\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit et corrigé : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{24cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé S Antilles}, pdftitle = {juin 2001}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane ~\decofourright\\juin 2001}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1\hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item~ \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt,levelsep=4cm,nrot=:U]{\TR{}} {\pstree{\TR{$G$} \naput{$\frac{1}{50}$}} {\TR{$L_1$\quad 190} \TR{$L_2$\quad 290} \TR{$P$\quad 90} } \pstree{\TR{$\overline{G}$}\nbput{$\frac{49}{50}$}} {\TR{$L_1 \quad 90$ }\naput{$\frac{7}{490}$} \TR{$L_2\quad 190$}\naput{$\frac{1}{490}$} \TR{$P\quad - 10$}\nbput{$\frac{482}{490}$} } } \end{center} \item On a $p\left(\overline{G} \right) = 1 - p(G) = 1 - \frac{1}{50} = \frac{49}{50} = 0,98$. Puis $p_{\overline{G}}(P) = 1 - p(L_1) - p(L_2) = 1 - \frac{1}{70} - \frac{1}{490} = \frac{490 - 7 - 1}{490} = \frac{482}{490} = \frac{241}{245}$ \item Voir l'arbre \end{enumerate} \item %On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur ,après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet. %La probabilité de l'évènement "X=90"" est 2/125. %La probabilité de l'évènement "X=190" est 1/250 \begin{enumerate} \item %Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100 F à la loterie sachant qu'il a gagné 100 F au grattage est égale à 1/10 Il faut trouver $p_G(L_1)$. On sait que $p(X = 190) = \dfrac{1}{250}$ ; or on peut gagner 190 euros, soit en gagnant 100 euros au grattage puis 100 euros au tirage, soit en gagnant 200 euros au tirage. D'où : $p(X = 190) = \dfrac{1}{250} = p\left(G \cap L_1 \right) + p\left(\overline{G} \cap L_2 \right) = p(G)\times p_G\left(L_1 \right) + p\left(\overline{G} \right) \times p_{\overline{G}}\left(L_2 \right) = \dfrac{1}{50}p_G\left(L_1 \right) + \dfrac{49}{50}\times \dfrac{1}{490} = \dfrac{1}{50}p_G\left(L_1 \right) + \dfrac{1}{500} = \dfrac{1}{250}$. Donc $\dfrac{1}{50}p_G\left(L_1 \right) = \dfrac{1}{250} - \dfrac{1}{500} = \dfrac{1}{500}$ et finalement : $p_G\left(L_1 \right) = \dfrac{1}{500} \times 50 = \dfrac{1}{10} = 0,1$. \item %Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie sachant qu'il a gagné 100 F au grattage De même on peut gagner 90 euros soit en gagnant uniquement 100 euros au grattage, soit 100 euros uniquement au tirage. Donc $p(X = 90) = \dfrac{2}{125} = p(G \cap P) + p\left(\overline{P} \cap L_1 \right) = p(G) \times p_G(P) + p_{\overline{P}}\left(L_1\right) = \dfrac{1}{50}p_G(P) + \dfrac{49}{50}\times \dfrac{1}{70} = \dfrac{1}{50}p_G(P) + \dfrac{7}{500} = \dfrac{2}{125}$. Donc $\dfrac{1}{50}p_G(P) = \dfrac{2}{125} - \dfrac{7}{500} = \dfrac{1}{500}$, donc $p_G(P) = \dfrac{1}{500}\times 50 = \dfrac{1}{10} = 0,1$. \item %Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance de X. $\bullet~~$$p(X = - 10) = p\left(\overline{G} \cap P \right) = \dfrac{49}{50}\times \dfrac{241}{245} = \dfrac{241}{250}$. $\bullet~~$$p(X = 290) = 1 - p(X = - 10) - p(X = 90) - p(X = 190) = 1 - \dfrac{241}{250} - \dfrac{2}{125} - \dfrac{1}{250} = \dfrac{250 - 241 - 4 - 1}{250}\dfrac{4}{250} = \dfrac{2}{125}$. Le tableau de la loi de probabilités de $X$ est donc : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_i$&-10&90&190&290\\ \hline \rule[-4mm]{0mm}{9mm}$p\left(X = x_i\right)$&$\dfrac{241}{250}$&$\dfrac{4}{250}$&$\dfrac{1}{250}$&$\dfrac{4}{250}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On a donc $E(X) = - 10\times \dfrac{241}{250} + 90\times \dfrac{241}{250} + 190 \times \dfrac{1}{250} + 290 \times \dfrac{4}{250} =$ $ \dfrac{-\np{2410} + 360 + 190 + \np{1180}}{250} = -\dfrac{700}{250} = - \dfrac{14}{5} = - 2,80$. Sur un grand nombre de parties la perte moyenne par partie est de 2,80~\euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip \begin{enumerate} \item ~%Placer sur une figure les points A(2+i), B(2i), C(-4 + 3i) et D(-8) en prenant 1 cm pour unité graphique. \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-9,-2.5)(3,4) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-9,-2.5)(3,4) \psdots(2,1)(0,2)(-4,3)(-8,0)(1,-2)(-1,2)(-4,1)%ABCDOmega \uput[ur](2,1){A} \uput[ur](0,2){B} \uput[ul](-4,3){C} \uput[ul](-8,0){D} \uput[dr](0,0){O}\uput[dr](1,-2){$\Omega$} \psline(2,1)(1,-2) \rput{-90}(2,1){\psline(-1,-3)} \psline(-1,2)(-4,3) \psline(0,2)(1,-2) \rput{90}(0,2){\psline(-1,4)} \psline(-4,1)(-8,0) \end{pspicture} \end{center} \item %Soit f la transformation du plan qui à tout point M(z) associe le point M'(z') tel que z' = (1 + 2i) z - 4 - 2i \begin{enumerate} \item On a $z_{\text{A}'} = (1 + 2\text{i})(2 + \text{i}) - 4 - 2\text{i} = 2 - 2 + \text{i} + 4\text{i} -4 - 2\text{i} = - 4 + 3\text{i} = z_{\text{C}}$. Donc $f(\text{A}) = \text{C}$. $z_{\text{B}'} = (1 + 2\text{i})(2\text{i}) - 4 - 2\text{i} = 2\text{i} - 4 - 4 - 2\text{i} = - 8 = z_{\text{D}}$. Donc $f(\text{B}) = \text{D}$. \item $\Omega$ d'affixe $\omega$ est un point fixe pour $f$ si et seulement si $f(\Omega) = \Omega \iff$ $\omega = (1 + 2\text{i})\omega - 4 - 2\text{i} \iff \omega(1 - 1 - 2\text{i}) = - 4 - 2\text{i} \iff \omega = \dfrac{- 4 - 2\text{i}}{- 2\text{i}} = \dfrac{(2 + \text{i})}{\text{i}} = \dfrac{2\text{i} - 1}{- 1} = 1 - 2\text{i}$. $f$ admet donc un unique point fixe $\Omega$ d'affixe $\omega = 1 - 2\text{i}$. \end{enumerate} \item %Soit M un point quelconque et M' son image par f. \begin{enumerate} \item On a : $\left\{\begin{array}{l c l} z'&=&(1 + 2\text{i})z - 4 - 2\text{i}\\ \omega&=&(1 + 2\text{i})\omega - 4 - 2\text{i} \end{array}\right. \Rightarrow $\:(par différence)\:$z' - \omega = (1 + 2\text{i})(z - \omega) \iff z' - \omega = (1 + 2\text{i})z - \omega- 2\text{i}\omega \iff z' = z + 2\text{i}z - 2\text{i}\omega \iff z' - z = 2\text{i}(z - \omega)$. \item L'égalité précédente peut s'écrire puisque $z \ne \omega$, \: $\dfrac{z' - z}{\omega - z} = 2\text{i}$ $\bullet~~$D'où en modules : $\dfrac{z' - z}{\omega - z}\left| \right| = |2\text{i}| \iff \dfrac{MM'}{\Omega M} = 2$. $\bullet~~$En argument $\text{arg}\left(\dfrac{z' - z}{\omega - z} \right) = \text{arg}(2\text{i}) \iff \left(\vect{\Omega M},~\vect{MM'} \right) = \dfrac{\pi}{2}$. Donc $\left(\vect{M\Omega},~\vect{MM'} \right) = -\dfrac{\pi}{2}$. \item On peut en déduire une construction géométrique du point $M'$ connaissant le point $M$ \begin{itemize} \item[\ding{202}] On part d'un point $M$ ; \item[\ding{203}] On trace le segment $[\Omega M]$ ; \item[\ding{204}] On trace la demi-droite passant par $M$ et indirectement perpendiculaire à $[\Omega M]$ ; \item[\ding{205}] Sur cette demi-droite à l'aide du compas on place $M'$ tel que $MM' = 2 M\Omega$. \end{itemize} On peut construire ainsi $f(\text{A})$ et vérifier que $f(\text{A}) = \text{C}$.Même chose pour $f(\text{B}) = \text{D}$ \end{enumerate} \end{enumerate}   \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans cette question, $\ell = 882$ et $L = 945$ La plus grande valeur possible pour $a$ est le PGCD(882,945). Or $945 = 882\times 1 + 63$, donc PGCD(882,945) = 63. On a aussi : $882 = 2 \times 441 = 2 \times 21^2 = = 2\times (3\times 7)^2 = 2 \times 3^2 \times 7^2$. $945 = 5 \times 189 = 5 \times 9 \times 21 = 3^3 \times 5 \times 7$. Donc PGCD$(882,945) = 3^2 \times 7 = 9 \times 7 = 63$. Les valeurs possibles pour $a$ sont les diviseurs communs à 882 et à 945 c'est à dire les diviseurs de 63, soit 1 ou 3 ou 7 ou 9 ou 21 ou 63. \item Dans cette question,le volume de la boîte B est $v = \np{77760}$. On sait que pour remplir la boîte B la plus grande valeur possible de $a$ est 12. Le PGCD$(L,~\ell) = 12$ d'où $L = 12x$ et $\ell = 12y$ avec $x$ et $y$ premiers entre eux. On a donc $v = \np{77760} = 12x\times (12 y)^2 = 12^3 \times xy = \np{1728}xy^2$ ; donc $xy^2 = 45 = 3^2 \times 5$. Il y a deux possibilités : $\ell = 1$, donc $L = 45$ ou $\ell = 3$ et $L = 5$. Deux boîtes sont possibles : - l'une avec $\ell = 12,\: L = 540$ et - l'autre avec $\ell = 36, \: L = 60$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans cette question, $\ell = 882$ et $L = 945$. La plus petite arête $c$ pour la caisse C est le PPCM$(882,~945) = \dfrac{882 \times 945}{\text{PGCD}(882,~945)} =$ $\dfrac{882 \times 945}{63} = 14 \times 945 = \np{13230}$. L'ensemble de toutes les valeurs possibles pour $c$ est l'ensemble des multiples de \np{13230} soit les nombres $ \np{13230}k$, avec $k$ entier naturel non nul. \item Dans cette question, le volume de la boîte B est \np{15435}. et que la plus petite arête possible pour la caisse C est 105. Donc $105 = \text{PPCM}(L,~\ell)$ donc $105 = Lx$ et $105 = \ell y$ Donc $v = \np{15435} = L \ell^2 = \left(\dfrac{105}{x}\right)^2 \times \left(\dfrac{105}{y}\right)$ d'où $\np{15435} x^2 y = 105^3 = \np{1157625}$ et enfin $x^2 y = 75$. Les diviseurs de 75 sont 1,\:3,\:5,\:15,\:25,\:75 Une solution évidente $x = 3,\:y = 5$ et c'est la seule puisqu'il n'y a qu'un carré parmi les diviseurs de 75. La boîte a donc pour dimension $\ell = 21$ et $L = 35$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème\hfill 11 points} \medskip \textbf{Partie A :} Résolution de l'équation différentielle \[(1):\qquad y' - 2y = x\text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item L'équation différentielle $(2) :\quad y' - 2 y = 0$ a pour solutions les fonctions $x \longmapsto A\text{e}^{2x}$, avec $A \in \R$. \item \begin{enumerate} \item $u(x) = (ax + b)\text{e}^x$ est solution de l'équation (1) si et seulement si $u'(x) - 2u(x) = x \text{e}^{x} \iff a \text{e}^{x} + (ax + b)\text{e}^{x} - 2(a x + b)\text{e}^{x} = x \text{e}^{x} \iff (a + ax + b - 2 ax - 2b)\text{e}^{x} = x \text{e}^{x} \iff - a x + a - b = x$ (car $\text{e}^{x} > 0$, est donc non nul), $\iff - a = 1 \quad \text{et} \quad a - b = 0 \iff a = - 1\quad \text{et}\quad b = - 1$. La fonction $u(x) = (- x - 1)\text{e}^{x}$ est solution de l'équation (1). \item La fonction $v$ est une solution de l'équation (2) si et seulement si $v'(x) - 2v(x) = 0$. $u$ est une solution de (1) si set seulement si $u'(x) - 2u(x) - x \text{e}^{x} = 0$ ; en ajoutant membre à membre ces deux équations on obtient : $v'(x) - 2v(x) + u'(x) - 2u(x) - x \text{e}^{x} = 0 \iff $ $u'(x) + v'(x) - 2(u(x) + v(x)) - x \text{e}^{x}= 0 \iff $ $(u + v)'(x) - 2(u + v)(x) = x \text{e}^{x} \iff u + v $ est solution de (1). \item D'après le résultat précédent, $f$ est solution de (1) si et seulement si $(f - u) + u$ est solution de (1) si et seulement si $f - u$ solution de (2) si et seulement si $f(x) - u(x) = A \text{e}^{x}$ si et seulement si $f(x) = u(x) + A\text{e}^{x}$, avec $A \in \R$. Finalement $f(x) = (- x - 1)\text{e}^{x} + A\text{e}^{2x}$ avec $A \in \R$. \end{enumerate} \item $f$ est la solution de l'équation (1) qui s'annule en $0$ si et seulement si $f(0) = 0 \iff 0 = (- 0 - 1) \text{e}^0 + A \text{e}^{2\times 0} \iff 1 = A$. Donc la solution de l’équation (1) qui s’annule en 0 est $f(x) = (- x - 1) \text{e}^x + \text{e}^{2x}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} Étude d'une fonction auxiliaire \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = 2\text{e}^x - x - 2$. \medskip \begin{enumerate} \item ~ $\bullet~~$On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^x = 0, \: \displaystyle\lim_{x \to - \infty} - x = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = + \infty$. $\bullet~~$ On peut écrire pour $x \ne 0,\: g(x) = x \left(2 \dfrac{\text{e}^x}{x} - 1 - \dfrac{2}{x}\right)$. On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{2}{x} = 0$, donc par somme et produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$. \item Pour tout réel $x$, $g$ est dérivable et $g'(x) = 2 \text{e}^x - 1$. $\bullet~~$$g'(x) > 0 \iff 2 \text{e}^x - 1> 0 \iff 2 \text{e}^x > 1 \iff \text{e}^x > \frac{1}{2} \iff x > \ln \left(\frac{1}{2} \right) \iff$ $ x > - \ln 2$. $\bullet~~$$g'(x) < 0 \iff 2 \text{e}^x - 1< 0 \iff 2 \text{e}^x < 1 \iff \text{e}^x < \frac{1}{2} \iff x < \ln \left(\frac{1}{2} \right) \iff $ $x < - \ln 2$. $\bullet~~$$g'(x) = 0 \iff x = - \ln 2$. La fonction $g$ est donc décroissante de plus l’infini à $f(- \ln 2) = 2\text{e}^{- \ln 2} + \ln 2 - 2 = \dfrac{2}{2} + \ln 2 - 2 = \ln 2 - 1$ sur l’intervalle $]- \infty~;~- \ln 2[$. Et $g$ est croissante de $f(- \ln 2) = \ln 2 - 1$ à plus l’infini sur l’intervalle $]- \ln 2~;~+ \infty[$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3) \psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](4,2.4){$- \ln 2$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} \uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f(x)$} \uput[d](1.5,2){$+ \infty$} \uput[u](4,0){$\ln 2 - 1$} \uput[d](6.5,2){$+ \infty$} \psline{->}(1.9,1.8)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.1,1.8) \end{pspicture} \end{center} \item %On admet que l'équation g(x) = 0 a exactement deux solutions réelles. \begin{enumerate} \item On a $g(0) = 2 \text{e}^0 - 0 - 2 = 0$ donc $0$ est une de ces solutions \item $g$ est dérivable et strictement décroissante sur l’intervalle $[-1,6~;~-1,5]$. $g(- 1,6) \approx 0,004$ et $g(- 1,5) \approx - 0,05$ : la fonction $g$ étant continue car dérivable sur l’intervalle $[-1,6~;~-1,5]$, il existe donc un réel unique $\alpha \in ]- 1,6~;~- 1,5[$ tel que $g(a) = 0$. \end{enumerate} \item On peut donc des variations de $g$ donner le signe de $g(x)$ : $\bullet~~$sur $]- \infty~;~\alpha[, \: g(x) > 0$ ; $\bullet~~$sur $]\alpha~;~0[, \: g(x) < 0$ ; $\bullet~~$sur $]0~;~+ \infty[,\: g(x) > 0$. $\bullet~~$$g(\alpha) = g(0) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C :} Étude de la fonction principale. \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{2x} - (x + 1) \text{e}^{x}$. \begin{enumerate} \item $f(x) = \text{e}^{2x} - x\text{e}^{x} - \text{e}^{x}$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{2x} = \displaystyle\lim_{x \to - \infty}x\text{e}^{x} = \displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{x} = 0$, donc par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$. $f(x) = \text{e}^{2x}\left(1 - \dfrac{x}{\text{e}^{x}}- \dfrac{1}{\text{e}^{x}}\right)$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^{x}} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\text{e}^{x}} = 0$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 -\dfrac{x}{\text{e}^{x}} \dfrac{x}{\text{e}^{x}}- \dfrac{1}{\text{e}^{x}} = 1$ et par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$. \item $f$ est dérivable comme somme de produits de fonctions dérivables sur $\R$ et on a : $f'(x) = 2\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - (x + 1)\text{e}^{x} = 2\text{e}^{2x} - (x + 2)\text{e}^{x}$. Or $f'(x) = \text{e}^{x}\left(2\text{e}^{x} - x - 2 \right)$ et comme $\text{e}^{x} > 0$ quel que soit le réel $x$, \: $f'(x)$ a le même signe que $2\text{e}^{x} - x - 2 = g(x)$. On a vu à la question précédente le signe de $g(x)$ donc celui de $f'(x)$. $\bullet~~$sur $]- \infty~;~\alpha[, \: f'(x) > 0$ ; $f$ est croissante sur $]- \infty~;~\alpha[$ ; $\bullet~~$sur $]\alpha~;~0[, \: f'(x) < 0$ ; $f$ est décroissante sur $]\alpha~;~0[$ ; $\bullet~~$sur $]0~;~+ \infty[,\: f'(x) > 0$ ; $f$ est croissante sur $]0~;~+ \infty[$ ; $\bullet~~$$f'(\alpha) = f'(0) = 0$ ; $f$ a deux extremums locaux. \emph{Remarque :} on aurait pu dire que $f'(x) = 2f(x) + x\text{e}^x$, puisque $f$ est solution de l'équation différentielle (1). \item On sait que $g(\alpha) = 0 \iff 2\text{e}^\alpha - \alpha - 2 = 0 \iff \text{e}^\alpha = \dfrac{\alpha + 2}{2}$. Donc $f(\alpha) = \text{e}^{2\alpha} - (\alpha + 1) \text{e}^{\alpha} = \left(\text{e}^{\alpha}\right)^2 - (\alpha + 1) \text{e}^{\alpha} = \left(\dfrac{\alpha + 2}{2} \right)^2 - (\alpha + 1)\times \dfrac{\alpha + 2}{2} = \dfrac{\alpha^2 + 4 + 4\alpha - 2\alpha^2 - 6\alpha - 4}{4} = \dfrac{- \alpha^2 - 2\alpha}{4} = - \dfrac{\alpha^2 + 2\alpha}{4}$. On sait que $- 1,6 < \alpha < - 1,5 \Rightarrow 2,25 < \alpha^2 < 2,56$ De même $- 1,6 < \alpha < - 1,5 \Rightarrow - 3,2 < 2\alpha < - 3$, d'où par somme : $- 0,95 < \alpha^2 + 2\alpha < - 0,44$ et $- \dfrac{0,95}{4} < \dfrac{\alpha^2 + 2\alpha}{4} < - \dfrac{0,44}{4}$ ou $- 0,2375 < \dfrac{\alpha^2 + 2\alpha}{4} < - 0,11$ et enfin $0,11 < - \dfrac{\alpha^2 + 2\alpha}{4} < \np{0,2375}$. \item Tableau de variations de $f$ : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3) \psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](3,2.4){$\alpha$} \uput[u](5,2.4){$0$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} \uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$}\uput[u](2,1.9){$+$}\uput[u](3,1.9){$0$}\uput[u](4,1.9){$-$}\uput[u](6,1.9){$+$} \rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[u](5,1.9){$0$} \uput[u](1.15,0){$0$}\uput[d](3,2){$f(\alpha)$}\uput[u](5,0){0}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$} \psline{->}(1.5,0.5)(2.5,1.5)\psline{->}(3.5,1.5)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(6.5,1.5) \end{pspicture} \end{center} \item~ \begin{center} \psset{unit=1.75cm} \begin{pspicture*}(-3.2,-0.5)(2,3) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3.2,-0.49)(2,2.99) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp x 1 add mul sub} \uput[u](1.9,0){$x$}\uput[r](0,2.9){$y$}\uput[r](1.15,2.8){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dr](0,0){O} \psline[linecolor=red](-1.59,0)(-1.59,0.1619)\uput[d](-1.59,-0.1){$\alpha$} \psline[linecolor=red]{<->}(-2.59,0.1619)(-0.59,0.1619) \end{pspicture*} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D :} Calcul d'aire \medskip \begin{enumerate} \item $m$ étant un réel négatif, on a vu que sur $[m~;~0]$, $f(x) > 0$, donc l'intégrale de $m$ à 0 de $f$ est égale à l'aire (en unité d'aire) de la surface limitée par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équation : $x = m$ et $x = 0 $. L'unité d'aire valant 4 cm$^2$, il faudra multiplier par 4 l'intégrale pour avoir l'aire en cm$^2$. \item \begin{enumerate} \item On pose $u(x) = x$ et $v'(x) = \text{e}^x$, donc $u'(x) = 1$ et $v(x) = \text{e}^x$ ; toutes ces fonctions sont continues car dérivables sur $[m~;~0]$ ; on peut donc intégrer par parties : $\displaystyle\int_m^0 x \text{e}^x\:\text{d}x = \left[ x \text{e}^x\right]_m^0 - \displaystyle\int_m^0 \text{e}^x\:\text{d}x = \left[x \text{e}^x - \text{e}^x\ \right]_m^0 = 0 - 1 - m \text{e}^m + \text{e}^m =$ $\displaystyle\int_m^0 x \text{e}^x\:\text{d}x = \text{e}^m(1 - m) - 1$. \item $\displaystyle\int_m^0 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_m^0 \left(\text{e}^{2x} - (x + 1)\text{e}^{x} \right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_m^0 \text{e}^{2x}\:\text{d}x - \displaystyle\int_m^0 x\text{e}^{x}\:\text{d}x- \displaystyle\int_m^0 \text{e}^{x}\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} \right]_m^0 - \left[x\text{e}^{x} \right]_m^0 - \left[\text{e}^{x} \right]_m^0 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2m} + 1 - \text{e}^{m} - 1 + \text{e}^{m} + m\text{e}^m =$ $\displaystyle\int_m^0 f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2m} + m\text{e}^m $. \end{enumerate} \item On sait que $\displaystyle\lim_{m \to - \infty} \text{e}^{m} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{m \to - \infty} \text{e}^{2m} = \displaystyle\lim_{m \to - \infty} \left(\text{e}^{m}\right)^2 = 0$, et que $\displaystyle\lim_{m \to - \infty}m\text{e}^m = 0$, donc par somme de limites : \[\displaystyle\lim_{m \to - \infty} \displaystyle\int_m^0 f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}.\] \end{enumerate} \end{document}