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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie \hspace{1em}correction}}
\rfoot{\small{Novembre 2018}}
\addtolength{\headheight}{\baselineskip}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STAV  Nouvelle Calédonie ~\decofourright\\ [5pt]novembre 2018}}


\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

L'annexe A est à rendre avec la copie après avoir été numérotée
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
On injecte une dose médicamenteuse à un animal à l'instant $x = 0$.

On note $g(x)$ la concentration, exprimée en mg/L, de substance présente dans le sang à l'instant $x$
exprimé en heure.

La représentation graphique $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ dans un repère orthogonal d'origine O est donnée
ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.1)(9.25,1.1)
\multido{\n=0.00+0.25}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,1.1)}
\multido{\n=0.0+0.1}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(9.25,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{9.25}{x 2 mul  2.71828 x exp div}
\psline(0.5,1)
\psline(0,0.9)(4.5,0)
\uput[ur](8.5,0.02){\red $\mathcal{C}_g$}
\uput[u](9.1,0){$x$}
\uput[r](0,1.08){$y$}\uput[r](0.6,1){$T_0$}\uput[ur](4.5,0){$T_3$}
\uput[ur](3,0.3){A}
\psdot(3,0.3)
\end{pspicture}
\end{center}

$T_0$ est la tangente à $\mathcal{C}_g$ en 0 et $T3$ est la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point A d'abscisse 3.

L'axe des abscisses est asymptote à la courbe en $+ \infty$.

\medskip

À l'aide de ces informations et des éléments graphiques disponibles:
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec la précision permise par le graphique, en lisant l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse \np{0.5}, nous trouvons  $g(0,5)=\np{0.6}$. 

 Cette valeur, dans le contexte de l'exercice, peut être considérée comme la concentration en mg/L de la substance  dans le sang une demi-heure après l'injection.
\item Donnons la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)= 0$ puisque l'axe des abscisses est asymptote à la courbe en $+ \infty$.

Ce résultat, dans le contexte de l'exercice, signifie que la concentration tend vers~0, lorsque la durée devient de plus en plus grande.

\item Écrivons le coefficient directeur de tangente en 3 à la courbe 

$g'(3) =\dfrac{\np{0.1}-\np{0.3}}{4-3}= - 0,2$, de même  $g'(0)=\dfrac{1-0}{\np{0.5}-0}=2$.
\item On admet que $g'(x)$ représente la vitesse d'absorption du médicament lorsque $g'(x) \geqslant 0$.

 Nous pouvons parler de vitesse d'absorption sur l'intervalle [0~;~1] puisque sur cet intervalle la fonction $g$ est croissante donc sa dérivée est positive.% Expliquer.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip


\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.\\
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à \boldmath $10^{-4}$ près.}

\medskip

Un producteur de fraises conditionne manuellement sa cueillette en barquettes de $\np[g]{500}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire associée à la masse de fraises par barquette.

On admet que la variable aléatoire $X$ est distribuée suivant la loi normale de paramètres \textmu = 500 et \textsigma = 20.

On estime que la masse de fraises dans la barquette est conforme lorsqu'elle est comprise entre $\np[g]{470}$ et
$\np[g]{530}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que la barquette ait une masse de fraises conforme est notée :

$p(470\leqslant X\leqslant 530)$.

$p(470\leqslant X\leqslant 530)=p( X\leqslant 530)-p( X\leqslant 470)=\np{0.9332}-\np{0.0668}=\np{0.8664}$
\end{enumerate}
{\footnotesize
On pourra utiliser la calculatrice ou le tableau donné ci-dessous}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering\arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
$x$ 		&460 		&470 	&480 &490 		&500 		&510 &520 			&530 		&540\\ \hline
$P(X < x)$ 	&\np{0,0228}&\np{0,0668}&\np{0,1587}&\np{0,3085}&0,5 &\np{0,6915}&\np{0,8413}&\np{0,9332}&\np{0,9773}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item On donne deux courbes de Gauss de paramètre \textmu = 500 et ayant des valeurs de \textsigma{} différentes.

 Si nous voulons avoir davantage de barquettes avec des masses conformes il vaut mieux diminuer \textsigma{} puisque la probabilité que $X$ soit comprise entre 470 et 530  sera plus grande ce que montre les deux courbes ci-dessous.
 
\begin{center}
\scalebox{0.9}{
\psset{xunit=0.15cm,yunit=50cm}
\begin{pspicture}(-45,-0.031)(45,0.05)
\psframe(-45,-0.035)(45,0.05)
\psaxes[linewidth=0pt,Dx=500,Dy=2](0,0)(-45,0)(45,0.04)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]
{\psGauss[sigma=10,mue=0,linewidth=1.25pt]{-40}{40}
\psline(40,0)(-40,0)
}
\psGauss[sigma=10,mue=0,linewidth=1.25pt]{-40}{40}

\multido{\n=-40+5,\na=460+5}{17}{\psline(\n,0)(\n,0.002)\uput[d](\n,0){\small \na}}
\rput(-35,-0.02){\textmu = 500}\rput(-25,-0.02){\textsigma = 10}
\rput(-30,-0.03){$P(470 \leqslant X \leqslant 530) = \np{0,9973}$}
\end{pspicture}
}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}
\scalebox{0.9}{
\psset{xunit=0.055cm,yunit=100cm}
\begin{pspicture}(-120,-0.021)(120,0.02)
\psframe(-125,-0.02)(125,0.02)
\psaxes[linewidth=0pt,Dx=500,Dy=2](0,0)(-125,0)(125,0.01)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]
{\psGauss[sigma=30,mue=0,linewidth=1.25pt]{-30}{30}
\psline(30,0)(-30,0)
}
\psGauss[sigma=30,mue=0,linewidth=1.25pt]{-120}{120}

\multido{\n=-120+20,\na=380+20}{13}{\psline(\n,0)(\n,0.002)\uput[d](\n,0){\small \na}}
\rput(-105,-0.01){\textmu = 500}\rput(-75,-0.01){\textsigma = 30}
\rput(-80,-0.015){$P(470 \leqslant X \leqslant 530) = \np{0,6827}$}
\end{pspicture}
}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On fait l'hypothèse que la proportion $p$ de barquettes livrées par le producteur dont la masse de fraises est
non conforme est égale à $0,07$.

Afin de contrôler le conditionnement des fraises, un échantillon de $120$ barquettes est prélevé. Le
prélèvement est assimilé à un prélèvement avec remise, car il est effectué parmi un très grand nombre.

\medskip

\textbf{On rappelle que :}

L'intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$,
lorsque la proportion $p$ est connue, est : 

\[\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons l'intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ de la fréquence de barquettes non
conformes dans un échantillon de $120$ barquettes.

$n=120>30\quad np=\np{8.4}>5\quad np(1-p)=\np{7.812}>5$

\[\left[\np{0.07} - 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.07}(1 - \np{0.07})}{120}}~;~\np{0.07} + 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.07}\times \np{0.93}}{120}}\right]=[\np{0.0244}~;~\np{0.1156}]\].




\item Sur les 120 barquettes contrôlées, $8$ ont une masse non conforme.

La proportion de barquettes non conformes livrées par le producteur est de $\frac{8}{120}$ soit $\frac{1}{15} \approx \np{0,0667}$. Cette proportion appartient  bien
à l'intervalle de fluctuation à 95\,\%. Nous pouvons considérer que la proportion de barquettes non conformes livrées par le producteur est bien de $0,07$.%Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'étiquetage des barquettes peut présenter deux défauts indépendants :

\smallskip
\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item Le défaut A : le code barre est illisible.
\item Le défaut B : le nom du producteur n'apparaît pas sur la barquette.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On a observé que $3\,\%$ des barquettes possèdent le défaut A, et que $10\,\%$ possèdent le défaut B.

On prélève au hasard une barquette.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que cette barquette possède les deux défauts est $P(A\cap B)$. 

Puisque les événements sont indépendants, $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ donc 

$p(A\cap B)=\dfrac{3}{100}\times \dfrac{10}{100}=\dfrac{3\times 10}{100\times 100}=0,003$.
\item Calculons la probabilité que cette barquette comporte au moins un des deux défauts.

 Pour ce faire, calculons la probabilité de l'événement contraire :

 \og la barquette n'a aucun défaut\fg. 
 
 $p(\overline{A}\cap\overline {B})=(1-\np{0.03})\times (1-\np{0.90})=\np{0.97}\times \np{0.90}=\np{0.873}$
 
 Il en résulte $p\left(\overline{\overline{A}\cap\overline {B}}\right)=1-P(\overline{A}\cap\overline {B})=1-\np{0.873}=\np{0.127}$
 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

{\footnotesize
\medskip
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, donné en ANNEXE A (à rendre avec la copie).

Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte.

Une réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'enlève pas de
point.
}
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
On admet que, suite à l'ingestion du lait maternel, le taux global d'anticorps en grammes par litre, présent
dans le sang d'un animal, peut être modélisé par la fonction $f$ définie sur [0~;~12] par :

\[f(t) = 0,75t + 9 -10\ln (0,12t + 1)\]

où $t$ est le temps exprimé en mois.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux d'anticorps à la naissance est $f(0)$. $f(0)=9$.
\item Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous.

\begin{center}
\parbox{0.45\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Calcul Formel}\\ \hline
Dérivée $[f]$\\
$\to f'(t) = \dfrac{0,09t - 0,45}{0,12t + 1}$\\ \hline
\end{tabularx}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Calcul Formel}\\ \hline
Résoudre $\left[\dfrac{0,09t - 0,45}{0,12t+1} \leqslant 0 \right]$\\
$\to - \dfrac{25}{3} < t \leqslant 5$\\ \hline
\end{tabularx}}

\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x)=\np{0.75}-10\times \dfrac{\np{0.12}}{\np{0.12}t+1}= \dfrac{\np{0.75}\times \np{0.12}t+\np{0.75}-\np{1.2}}{\np{0.12}t+1}=\dfrac{0,09t - 0,45}{0,12t + 1}$.
		
		Par conséquent, l'expression de la dérivée obtenue par le logiciel est correcte.

\item Étudions le sens de variation de $f$ sur [0 ; 12].
Des résultats du logiciel, nous pouvons déduire que :
sur $[0~;~5[,\ f'(t)<0$ et sur $]5~;~12],\ f'(t)>0$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $[0~;~5[,\:f'(t)<0$ donc $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur~$I$.

Sur $]5~;~12], \: f'(x)>0$ donc $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

		\item Déterminons l'âge, en mois où l'animal est le plus vulnérable aux infections, c'est-à-dire l'âge pour
lequel son taux d'anticorps est le plus bas. 

D'après le sens de variation $f$ admet un minimum en 5. Il en résulte que l'âge
où l'animal est le plus vulnérable est de cinq mois.

 $f(5)=\np{0.75}\times 5+9-10\ln(\np{0.12}\times 5+1)\approx \np{8.05}$.
 
Le  taux correspondant est, à $10^{-2}$ près, $\np[g/L]{8.05}$.
	\end{enumerate}
\item Voici deux captures d'écran d'une calculatrice :

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{CalculatriceSTAV}
\end{center}
{\footnotesize	
Sur ces fenêtres, on voit:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item la courbe représentative de $f$ sur [0~;~12] ;
\item la droite d'équation $y = 8,4$ ;
\item les points d'intersection de cette courbe et de cette droite symbolisés par une croix avec leurs
coordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
} 
 Cet animal a un taux d'anticorps inférieur à $\np[g/L]{8.4}$ sur l'intervalle [2~;~8] (temps exprimé en mois entier).
 
 Nous lisons sur le premier écran la borne inférieure de l'intervalle   c'est-à-dire 1,77  qui, arrondie  à l'entier supérieur vaut 2. 
 Nous lisons sur le second écran la borne supérieure de l'intervalle   c'est-à-dire 8,8456  qui, arrondie  à l'entier inférieur vaut~8. 

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
%\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}

\textbf{EXERCICE 3 :}

\medskip

\parbox{0.58\linewidth}{Un biologiste étudie une population de truites.

On note $u_n$ le nombre de truites en $2017+n$.

On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est définie par :

$u_0 = 400$ et pour tout entier naturel $n$ par

$u_{n+1} = 0,8u_n$. 

On donne l'algorithme ci-contre :}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\begin{tabular}{|l|}\hline
Initialisation:\\
\hspace{0.4cm}$N$ prend la valeur $0$\\
\hspace{0.4cm}$U$ prend la valeur 400\\
Traitement :\\
Tant que $U > 100$\\
\hspace{0.4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
\hspace{0.4cm}$U$ prend la valeur $0,8 \times U$\\
Fin Tant que\\
Sortie:\\
\hspace{0.4cm}Afficher $N$\\ \hline
\end{tabular}}

\smallskip

Cocher, pour chaque proposition, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\textbf{Question 1 :}

\begin{itemize}
\item[$\square~~$] \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique}
\item[$\square~~$]  \hspace{-6.85mm}\ding{52}\hspace{5.05mm} La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique
\item[$\square~~$] \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ La suite $\left(u_n\right)$ est constante}
\item[$\square~~$] \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{La suite $\left(u_n\right)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique}
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Question 2 :}

La valeur affichée par l'algorithme est :

\begin{itemize}
\item[$\square~~$] \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{6}
\item[$\square~~$]\hspace{-6.85mm}\ding{52}\hspace{5.05mm}7
\item[$\square~~$] \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{83}
\item[$\square~~$] \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{84}
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Question 3 :}

Cet algorithme permet d'obtenir :

\begin{itemize}
\item[$\square~~$] \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{La valeur de $u_{100}$}
\item[$\square~~$] \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{Les 100 premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$}
\item[$\square~~$] \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{Le nombre de termes supérieurs à 100}
\item[$\square~~$]\hspace{-6.85mm}\ding{52}\hspace{5.05mm}Le plus petit rang $N$ pour lequel $U \leqslant \np{100}$
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Question 4 :}

Une fois l'algorithme exécuté, on a :

\begin{itemize}
\item[$\square~~$] \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$U = 100$}
\item[$\square~~$] \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$U > 100$}
\item[$\square~~$] \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$U \geqslant 100$}
\item[$\square~~$]\hspace{-6.65mm}\ding{52}\hspace{5.05mm}$U \leqslant 100$
\end{itemize}
\end{document}