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%tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des  collèges}
\lfoot{\small{Centres étrangers}} 
\rfoot{\small{juin 2009}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2009\decofourright\\ 
Centres étrangers I}}\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 1}
 
\medskip

%\emph{Pour les questions $1$ et $2$ écrire les différentes étapes de calcul.} 
%
%\medskip
%
%On pose
%	
%\medskip
%	
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%$A = \dfrac{7}{15} - \dfrac{2}{15} \times\dfrac{9}{4}$ & $B = \dfrac{25 \times 10^6 \times 3 \times 10^{-2}}{2 \times 10^2}$ & $C = 3\sqrt{72} - 5 \sqrt{2}$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $A$ et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
$A = \dfrac{7}{15} - \dfrac{2}{15} \times\dfrac{9}{4} = \dfrac{7}{15} - \dfrac{3}{10}  = \dfrac{14}{30} - \dfrac{9}{30} = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}$. 
\item %Calculer $B$ et donner une écriture scientifique du résultat, puis une écriture décimale de ce résultat.
$B = \dfrac{25 \times 10^6 \times 3 \times 10^{-2}}{2 \times 10^2} = \dfrac{75}{2} \times 10^{6 - 2 - 2} = 37,5 \times 10^{2} = 3,75 \times 10^3$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Donner la valeur décimale arrondie au millième de $C$.
La calculatrice donne $C \approx \np{18,3848}$ soit environ 18,385. 
		\item  %Écrire $C$ sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un entier.
$C = 3\sqrt{72} - 5 \sqrt{2} = 3\sqrt{36\times 2} - 5\sqrt{2} = 3\sqrt{36}\times \sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 18\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 13\sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}
 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item %Développer $(x - 1)^2$. 
$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$.
%Justifier que $99^2 = \np{9801}$ en utilisant le développement précédent.
$99^2 = (100 - 1)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 1 + 1 = \np{10000} - 200 + 1 = \np{9801}$. 
\item %Développer $(x - 1)(x + 1)$.
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.
 
%Justifier que $99 \times 101 = \np{9999}$ en utilisant le développement précédent.
$99 \times 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1 = \np{10000} - 1 = \np{9999}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}
 
\medskip
  
%Durant une compétition d'athlétisme, les 7 concurrents ont couru les 200~m avec les temps suivants (en secondes) : 

%\[20,25~~ ;~~ 20,12 ~~;~~ 20,48 ~~;~~ 20,09 ~~;~~20,69~~;~~ 20,19~~  \text{et}~~ 20,38. \]

\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'étendue de cette série ?
L’étendue est égale à $20,69 - 20,09 = 0,6$. 
\item %Quelle est la moyenne de cette série (arrondie au centième) ? 
La moyenne est égale à $\dfrac{20,25+20,12+20,48+20,09 +20,69+ 20,19+20,38}{7} = \dfrac{142}{7} \approx 20,285$ soit 20,29~s au centième près.
\item %Quelle est la médiane de cette série ?
La médiane est la quatrième donnée soit 20,25. 
\item %Quelle est la vitesse moyenne de l'athlète classé premier, en mètres par seconde (m/s), (arrondie au millième) ?
Le meilleur a parcouru 200~m en 20,09~s  soit $\dfrac{200}{20,09}$ mètres par seconde soit environ 9,956~m/s au millième près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points} 

\medskip
 
\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

%Soient un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 5~cm, [AB] un diamètre de ce cercle et M un point de $\mathcal{C}$ tel que BM = 4,2~cm. 
\begin{enumerate}
\item ~%Faire une figure. 
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
%\psgrid
\pscircle(0,0){5}
\pspolygon(-5,0)(2.25,4.4)(5,0)
\psarc(5,0){5.2}{120}{150}
\uput[l](-5,0){A} \uput[r](5,0){B} \uput[ur](2.25,4.4){M}\uput[d](0,0){O}
\psdots(0,0)
\psline(2.25,4.4) 
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Montrer que ABM est un triangle rectangle.
ABM est un triangle inscrit dans un cercle qui admet pour diamètre l'un de ses côtés [AB], il es t donc rectangle en M.
\item %Quelles sont les mesures, arrondies au degré, des angles $\widehat{\text{ABM}}$ et $\widehat{\text{AOM}}$ ? 
Dans le triangle ABM rectangle en M, on a $\cos \widehat{\text{ABM}} = \dfrac{\text{MB}}{\text{AB}} = \dfrac{5,2}{10} = 0,52$. 

La calculatrice donne $\widehat{\text{ABM}} \approx 58,66$ soit environ 59\degres au degré près.

$\widehat{\text{AOM}}$ angle au centre qui intercepte le même arc que l'angle $\widehat{\text{ABM}}$ a une mesure double de celui-ci soit environ $2 \times 58,66$ ou 117,32 soit 117\degres au degré près.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2 :} %\emph{Dans cet exercice toutes les dimensions sont données en cm. }

%\medskip
%
%\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,0)(8,8)
%\pspolygon(0,0)(5.6,0)(7.7,2.6)(3.85,7.2)
%\psline(1.6,3.1)(4.85,3.1)(6.1,4.5)
%\psline(5.6,0)(3.85,7.2)
%\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](5.6,0){B} \uput[ur](7.7,2.6){C} \uput[l](2.1,2.6){D} 
%\uput[l](1.65,3.1){A$'$} \uput[r](4.85,3.1){B$'$} \uput[r](6.1,4.5){C$'$} \uput[ul](2.85,4.5){D$'$} 
%\uput[u](3.85,7.2){S}\uput[d](3.85,1.3){O}
%\pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(2.1,2.6)(7.7,2.6)%ADC
%\psline[linestyle=dashed](5.6,0)(2.1,2.6)(3.85,7.2)(3.85,1.3)%BDSO
%\psline[linestyle=dashed](1.65,3.1)(6.1,4.5)(2.85,4.5)(4.85,3.1)%A'C'D'B' 
%\end{pspicture}}\hfill \parbox{0.45\linewidth}{La pyramide SABCD ci-contre est telle que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item la base ABCD est un carré de centre O tel que AC = 12. 
%\item les faces latérales sont des triangles isocèles en S. 
%\item la hauteur [SO] mesure 8.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%(la figure n'est pas aux dimensions réelles) }

\bigskip

\begin{enumerate}
\item %Dans le triangle SOA rectangle en O, montrer que SA = 10.
O le centre de la base carrée, donc le milieu de la diagonale [AC], donc OA $ = 6$~cm. De plus SO $= 8$~cm.

Dans SOA rectangle en O le théorème de Pythagore s'écrit :

$\text{SA}^2 = \text{SO}^2 + \text{OA}^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2$ ; donc $\text{SA} = 10$~cm. 
\item %Sachant que AB $= 6\sqrt{2}$, montrer que l'aire du carré ABCD est 72 cm$^2$.
L'aire de la base est $\text{AB}^2 = \left(6\sqrt{2} \right)^2 = 6^2 \times \left(\sqrt{2} \right)^2 = 36 \times 2 = 72$~cm$^2$. 
\item %Montrer que le volume de la pyramide SABCD est égal à 192~cm$^3$.
On a $V = \dfrac{\mathcal{A}_{\text{ABCD}} \times \text{SO}}{3} = \dfrac{72 \times 8}{3} = 24 \times 8 = 192$~cm$^3$. 
\item %Soient A$'$ un point de [SA] et B$'$ un point de [SB] tels que SA$'$ =  SB$'$ = 3. Montrer que (AB) et (A$'$B$'$) sont parallèles.
La face SAB est un triangle isocèle donc SA = SB = 10.

Donc $\dfrac{\text{SA}'}{\text{SA}} = \dfrac{3}{10}$ ; de même $\dfrac{\text{SB}'}{\text{SB}} = \dfrac{3}{10}$, donc  $\dfrac{\text{SA}'}{\text{SA}} = \dfrac{\text{SB}'}{\text{SB}}$, ce qui montre d'après la réciproque de la propriété de Thalès que les droites  (AB) et (A$'$B$'$) sont parallèles. 
\item %La pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ est une réduction de la pyramide SABCD, calculer le coefficient de réduction.
On a vu à la question précédente que le coefficient de réduction est égal à $\dfrac{3}{10}$. 
\item %Calculer le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$.
Chaque dimension étant multipliée par  $\dfrac{3}{10}$, le volume est multipliée par $\left(\dfrac{3}{10}\right)^3 = \dfrac{27}{\np{1000}}$.

$V' = V\times \dfrac{27}{\np{1000}} = 192 \times \dfrac{27}{\np{1000}} = \dfrac{\np{5184}}{\np{1000}} = 5,184$~cm$^3$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} 

\medskip
 
%Pour la saison 2008-2009, le théâtre \og MODECIA \fg{} propose les tarifs suivants :
%
%\medskip
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item Tarif A : 150~\euro{} la carte permettant d'assister à tous les spectacles. 
%\item Tarif B : 75~\euro{}  l'abonnement pour la saison qui permet d'acheter une place pour 6~\euro.
%\item Tarif C : 19~\euro{}  la place \og  plein tarif \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  %Compléter le tableau figurant dans l'annexe 1, qui sera à remettre avec votre copie.
Voir à la fin. 
\item  %Si $x$ est le nombre de spectacles auxquels Marc assiste durant la saison, écrire, en fonction de $x,~ P_{\text{A}}(X),~ P_{\text{B}}(x)$ et $P_{\text{C}}(x)$, le prix que devrait payer Marc, suivant le tarif utilisé. 
$P_{\text{A}}(X) = 150$ ;

$P_{\text{B}}(x) = 75 + 6x$ ;

$P_{\text{C}}(x) = 19x$.
\item  %Parmi ces trois fonctions y a-t-il une fonction linéaire ? Si oui laquelle ?
$P_{\text{C}}$ est une fonction linéaire. 
\item  %Dans l'annexe 2, qui sera à remettre avec votre copie, on a tracé les représentations graphiques $\left(T_{\text{A}}\right)$ et $\left(T_{\text{C}}\right)$ des fonctions  $P_{\text{A}}$ et $ P_{\text{C}}$. Tracer la représentation graphique $\left(T_{\text{B}}\right)$ de la fonction $P_{\text{B}}$ dans le repère de l'annexe 2.
Voir à la fin  
\item  %Si on dispose de 100~\euro, lire graphiquement le nombre de spectacles auxquels on peut assister avec le tarif C (laisser apparaître les tracés sur le graphique).
On pourra voir 5 spectacles. 
\item  %Retrouver graphiquement le tarif le plus intéressant pour voir huit spectacles.
On trace la verticale contenant les points d'abscisse 8 et on regarde quelle la droite rencontrée en premier, pour un coût minimum : on lit que c'est le tarif B pour un coût de 123~\euro.  
\item  %Résoudre l'inéquation : 	$19x > 6x + 75$.
$19x > 6x + 75$ soit $13x > 75$ ou $x > \dfrac{75}{13}$. Or $\dfrac{75}{13} \approx 5,8$.

On en déduit qu'à partir de 6 spectacles le tarif B est plus intéressant que le tarif C. 
%En déduire le nombre de spectacles pour lequel le tarif B est plus intéressant que le tarif C. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

\textbf{À remettre avec la copie}

\begin{flushleft} \textbf{Problème :}\end{flushleft} 

\vspace{0,5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de spectacles	&3	&8		&14\\ \hline
Tarif A					&150& 150	&150\\ \hline
Tarif B					&93	&123	&159\\ \hline
Tarif C					&57	&152	&266\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ANNEXE 2}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.075cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(15.5,170)
\multido{\n=0.0+0.5}{32}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,170)}
\multido{\n=0+5}{35}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(15.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-5)(15.5,170)
\psline(0,150)(15.5,150)
\psline(0,0)(8.94737,170)
\uput[d](14.5,150){$T_{\text{A}}$} \uput[r](9,170){$T_{\text{C}}$}
\uput[u](14.5,163){\blue $T_{\text{B}}$}
\uput[d](15.5,0){$x$} \uput[l](0,170){$y$}\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{15.5}{6 x mul 75 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,100)(5.26,100)(5.26,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](8,0)(8,123)(0,123)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}