}}$. \item %En déduire, si elle existe, la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. On sait que $\ds\lim _{x\to +\infty} \dfrac{\e^{x}}{x}=+\infty$, donc $\ds\lim _{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^{x}}=0$. On en déduit que $\ds\lim _{n\to +\infty} \dfrac{n}{\e^{n}}=0$ et donc que $\ds\lim _{n\to +\infty} u_n=0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip {\large \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}} \medskip %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ %Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} % %\bigskip L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. \medskip \begin{list}{\textbullet}{On considère:} \item les points A$(-1~;~-2~;~3)$, B$(1~;~-2~;~7)$ et C$(1~;~0~;~2)$; \item la droite $\Delta$ de représentation paramétrique : \quad $\left\{\begin{array}{l}x=1-t \\ y=2 \\ z=-4+3 t\end{array}\right.$, où $t \in \R$; \item le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne :\quad $3 x+2 y+z-4=0$; \item le plan $\mathcal{Q}$ d'équation cartésienne : \quad $-6 x-4 y-2 z+7=0$. \end{list} \begin{enumerate}[itemsep=5mm] \item Lequel des points suivants appartient au plan $\mathcal{P}$ ? \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\bfseries}p{5mm}@{}X}} a.& $R(1~;~-3~;~1)$;& b.& $S(1~;~2~;~-1)$;& c.& $T(1~;~0~;~1)$;& d.& $U(2~;~-1~;~1)$.\\ \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}} $3x_{\text T} +2y_{\text T} +z_{\text T}-4 = 3+0+1-4=0$ donc $\text T \in \mathcal{P}$ \hfill\textbf{Réponse c.} \end{tabular} %\medskip \item Le triangle ABC est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\bfseries}p{5mm}@{}X}} a.& équilatéral ;& b.& rectangle isocèle ;\\ c.& isocèle non rectangle ;& d.& rectangle non isocèle.\\ \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}} Les vecteurs $\vectt{AB}$ et $\vectt{AC}$ ont respectivement pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2\\0\\4 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 2\\2\\-1 \end{pmatrix}$. Donc $\vectt{AB}\cdot\vectt{AC} = 2\times 2+0\times 2+4\times (-1)=0$ donc $\vectt{AB}\perp \vectt{AC}$ donc ABC est rectangle en A. $\text{AB}^2=2^2+0^2+4^2=20$ et $\text{AC}^2=2^2+2^2+(-1)^2=9$, donc $\text{AB}\neq \text{AC}$ Le triangle ABC n'est pas isocèle. \hfill\textbf{Réponse d.} \end{tabular} \medskip \item La droite $\Delta$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\bfseries}p{5mm}@{}X}} a.& orthogonale au plan $\mathcal{P}$ ;& b.& sécante au plan $\mathcal{P}$ ;\\ c.& incluse dans le plan $\mathcal{P}$ ;& d.& strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$.\\ \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}} La droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vect v \begin{pmatrix} -1\\0\\3 \end{pmatrix}$, et le plan $\mathcal{P}$ a pour vecteur normal $\vect n \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix}$. $\vect v\cdot \vect n = -1\times 3 +0\times 2+3\times 1 = 0$ donc $\vect v\perp \vect n$, et donc $\Delta$ est parallèle à $\mathcal{P}$. Le point H de coordonnées $(1\;;\;2\;;\;-4)$ appartient à $\Delta$. $3x_{\text H} +2y_{\text H} +z_{\text H}-4 =3\times 1 + 2\times 2 -4-4=-1\neq 0$ donc $\text H \notin\mathcal{P}$. La droite $\Delta$ n'est pas incluse dans le plan $\mathcal{P}$. \hfill\textbf{Réponse d.} \end{tabular} \medskip \item On donne le produit scalaire $\vect{\mathrm{BA}} \cdot \vect{\mathrm{BC}}=20$. Une mesure au degré près de l'angle $\widehat{\mathrm{ABC}}$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\bfseries}p{5mm}@{}X}} a.& $34^{\circ}$;& b.& $120^{\circ}$;& c.& $90^{\circ}$;& d.& $0^{\circ}$.\\ \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}} Le triangle ABC est rectangle en A donc l'angle $\widehat{\mathrm{ABC}}$ est un angle aigu. \hfill\textbf{Réponse a.} \end{tabular} \medskip \item L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\bfseries}p{5mm}@{}X}} a.& un plan ;& b.& l'ensemble vide ; \\ c.& une droite ;& d.& réduite à un point.\\ \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}} Le plan $\mathcal{P}$ a pour vecteur normal $\vect n \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix}$ et le plan $\mathcal{Q}$ a pour vecteur normal $\vect{n'} \begin{pmatrix} -6\\-4\\-2 \end{pmatrix}$. $\vect{n'}=-2\vect n$ donc les plans sont parallèles. Le point T appartient à $\mathcal{P}$. $-6x_{\text T} -4y_{\text T} -2z_{\text T} +7 = -6\times 1 -4\times 0 -2\times 1+7 =-1\neq 0$ donc $\text T \notin \mathcal{Q}$ Les deux plans sont donc strictement parallèles. \hfill\textbf{Réponse b.} \end{tabular} \end{enumerate} \end{document}