\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphics}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-node,pstricks-add}
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement fourni par Denis Le Fur
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du brevet des collèges},
pdftitle = {Amérique du Sud novembre 2011},
allbordercolors = white}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Amérique du Sud~\decofourright\\ novembre 2010}}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%Aucune justification n'est demandée pour cet exercice, les calculs pourront être réalisés à la calculatrice. On donne les nombres suivants :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%A $= \dfrac{927}{486 - 13 \times 8}$&B $= \dfrac{3 \times 10^5 - 6 \times 10^3}{3 \times 10^{11}}$& C $= \sqrt{\dfrac{442,5- 7^2 \times 2,5}{5}}$\\  
%D $= \sqrt{6} - \sqrt{5}$&E $ = \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$& \\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Calculer A et donner un arrondi à $0,01$ près.
A $= \dfrac{927}{486 - 13 \times 8} = \dfrac{927}{486 - 104} = \dfrac{927}{382} \approx 2,426$ soit 2,43 au centième près. 
\item %Donner l'écriture scientifique de B.
B $= \dfrac{3 \times 10^5 - 6 \times 10^3}{3 \times 10^{11}} = \dfrac{10^5 - 2 \times 10^3}{ 10^{11}} = \dfrac{\np{98000}}{10^{11}} = 9,8 \times 10^4 \times 10^{- 11} = 9,8\times 10^{-7}$. 
\item %Calculer C.
C $ = \sqrt{\dfrac{442,5- 7^2 \times 2,5}{5}} = \sqrt{\dfrac{442,5 - 49 \times 2,5}{5}} = \sqrt{\dfrac{442,5- 122,5}{5}} = \sqrt{\dfrac{320}{5}} = \sqrt{64} = 8$. 
\item %Comparer les nombres D et E.
D $= \sqrt{6} - \sqrt{5}$ ;  E $ = \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\left(\sqrt{6} - \sqrt{5} \right)\left(\sqrt{6} + \sqrt{5} \right)} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6 - 5} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{1} = \sqrt{6} - \sqrt{5}  = $D.

Les deux nombres D et E sont égaux.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

%Un carré a pour aire 225~cm$^2$. Quel est le périmètre de ce carré ? Justifier votre réponse.
Le côté a pour mesure $\sqrt{225} = 15$~cm, donc le périmètre est égal à $4 \times 15 = 60$~cm.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip 
 
%On rappelle dans cet exercice que : 
%\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad ; \quad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\quad \text{et}~~ (a + b )(a - b) = a^2 - b^2\]
% 
%On donne les expressions numériques suivantes : 
%
%A $= \left(3\sqrt{2} + 5\right)^2$ et B $= \left(\sqrt{7} + 3\right)\left(\sqrt{7} - 3\right)$
%
%\medskip
% 
%Pour les deux questions suivantes, vous indiquerez au moins une étape de calcul.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Écrire A sous la forme $a + b\sqrt{2}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
A $= \left(3\sqrt{2} + 5\right)^2 = \left(3\sqrt{2} \right)^2 + 5^2 + 2\times 3\sqrt{2}\times 5 = 18 + 25 + 30\sqrt{2} = 43 + 30\sqrt{2}$. 
\item %Calculer B.
B $= \left(\sqrt{7} + 3\right)\left(\sqrt{7} - 3\right) = \left(\sqrt{7} \right)^2 - 3^2 = 7 - 9 = - 2$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère le système suivant : $\left\{\begin{array}{l c l}
45x + 30y &=&510\\
27x + 20y &=&316
\end{array}\right.$ 

	\begin{enumerate}
		\item %Les nombres $x = 10$ et $y = 2$ sont-ils solutions de ce système ? Justifier.
$45 \times 10 + 30 \times 2 = 510$ est vraie ;

$27 \times 10 + 20 \times 2 = 316$ est fausse, donc les nombres 10 et 2 ne sont pas solutions de ce système. 
		\item %Les nombres $x = 8$ et $y = 5$ sont-ils solutions de ce système ? Justifier.
		$45 \times 8 + 30 \times 5 = 510$ ou $360 + 150 = 510$ est vraie ;
		
		$27 \times 8 + 20 \times 5 = 316$ ou $216 + 100 = 316$ est vraie, donc 8 et  sont solutions du système.
	\end{enumerate} 
%Pour les fêtes de fin d'année, un groupe d'amis souhaite emmener leurs enfants assister à un spectacle au Palais des Congrès à Paris.
 
%Les tarifs sont les suivants : 
%
%\begin{tabular}{l} 
%45~\euro{} par adulte et 30~\euro{} par enfant s'ils réservent en catégorie 1.\\
%27~\euro{} par adulte et 20~\euro{} par enfant s'ils réservent en catégorie 2.\\
%\end{tabular} 
%
%Le coût total pour ce groupe d'amis est de 510~\euro{} s'ils réservent en catégorie 1 et 316~\euro{} s'ils réservent en catégorie 2. 

%Déterminer le nombre d'adultes et d'enfants de ce groupe ?
\item Si $x$ est le nombre d’adultes et $y$ le nombre d’enfants, ces deux nombres sont les solutions du système :

$\left\{\begin{array}{l c r}
45x + 30y &=&510\\
27x + 20y &=&316
\end{array}\right.$  ou $\left\{\begin{array}{l c r}
90x + 60y &=&\np{1020}\\
81x + 60y &=&948
\end{array}\right.$  d’où par différence $9x = 72$ et enfin $x = 8$.

En remplaçant dans la deuxième équation, $216 + 20Y = 316$ ou $20y = 100$ et enfin $y = 5$. On retrouve les deux solutions précédentes.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm ; AC = 8 cm et BC = 10 cm.
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(0,-5)(11,6.6)
%\psgrid
\psarc(0.5,0.5){6}{30}{70}
\psarc(10.5,0.5){8}{130}{150}
\psarc(5.5,0.5){5}{0}{3600}
\pspolygon(0.5,0.5)(10.5,0.5)(4.1,5.3)%BCA
\uput[dl](0.5,0.5){B}\uput[dr](10.5,0.5){C}
\uput[u](4.1,5.3){A}\uput[dr](6.9,-4.3){D}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](5.5,0.5)(6.9,-4.3)
\psline(0.5,0.5)(6.9,-4.3)(10.5,0.5)
\psline(4.1,5.3)(6.9,-4.3)
\uput[d](5.5,0.5){O}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Démontrer que ce triangle est rectangle en A. 
On a $\text{BC}^2 = 10^2 = 100$ et $\text{BA}^2 + \text{AC}^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

Donc $\text{BC}^2 = \text{BA}^2 + \text{AC}^2$% ce qui montre par réciproque du théorème de Pythagore que le triangle ABC est rectangle en A.
\item %On appelle O le centre du cercle circonscrit de ce triangle. 

	\begin{enumerate}
		\item %Où se trouve le point O ? Justifier votre réponse. 
On sait qu’un triangle rectangle est inscrit dans le cercle qui admet pour diamètre son hypoténuse. Le centre O du cercle circonscrit au triangle rectangle est le milieu de [BC].
		\item %En déduire le  rayon de ce cercle.
Le rayon a donc pour longueur $\dfrac{\text{BC}}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$~(cm).
	\end{enumerate} 
\item %Construire le point D pour que le quadrilatère ABDC soit un rectangle.
SI ABDC est un rectangle, c’est  un parallélogramme dont les diagonales ont le même milieu ; or O est le milieu de la diagonale [BC], c’est aussi le milieu de l’autre [AD]. D est donc le symétrique de A autour de O.

%Le point D appartient-il au cercle circonscrit du triangle ABC ? Justifier.
Comme OB = OC = OA = OD, les quatre points A, B, C et D appartiennent au cercle de centre O de rayon 5~cm.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

%EFG est un triangle rectangle en E tel que EF = 5 cm et FG = 13 cm. 
%
%\emph{La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle.}
%
%\medskip
%
%\parbox{0.6\linewidth}{
%\begin{enumerate}
%\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{EFG}}$. Arrondir au degré près. 
%\item Montrer que EG = 12 cm. 
%\item On considère le point M sur [EG] tel que 
%
%EM = 3 cm.
% 
%Calculer GM. 
%\item La perpendiculaire à (EG) passant par M coupe [FG] en N.
% 
%Les droites (MN) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier. 
%\item Calculer GN.\end{enumerate}}\hfill 
%\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(4.8,4)
%\pspolygon(0.5,1)(4.8,1)(0.5,3.4)
%\psline(2,0)(2,4)
%\uput[l](0.5,1){E} \uput[l](0.5,3.4){F} \uput[d](4.8,1){G} \uput[dl](2,1){M} \uput[ur](2,2.4){N} 
%\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle rectangle EFG, on a $\cos \widehat{\text{EFG}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{FG}} = \dfrac{5}{13}$ ; la calculatrice donne $\widehat{\text{EFG}}  \approx 67,4$ soit 67\degres au degré près.
\item Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle EFG s’écrit :

$\text{FG}^2 = \text{FE}^2 + \text{EG}^2$, d’où $\text{EG}^2 = \text{FG}^2 - \text{EF}^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$, d’où EG $ = 12$~cm.
\item GM $ = \text{EG} - \text{EM} = 12 - 3 = 9$~cm.
\item Les droites (EF) et (MN) étant toutes deux perpendiculaires à la droite (EG) sont parallèles.
\item La propriété de Thalès permet d’écrire l’égalité :

$\dfrac{\text{MG}}{\text{GE}} = \dfrac{\text{GN}}{\text{GF}}$, d’où $\text{GN} = \dfrac{\text{MG} \times \text{GF}}{\text{GE}} = \dfrac{9 \times 13}{12} = \dfrac{39}{4} = 9,75$~cm.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}  

%Les parents de Charlotte souhaitent l'inscrire dans le club d'équitation le plus proche de chez eux. Le club leur propose trois formules différentes : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Formule A : 18~\euro{} la séance. 
%\item[$\bullet~~$] Formule B : 165~\euro{} par carte de 10~séances. 
%\item[$\bullet~~$] Formule C : Paiement d'une cotisation annuelle de 70~\euro{} plus 140~\euro{} par carte de 10~séances. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que le coût pour 7~séances est de 126~\euro{} pour la formule A, 165~\euro{} pour la formule B et 210~\euro{} pour la formule C. 
Avec la formule A : $7 \times 18 = 126$~\euro ;

Avec la formule B : il faut payer la carte de 165~\euro ;

Avec la formule C : $70 + 140 = 210$~\euro.
\item %Calculer le coût de 20~séances pour ces trois formules. Quelle est la formule la plus avantageuse dans ce cas ? 
Avec la formule A : $20 \times 18 = 360$~\euro ;

Avec la formule B : il faut payer deux cartes soit 330~\euro ;

Avec la formule C : $70 + 2 \times 140 = 350$~\euro.

C’est la formule B qui est la plus avantageuse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

%Charlotte désirant faire du cheval toute l'année, ses parents décident de comparer les formules B et C. 
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Reproduire et compléter le tableau suivant sur votre copie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5} 
\multicolumn{2}{c|}{}				&1 carte&2 cartes 	&5 cartes\\ \hline 
\multirow{2}{2ex}{\rotatebox{90}{\textbf{PRIX}~~}}& Formule B	&165					&330		&825\\ \cline{2-5} 
	&Formule C	&210		&350			&770\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item %Soit $x$ le nombre de cartes de 10 séances achetées. 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer en fonction de $x$ le coût pour la famille si elle choisit la formule B.
Avec la formule B le coût pour l’achat de $x$ cartes est $165x$. 
		\item %Exprimer en fonction de $x$ le coût pour la famille si elle choisit la formule C.
Avec la formule C le coût pour l’achat de $x$ cartes est $70 + 140x$. 
		\item %Résoudre l'inéquation suivante $140x + 70 \leqslant 165x$.
		$140x + 70 \leqslant 165x$  d’où $70 \leqslant 25x$ et enfin $\dfrac{70}{25} \leqslant x$. Donc $x \geqslant 2,8$ en fait $x \geqslant 3$ car $x$ est entier).
		\item %À partir de combien de cartes achetées, la formule C devient-elle avantageuse ?
		La question précédente montre que la formule C est plus avantageuse que la formule B à partir de l’achat de 3 cartes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Dans le repère, fourni en annexe, construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par :
 
%\[f : x \longmapsto 165x~ \text{(Prix avec la formule B) ;} ~ 
%g : x \longmapsto 140x + 70~ \text{(Prix avec la formule C)}.\]
Voir l’annexe 
\item %Dans cette question, on fera apparaître les tracés utiles en pointillés.
 
%Retrouver graphiquement le nombre de cartes à partir duquel la formule C devient avantageuse.
On voit qu'à partir de 3 cartes achetées, on rencontre la représentation de la formule C en premier, soit la moins chère. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.028cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-12.5)(8,575)
\uput[d](6.5,-12.5){Nombre de cartes achetées}
\uput[r](0,575){Prix en \euro}
\multido{\n=0.00+0.25}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,562.5)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,562.5)}
\multido{\n=0.0+12.5}{46}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0+50}{5}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=50]{->}(0,0)(8,575)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.41}{165 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3.52}{140 x mul 70 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](3,0)(3,490)(0,490)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}