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%Tapuscrit : Denis Vergès et François Hache
%Relecture : François Hache
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pdftitle = {Métropole Sujet 1 (secours) 19 juin 2024},
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\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1 (secours)}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2024}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Métropole 19 juin 2024~J1 (secours)\decofourright \\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\vspace{0pt}
On considère un repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ de l'espace dans lequel on place les points

B(4~;~0~;~0), D(0~;~4~;~0), E(0~;~0~;~4),

et les points C, F{}, G et H de sorte que le solide ABCDEFGH soit un cube.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}
\vspace{0pt}
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(8,8.6)
%\psgrid
\psframe(0.5,0.5)(6.1,6.1)%ABFE
\psline(6.1,0.5)(7.9,2.4)(7.9,8)(6.1,6.1)%BCGF
\psline(7.9,8)(2.3,8)(0.5,6.1)%GHE
\psline(0.5,6.1)(0.5,8.6)
\psline(0,8.753)(1.7,7.38)
\psline[linestyle=dashed](1.7,7.38)(8,2.321)
\psline(7.9,2.4)(8,2.321)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.3,2.4)(7.9,2.4)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2.3,2.4)(2.3,8)%DH
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[d](6.1,0.5){B} \uput[ur](7.9,2.4){C} \uput[ur](2.3,2.4){D}
\uput[l](0.5,6.1){E} \uput[r](6.1,6.1){F} \uput[ur](7.9,8){G} \uput[u](2.3,8){H} 
\uput[u](3.3,6.1){I} \uput[ul](1.4,1.45){K}
\psdots(3.3,6.1)(1.4,1.45)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.5,0.5)(1.9,0.5)\uput[d](1.2,0.5){$\vect{\imath}$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.5,0.5)(0.95,0.975)\uput[r](0.725,0.725){$\vect{\jmath}$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.5,0.5)(0.5,1.9)\uput[l](0.5,1.2){$\vect{k}$}
\end{pspicture}
}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item %Donner les coordonnées des points C, F{}, G et H.
De $\vect{\text{AC}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}} = 4\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}$, on déduit que C(4~;~4~;~0) ;

De $\vect{\text{AF}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AE }} = 4\vect{\imath} + 4\vect{k}$, on déduit que F(4~;~0~;~4) ;

De $\vect{\text{AG}} = \vect{\text{AB}} +  \vect{\text{AD}} + \vect{\text{AE }} = 4\vect{\imath}+ 4\vect{\jmath} + 4\vect{k}$, on déduit que G(4~;~4~;~4) ;

De $\vect{\text{AH}} = \vect{\text{AD}} +  \vect{\text{AE}} = 4\vect{\jmath}+ 4\vect{k}$, on déduit que H(0~;~4~;~4).

\item %On considère le point I milieu de l'arête [EF].

%Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (IC) est donnée par: 
Le point I, milieu de [EF], a pour coordonnées $\left(\dfrac{0 + 4}{2}~;~\dfrac{0 + 0}{2}~;~\dfrac{4 + 4}{2} \right) = (2~;~0~;~4)$.

On sait que $M(x~;~y~;~z) \in (\text{IC}) \iff \vect{\text{I}M} = t \vect{\text{IC}}$, avec $t \in \R$.

Avec $\vect{\text{IC}}\begin{pmatrix}2\\4\\-4\end{pmatrix}$, on a donc :

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{IC}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - 2&=&2t\\
y - 0&=&4t\\
z - 4&=&-4t,
\end{array}\right.
 \text{avec } t \in \R \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2+2t\\
y &=&\phantom{2 +~}4t\\
z &=&4 - 4t
\end{array}\right.\:\text{où} \: t \in \R$.

\item On désigne par $\mathcal{P}$ le plan orthogonal à la droite (IC) passant par le point G, et par J l'intersection de $\mathcal{P}$ avec (lC).

	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est donnée par : 
Le vecteur $\vect{\text{IC}}\begin{pmatrix}2\\4\\-4\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$. On sait qu'alors :
		
$M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff 2x + 4y - 4z + d = 0$, avec $d \in \R$.

Ainsi G(4~;~4~;~4) $\in \mathcal{P} \iff 2 \times 4 + 4 \times 4 - 4 \times 4 + d = 0 \iff d = - 8$.

On a donc $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff 2x + 4y - 4z - 8 = 0 \iff x + 2y - 2z - 4 = 0$.
%		\[x + 2y - 2z - 4 = 0.\]

		\item %Justifier que J a pour coordonnées $\left(\dfrac{28}{9}~;~\dfrac{20}{9}~;~\dfrac{16}{9}\right)$.
		
%Que représente J par rapport à C ? 
J étant commun à (IC) et $\mathcal{P}$, ses coordonnées $(x~;~y~;~z)$ vérifient les équations paramétriques de (IC) et l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$, soit le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2+2t\\
y &=&\phantom{2 +~}4t\\
z &=&4 - 4t\\
x + 2y - 2z - 4 &=& 0
\end{array}\right.$ 

En remplaçant $x,\:y$ et $z$ par leurs valeurs en fonction de $t$ dans la dernière équation on obtient :

$2+2t + 2\times 4t - 2\times (4 - 4t) - 4 = 0 \iff 2 + 2t + 8t - 8  + 8t - 4 = 0\\
\iff 18t - 10 = 0\iff 9t - 5 = 0 \iff t = \dfrac{5}{9}$.

En utilisant la représentation paramétrique de (IC), on obtient :

$x = 2 + 2\times \dfrac{5}{9} = \dfrac{18 + 10}{9} = \dfrac{28}{9}$ ; $y = 4 \times \dfrac59 = \dfrac{20}{9}$ et $z = 4 - 4\times \dfrac59 = \dfrac{36 - 20}{9} = \dfrac{16}{9}$.

Donc C est la perpendiculaire (IC) au plan $\mathcal{P}$ qui coupe ce plan en J : J est donc le projeté orthogonal de C sur le plan, $\mathcal{P}$.

		\item %Vérifier que le point K(0~;~2~;~0) appartient au plan $\mathcal{P}$.
K$(0~;~2~;~0) \in \mathcal{P} \iff 0 + 2 \times 2 - 2\times 0 - 4 = 0$ : cette égalité est vraie

		\item %Justifier que (BK) est l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et (ABC).
On vient de voir que K est un point de $\mathcal{P}$ et K est un point du plan de la base (ABCD) du cube.

D'autre part B$(4~;~0~;~0) \in \mathcal{P} \iff 4 + 2 \times 0 - 2 \times 0 - 4 = 0$, qui est vraie donc B est un point de $\mathcal{P}$ et bien sur de (ABC).

Conclusion : les deux points B et K sont communs aux deux plans, donc l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et (ABC) est la droite (BK).
	\end{enumerate}
	
\item %On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{B \times h}{3}$, où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le volume de la pyramide CBKG.
		On prend comme base le triangle CBG de la face de droite BCGF  : son aire est la moitié de celle du carré de côté 4, soit $\dfrac{4^2}{2} = 8$.
		
La hauteur de la pyramide est alors [DC) avec DC $= 4$.

On a donc : $V_{\text{CBKG}} = \dfrac{8 \times 4}{3} = \dfrac{32}{3}$.
		\item %En déduire que l'aire du triangle BKG est égale à $12$.
En prenant pour la même pyramide la base BKG, la hauteur est [CJ].
		
Comme $\vect{\text{CJ}}\begin{pmatrix}4 - \frac{28}{9}\\4 - \frac{20}{9}\\ \frac{16}{9}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac89\\\frac{16}{9}\\\frac{16}{9} \end{pmatrix}$, d'où :
		
CJ$^2 = \|\vect{\text{CJ}}\|^2 = \left(\dfrac89\right)^2 + \left(\dfrac{16}{9}\right)^2  + \left(\dfrac{16}{9}\right)^2 = \dfrac{64 + 256 + 256}{81} = \dfrac{576}{81} = \dfrac{9 \times 64}{9 \times 9} = \dfrac{64}{9} = \left(\dfrac83\right)^2$. Donc CJ $= \dfrac83$.

Le volume de la pyramide est égal à:

$\dfrac{32}{3} = \dfrac{\text{aire(BKG)} \times \dfrac83}{3} \iff \text{aire(BKG)} = 32 \times \dfrac38 = 4 \times 3 = 12$.

		\item %Justifier que la droite (BG) est incluse dans $\mathcal{P}$.
		On a déjà vu que B est un point de $\mathcal{P}$ et G aussi par définition, donc la droite (BG) est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.

		\item On note I$'$ un point de l'arête [EF], et $\mathcal{P}'$ le plan orthogonal à la droite (I$'$C) passant par G.
		
%Peut-on affirmer que la droite (BG) est incluse dans $\mathcal{P}'$ ?

Le point I$'$ a pour coordonnées $(x\;;\;y\;;\;z)$ telles que 
$\vectt{EI}' = k\vectt{EF}$ avec $k\in [0\;;\;1]$.

Donc
$\left \{
\begin{array}{l !{=} l}
x-0 & (4-0)k\\
y-0 & (0-0)k\\
z-4 & (4-4)k
\end{array}
\right .$ et donc
I$' \;\begin{pmatrix}
4k \\ 0 \\ 4
\end{pmatrix}$; on a donc
$\vectt{I'C}\;\begin{pmatrix}
4-4k \\ 4 \\ -4
\end{pmatrix}$.

$\vectt{BG}\;\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}$
donc
$\vectt{I'C}\cdot \vectt{BG}=(4-4k)\times 0 + 4\times 4 +(-4)\times 4=0$ donc
$\vectt{I'C}\perp \vectt{BG}$.

G appartient au plan $\mathcal{P}'$ qui est le plan orthogonal à (I$'$C); comme $\vectt{I'C}\perp \vectt{BG}$, on peut dire que B appartient aussi à $\mathcal{P}'$. Donc la droite (BG) est incluse dans $\mathcal{P}'$.


	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A } \end{center}

%Suite à une étude statistique réalisée dans la station-service Carbuplus, on évalue à $0,25$ la probabilité qu'un client venant alimenter son véhicule en carburant passe moins de $12$ minutes dans la station avant de la quitter.
%
%On choisit au hasard et de façon indépendante $10$ clients de la station et on assimile ce choix à un tirage avec remise. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $10$ clients associe le nombre de ces clients ayant passé moins de $12$ minutes à la station.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.
La variable aléatoire $X$ suit d'après les conditions de l'énoncé une loi binomiale de paramètres $n = 10$ de probabilité $p = 0,25$.

\item %Quelle est la probabilité qu'au moins 4 clients dans un échantillon de $10$ passent moins de $12$ minutes à la station ? On arrondira si besoin le résultat à $10^{-3}$ près.
On a $P(X \leqslant 3) \approx \np{0.7758}$, d'où $P(X > 3) \approx \np{0,2242}$ soit environ 0,224 au millième près.

\item %Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
$E(X) = n \times p = 10 \times 0,25 = 2,5$.\\
Sur un grand nombre de tirages  25 clients sur 100 passeront moins de 12 minutes à la station.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B } \end{center}

Un client arrive à la station et se dirige vers une pompe. Il constate que deux voitures sont
devant lui, la première accédant à la pompe au moment de son arrivée.

On désigne par $T_1,\: T_2,\: T_3$ les variables aléatoires qui modélisent les temps passés en minute par chacun des trois clients, dans leur ordre d'arrivée, pour alimenter son véhicule entre l'instant où la pompe est disponible pour lui et celui où il la libère.

On suppose que $T_1$, $T_2$ et $T_3$ sont des variables aléatoires indépendantes de même espérance égale à $6$ et de même variance égale à 1.

On note $S$ la variable aléatoire correspondant au temps d'attente total passé à la station du troisième client entre son arrivée à la station et son départ de la pompe après avoir alimenté son véhicule.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Exprimer $S$ en fonction de $T_1,\: T_2$ et $T_3$.
La variable aléatoire $T_1$ correspond au temps d'attente passé par le premier client à la station; comme ce premier client n'a personne devant lui, la variable aléatoire correspondant au temps d'attente total passé à la station par le premier client est $T_1$.

La variable aléatoire $T_2$ correspond au temps d'attente passé par le deuxième client à la station; comme ce deuxième client avait le premier client devant lui, la variable aléatoire correspondant au temps d'attente total passé à la station par le deuxième client est $T_1+T_2$.

La variable aléatoire $T_3$ correspond au temps d'attente passé par le troisième client à la station; comme ce troisième client avait deux autres clients devant lui, la variable aléatoire correspondant au temps d'attente total passé à la station par le troisième client est $T_1+T_2+T_3$.

Donc $S=T_1+T_2+T_3$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'espérance de $S$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
L'espérance est linéaire donc:\\
$E(S)=E\left (T_1+T_2+T_3\right ) = E\left (T_1\right )+ E\left (T_2\right )+ E\left (T_3\right ) =6+6+6=18$.

Cela signifie que le temps moyen d'attente à la station d'un client qui a deux personnes devant lui est de 18 minutes.
		
		\item %Quelle est la variance du temps d'attente total $S$ de ce troisième client ?
Les 3 variables aléatoires $T_1$, $T_2$ et $T_2$ sont indépendantes, donc on peut utiliser l'additivité de la variance:\\
$V(S)=V\left (T_1+T_2+T_3\right ) = V\left (T_1\right )+ V\left (T_2\right )+ V\left (T_3\right ) =1+1+1=3$.
	\end{enumerate}
	
\item% Montrer que la probabilité que le troisième client passe un temps strictement compris entre $14$ et $22$ minutes à la station est supérieure ou égale à $0,81$.
La variable aléatoire $S$ a pour espérance $E(S)=18$ et pour variance $V(S)=3$ donc, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a:

pour tout $\delta\in\, \left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$, $P\left ( \left |S-E(S)\strut \right | \geqslant \delta \right ) \leqslant \dfrac{V(S)}{\delta^2}$,
c'est-à-dire: $P\left ( \left |S-18\strut \right | \geqslant \delta \right ) \leqslant \dfrac{3}{\delta^2}$.

En prenant l'événement contraire, on a donc:
$P\left ( \left |S-18\strut \right | < \delta \right ) > 1- \dfrac{3}{\delta^2}$.

La probabilité que le troisième client passe un temps strictement compris entre $14$ et $22$ minutes à la station est:
$P(14<S<22)$, soit: $P(18-4<S<18+4)$, ou encore: $P(-4<S-18<4)$, c'est-à-dire:
$P\left ( \left | S-18 \strut \right | <4\right )$.

En prenant $\delta=4$, on a donc;
$P\left ( \left |S-18\strut \right | < 4 \right ) >1- \dfrac{3}{16}$
donc $P\left ( \left |S-18\strut \right | < 4 \right ) > 0,8125$.

On en déduit que la probabilité que le troisième client passe un temps strictement compris entre $14$ et $22$ minutes à la station est supérieure ou égale à $0,81$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A : étude d'une fonction} \end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x) = x - \ln \left(x^2 + 1\right),$

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout nombre réel $x$, on a :
En posant $u(x) = x^2 + 1$ et avec $u'(x) = 2x$, on obtient :

$\left [\ln (u)\strut \right ]' = \dfrac{u'}{u}$ donc $\left [\ln (x^2+1)\strut \right ]' = \dfrac{2x}{x^2+ 1}$, et donc :

pour tout nombre réel $x, \: f'(x) = 1 - \dfrac{2x}{x^2+ 1} = \dfrac{x^2 + 1 - 2x}{x^2 + 1} =  \dfrac{(x - 1)^2}{ x^2 + 1}$.

		\item %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
Pour tout réel $x$, on a $x^2 \geqslant 0$ donc $x^2 + 1\geqslant 1$ donc $x^2 + 1 > 0$.

Comme $(x - 1)^2 \geqslant 0$ quel que soit $x \in \R$, on a par quotient $f'(x) \geqslant 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item %Montrer que pour tout nombre réel $x > 0$, on a :
%\[f(x) = x - 2\ln (x) - \ln \left(1 - \dfrac{1}{x^2}\right).\]
Pour tout nombre réel  $x > 0$n on a:

$f(x) =  x - \ln \left[x^2\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)\right] = x - \ln (x^2) - \ln \left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right) = x - 2 \ln(x) - \ln \left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)$. 

\item %Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\begin{list}{\textbullet}{On a:}
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x^2} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + \dfrac{1}{x^2} = 1$, puis par composition\\
 $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right) = \ln 1 = 0$.

\item $x - 2\ln (x) = x \left( 1 - 2 \dfrac{\ln (x)}{x}\right)$.

On sait (puissances comparées) que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$, donc\\
 $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x - 2\ln (x) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} x  = + \infty$.
\end{list}

Conclusion : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B : étude d'une suite}
\end{center}

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : 
\[\left\{\begin{array}{r !{=} l}
u_0& 7\\
u_{n+1} = f\left(u_n\right) &  u_n - \ln\left(u_n^2 + 1\right)\:\text{pour tout }\:n \in \N
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item %Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ :
Soit la propriété \og $u_n\geqslant 0$ \fg{}.

\emph{Initialisation } On a $u_0 = 7 \geqslant 0$ : la propriété est vraie au rang 0 ;

\emph{Hérédité} Soit $n \in \N$, tel que $u_n \geqslant 0$ : la fonction $f$ étant croissante on a donc 
$u_n \geqslant 0 \Rightarrow f(u_n) \geqslant f(0)$; or  $f(u_n)=u_{n+1}$ et $f(0)=0$, donc $u_{n+1} \geqslant 0$.

\emph{Conclusion} : la propriété est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n \in \N$ elle l'est aussi au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence $u_n \geqslant 0$, quel que soit $n \in \N$.

\item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
De la relation de récurrence : $u_{n+1}  = u_n - \ln\left(u_n^2 + 1\right)$ on déduit :

$u_{n+1} - u_n = - \ln  \left(u_n^2 + 1 \right)$.

$u_n^2 \geqslant 0 \Rightarrow u_n^2 +1  \geqslant 1 \Rightarrow \ln \left(u_n^2 + 1\right) \geqslant \ln (1)0$ par croissance de la fonction logarithme népérien sur $\R^*$.

$\ln(1)=0$ donc $\ln\left(u_n^2 + 1\right) \geqslant  0$ et donc $- \ln\left(u_n^2 + 1\right) \leqslant  0$.

On a donc pour tout $n \in \N,\: u_{n+1} - u_n \leqslant 0 \iff u_{n+1} \leqslant u_n$ : la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. 

\item %En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par zéro; d'après le théorème de la convergence monotone, elle converge  vers une limite $\ell \geqslant 0$.

\item %On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $\ell$.
La fonction $f$ est continue car dérivable sur $\R^*$, donc la relation de récurrence donne par limite en plus l'infini :

$\ell = \ell - \ln \left(\ell^2 + 1\right) \iff \ln \left(\ell^2 + 1\right) = 0  \iff \ell^2 + 1 = 1\iff \ell^2 = 0 \iff \ell = 0$

\item
	\begin{enumerate}
		\item On complète le script ci-dessous écrit en langage Python: afin qu'il
%renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle $u_n \leqslant h$, où $h$ est un nombre réel strictement positif.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
from math import log as ln\\
\#permet d'utiliser la fonction ln \\
\#Le Logarithme népérien\\
~\\
def seuil(h):\\
\quad n = 0\\
\quad u = 7\\
\quad while {\red u > h} :\\
\qquad n = n + 1\\
\qquad u = {\red u -- ln(u**2+1)}\\
\quad return n\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item %Déterminer la valeur renvoyée lorsqu'on saisit seuil(0.01) dans la console Python. Justifier la réponse.
		La calculatrice donne $u_{96} \approx \np{0,01003}$ et $u_{97} \approx \np{0,0099}$
		
Le programme Python renverra la valeur 97 ; à partir du 98\up{e} les termes seront inférieurs à un centième.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C : calcul intégral}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Étudier le signe de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
$f$ est croissante sur $[0~;~+ \infty[$, donc, pour tout $x\geqslant 0$, $f(x)\geqslant f(0)$.\\ Or $f(0)=0$ donc  $f(x) \geqslant 0$ sur $[0~;~+\infty[$.

\item Soit l'intégrale:
$I = \displaystyle\int_2^4 f(x)\:\text{d}x.$

$f$ étant positive sur $\R^+$ l'est sur l'intervalle [2~;~4], donc $I$ est égale (en unités d'aire) à l'aire de la surface limitée par la représentation graphique de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations  $x = 2$ et $x = 4$.

\item On admet dans cette question que, pour tout nombre réel $x \in [2~;~4]$, on a
l'encadrement:
$0,5x - 1 \leqslant f(x) \leqslant 0,25x + 0,25.$

%En déduire l'encadrement :
%La fonction affine $x \longmapsto 0,5x - 1$ est positive sur [2~;~4], la fonction $x \longmapsto 0,25x + 0,25$ aussi donc en intégrant les trois fonctions de l'encadrement on obtient le même encadrement pour leurs intégrales sur l'intervalle [2~;~4], soit :

Sur l'intervalle $[2\;;\;4]$, l'intégration conserve l'ordre donc:

$\begin{aligned}
0,5x - 1 \leqslant f(x) \leqslant 0,25x + 0,25
& \Longrightarrow \ds\int_2^4 (0,5x - 1) \d x \leqslant \ds\int_2^4 f(x) \d x \leqslant \ds\int_2^4(0,25x + 0,25) \d x\\
& \Longrightarrow\left[\dfrac{x^2}{4}  - x\right]^4_2 \leqslant I \leqslant \left[\dfrac{x^2}{8} + 0,25x  \right]^4_2\\
& \Longrightarrow 4 - 4 - (1 - 2) \leqslant I \leqslant 2 + 1 - \left(\dfrac12 + \dfrac12\right)\\
& \Longrightarrow 1 \leqslant I \leqslant 2
\end{aligned}$

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

%Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque
%réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
%
%\medskip

	\begin{enumerate}
		\item On considère ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur $\R\setminus \{- 2\}$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| c c c r c l c c c |}
\hline
 x & -\infty & \esp &  & -2 & & \esp & 1 & \esp & +\infty \\
% \hline
%f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & & \vline\;\vline & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  &   \Rnode{max1}{5} & &   & \vline\;\vline &  & & \Rnode{max2}{3} & & \\
f  & &  &  & \vline\;\vline & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\
 & & & \Rnode{min1}{-\infty}  & \vline\;\vline & \Rnode{min2}{-\infty} & &  & & \Rnode{min3}{1} \rule{0pt}{\hauteur} 
\ncline{->}{max1}{min1} 
\ncline{->}{min2}{max2}
\ncline{->}{max2}{min3} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Affirmation 1 :}
\og La droite d'équation $y = -2$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$. \fg{} 

La droite d'équation $y = -2$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ si et seulement si $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)=-2$ ou $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=-2$.

%La fonction n'est pas définie pour $x = - 2$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x \to -2\\x > -2}} f(x) = \displaystyle\lim_{\substack{x \to -2\\x < -2}} f(x) = - \infty$ : donc c'est la droite verticale d'équation $x = - 2$ qui est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$.

Or, d'après le tableau de variations de $f$, $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)=5$ et $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=1$.

\hfill\textbf{Affirmation 1 fausse}

		\item \textbf{Affirmation 2:}
\og  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{2}{f(x) - 5} = + \infty$. \fg{}

D'après le tableau de variations de $f$, celle-ci est décroissante sur l'intervalle $]- \infty~;~-2[$, donc sur cet intervalle $f(x) < 5$ et donc $f(x)-5<0$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 5$, on a donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) - 5 = 0^{-}$ et donc\\
 $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{1}{f(x) - 5} = - \infty$ et enfin  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{2}{f(x) - 5} = - \infty$.
 
 \hfill\textbf{Affirmation 2 fausse}
	\end{enumerate}
	
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x\e^{-x}$.
	\begin{enumerate}
	
		\item \textbf{Affirmation 3 :} 
\og  Le point A$\left(2~;~\dfrac{2}{\e^2}\right)$ est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction~$g$. \fg{} 

La fonction $g$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et sur cet intervalle :

$g'(x) = \e^{-x} - x\e^{-x} = \e^{-x}(1 - x)$, qui est elle-même dérivable sur $\R$ et 

$g''(x) = -\e^{-x} - (1 - x)\e^{-x} = \e^{-x}(x - 2)$.

On a $g''(x) = 0 \iff \e^{-x}(x - 2) \iff x - 2 = 0$, puisque $\e^{-x} \ne 0$, quel que soit $x \in \R$, donc la dérivée seconde ne s'annule qu'en $x = 2$.

Comme $g(2) = 2\e^{-2} = \dfrac{2}{\e^2}$ et comme $g''(x)$ a le signe de $(x - 2)$ et donc change de signe (de moins à plus) en 2, le point A$\left(2~;~\dfrac{2}{\e^2}\right)$ est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_g$.

 \hfill\textbf{Affirmation 3 vraie}
 
		\item \textbf{Affirmation 4 :} 
\og  Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $] - \infty~;~2[$, on a $g(x) \leqslant x$. \fg{} 

$g(x) \leqslant x \iff x\e^{-x} \leqslant x \iff x \leqslant x\e^{x} \iff 0 \leqslant x\e^{x}-x \iff x\left (\e^{x}-1\right )\geqslant 0$

On établit un tableau de signes:

\begin{center}
{%\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & -\infty & \esp & 0 & \esp  & 2 \\
\hline
x &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
\e^{x}-1 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
x\left (\e^{x}-1\right ) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

Donc, pour tout $x$ de $] - \infty~;~2[$, on a $x\left (\e^{x}-1\right ) \geqslant 0$ donc $g(x) \leqslant x$.

%Démontrer que $x\e^{-x} \leqslant x$ revient à démontrer que $x \leqslant x \e^x$ sur $] - \infty~;~2[$. or 

%\begin{itemize}
%\item  Si $x \geqslant  0$, alors $\e^x\geqslant \e^0 \iff \e^x \geqslant 1$ et en multipliant par $x \geqslant 0, \: x\e^x \geqslant x$ ;
%\item Si $x \leqslant 0$, alors $\e^x \leqslant \e^0$, soit $\e^x \leqslant 1$ et en multipliant par $x \leqslant 0$, on obtient $x\e^x\geqslant x$.
%\end{itemize}
% Dans tous les cas l'affirmation est vraie.
 
  \hfill\textbf{Affirmation 4 vraie}
\end{enumerate}
	
\item \textbf{Affirmation 5 :} 
\og  L'équation $x\, \ln (x) = 1$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. \fg{}

Soit $f$ la fonction définie sur $\left ]0\;;\;+\infty\strut\right [$ par $f(x)=x\,\ln(x)-1$.

$x\, \ln (x) = 1 \iff x\, \ln (x) - 1 = 0 \iff f(x)=0$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item La fonction $f$ est dérivable et $f'(x)=1\times \ln(x) + x\times \dfrac{1}{x}-0=\ln(x)+1$.
\item $f'(x)>0 \iff \ln(x) +1>0 \iff \ln(x)>-1 \iff x>\e^{-1}$
\item $\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} x\,\ln(x)=0$ donc $\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} f(x)=-1$
\item $\ds\lim_{x\to +\infty} x =+\infty$ et $\ds\lim_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
\item  $f(\e^{-1})=\e^{-1}\,\ln(\e^{-1})-1 = -\e^{-1}-1<0$
\end{list}

D'où le tableau de variation de $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l  *4{c}|}
\hline
 x & 0 & \esp & \e^{-1} & \esp & +\infty \\
 \hline
f'(x) & \vline\;\vline &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \vline\;\vline~\Rnode{max1}{-1}  &  &  &  & \Rnode{max2}{+\infty} \\
f(x) &\vline\;\vline &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & \vline\;\vline & &   \Rnode{min}{-\e^{-1}-1} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}	

Sur l'intervalle $\left ]0\;;\;\e^{-1}\strut\right [$, la fonction $f$ est négative, donc l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution.

Sur l'intervalle $\left ]\e^{-1}\;;\; +\infty\strut\right [$, la fonction $f$, continue et strictement croissante, passe du négatif au positif: d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique.

\hfill\textbf{Affirmation 5 fausse}
\end{enumerate}

\end{document}