\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx, mathtools} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{array} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \newcommand{\syst}[2]{\left\{\begin{array}{#1}#2\end{array}\right.} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix*}[c]#1\end{pmatrix*}} \newcommand{\ofg}[1]{\og #1\fg}%OK %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : Bernard Froget \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Métropole--La Réunion 20 juin 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S } \rfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \lfoot{\small{20 juin 2016}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole--La Réunion 20 juin 2016~\decofourright }}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Utilisons un arbre pondéré : \parbox{9cm}{ Les hypothèses s'écrivent : \text{P}$(A)=0,4\quad $ P$_A\left(\overline{S}\right) = 0,2\quad $ P$_B\left(\overline{S}\right) = 0,05$. On en déduit : P$(B) = 1-$P$(A)=0,6$ P$_A(S) = 1 - $P$_A(\overline{S})=1-0,2=0,8$ P$_B(S) = 1-$P$_B(\overline{S}) = 1-0,05=0,95$ \par\medskip On a ensuite : P$(S)=$P$(A\cap S) + $P$(B\cap S)= 0,4\times 0,8+0,6\times 0,95= {\red 0,89}$} \parbox{10cm}{% $\pstree[treemode=R,nodesep=2pt,treesep=9pt]{\Tdot} {% \pstree[treemode=R,nodesep=2pt,treesep=50pt]{\TR{A}^{0,4}} {\TR{S}~{\;:\;A\cap S}^{0.8}\TR{\overline{S}}~{\;:\;A\cap \overline{S}}_{0,2}} \pstree[treemode=R,nodesep=2pt,treesep=50pt]{\TR{B}_{0,6}} {\TR{S}~{\;:\;B\cap S}^{{0,95}}\TR{\overline{S}}~{\;:\;B\cap \overline{S}}_{{0,05}}} }$ } \item Calculons P$_S(A)$ : \[\text{P}_S(A)=\frac{\text{P}(A\cap S)}{\text{P}(S)}=\frac{0,4\times 0,8}{0,89}=\frac{32}{89}\] \[\red\text{Une valeur approchée, à }10^{-2}\text{ près, de la probabilité cherchée est }0,36.\] \end{enumerate} \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item Notons $f$ la fréquence observée de composants sans défaut . On a $\syst{l}{f=0,92{\red \;\geqslant 30}\\ n\times f=400\times 0,92=368{\red \;\geqslant 5}\\ n(1-f)=400\times 0,08=32{\red \;\geqslant 5}}$ Les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance sont réunies. Un intervalle de confiance de la proportion $p$, au niveau de confiance $0,95$ est \[\left[0,92-\frac{1}{\sqrt{400}}~;~0,92+\frac{1}{\sqrt{400}}\right]={\red [0,87~;0,97]}\] \item Pour un échantillon de taille $n$, l'intervalle de confiance est \[\left[0,92-\frac{1}{\sqrt{n}}~;~0,92+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]\] dont l'amplitude est \[\frac{2}{\sqrt{n}}\] L'amplitude est au maximum égale à $0,02$ si et seulement si $\frac{2}{\sqrt{n}}\leqslant 0,02\;(1)$ $\begin{array}[t]{lcl} (1)&\iff& 2\leqslant 0,02\sqrt{n}\\ &&\\ &\iff& \sqrt{n}\geqslant 100\\ &&\\ &\iff& n\geqslant \np{10000}\text{ car la fonction racine carrée est croissante sur }\R^+\\ \end{array}$ \[\red \text{La taille minimum de l'échantillon est }\np{10000}\] \end{enumerate} %\newpage \textbf{Partie C} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item {\red P$(T\leqslant a)$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par $ \mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=a$.} \item Soit $t\in[0~;~+\infty[$ : $\begin{array}[t]{lcl} \text{P}(T\leqslant t)&=&\int\limits_{0}^{t}f(x)\text{d}x\\ &&\\ &=&\int\limits_{0}^{t}\lambda \text{e}^{-\lambda x}\text{d}x\\ &&\\ &=&\left[ -\text{e}^{-\lambda x}\right]_{0}^{t}\\ &&\\ &=&\left( -\text{e}^{-\lambda t}\right)-\left( -\text{e}^{-\lambda \times 0}\right)\\ &&\\ &=&\left( -\text{e}^{-\lambda t}\right)-(-1)\\ &&\\ &=&1-\text{e}^{-\lambda t} \end{array}$ \[\red \forall t\in[0,+\infty[\quad \text{P}(T\leqslant t)=1-\text{e}^{-\lambda t}\] \item De $\syst{l}{\lim\limits_{t\to +\infty}-\lambda t\overset{\red \lambda >0}{=}-\infty\\ \text{et}\\ \lim\limits_{X\to -\infty}\text{e}^X=0}$on déduit, par composition : $\lim\limits_{t\to +\infty}\text{e}^{-\lambda t}=0$. On a ensuite, par somme : $\lim\limits_{t\to +\infty}(1-\text{e}^{-\lambda t})=1-0=1$ : \[\red \lim\limits_{t\to +\infty}\text{P}(T\leqslant t)=1\] \end{enumerate} \item L'hypothèse s'écrit : $1-\text{e}^{-7\lambda}=0,5\quad (1)$ $\begin{array}[t]{lcl} (1)&\iff&\text{e}^{-7\lambda}=0,5\\ &&\\ &\iff&-7\lambda=\ln \dfrac{1}{2} \\ &&\\ &\iff&-7\lambda=-\ln 2 \\ &&\\ &\iff&\lambda=\dfrac{\ln 2}{7} \end{array}$ \[\red \text{Une valeur approchée de }\lambda\text{, à }10^{-3}\text{ près, est } 0,099\] \item \begin{enumerate} \item La question est de déterminer P$(T\geqslant 5)$. Puisque P$(T\leqslant 5)=1-\text{e}^{-0,099\times 5}$, alors \[\text{P} (T\geqslant 5)=\text{P}(T>5)=1-\text{P}(T\leqslant 5)=1-(1-\text{e}^{-0,099\times 5})=\text{e}^{-5\times 0,099}=\text{e}^{-0,495}\] \[\red\text{La probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans est environ } 0,61\] \item Il s'agit de calculer \[\text{P}_{(T\geqslant 2)}(T\geqslant 7)\] La loi exponentielle étant une loi de durée de vie sans vieillissement, on a \[\text{P}_{(T\geqslant 2)}(T\geqslant 7)=\text{P}(T\geqslant 5)\] \[\red\text{La probabilité cherchée est environ } 0,61\] \item E$(T)=\dfrac{1}{\lambda}$ : \begin{tabular}{p{14cm}} \red Une valeur approchée de l'espérance de $T$ est environ 10,10 : la durée de vie moyenne d'un composant est d'environ 10 ans \end{tabular} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 4 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip {\bf Affirmation 1} \par\medskip Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ont pour coordonnées respectives $\mat{2\\-2\\-2}$ et $\vect{AC}\mat{-2\\-2\\-2}$. %$\begin{smallmatrix}2&3\\-1&5\end{smallmatrix}$ Puisque $\dfrac{-2}{2}\ne\dfrac{-2}{-2}$, les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ n'ont pas leurs coordonnées proportionnelles. Les points A,B et C ne sont donc pas alignés : \[\red \text{L'affirmation 1 est fausse}.\] \par\medskip {\bf Affirmation 2} \par\medskip Calculons $\vect{n} \cdot \vect{AB}$ et $\vec{n} \cdot \vect{AC}$ : $\vect{n}.\vect{AB}=0\times 2+1\times(-2)+(-1)\times (-2)=0$ $\vect{n}.\vect{AC}=0\times (-2)+1\times(-2)+(-1)\times (-2)=0$ Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : on en déduit que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan (ABC) : \[\red \text{L'affirmation 2 est vraie}.\] \par\medskip {\bf Affirmation 3} \par\medskip {\blue\emph {Première méthode : }} $\bullet\;$Montrons tout d'abord que la droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants : La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants si et seulement si les vecteurs $\vec{n}\mat{0\\1\\-1}$ et $\vect{EF}\mat{-1\\-1\\1}$ ne sont pas orthogonaux. Calculons $\vec{n} \cdot \vect{EF}$ : \[\vec{n}.\vect{EF}=0\times (-1)+1\times (-1)+(-1)\times 1=-2\] Puisque $\vec{n}.\vect{EF}\ne 0$, alors \[\text{La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants}\] %$\vect{EF}$ a pour coordonnées $\mat{-1\\-1\\1}$ $\bullet\;$Puisque le milieu $I$ du segment [BC] appartient manifestement au plan (ABC), il suffit de vérifier si $I$ appartient à la droite (EF) : Le milieu $I$ du segment $[BC]$ a pour coordonnées \[\left(\frac{x_B+x_C}{2}~;~\frac{y_B+y_C}{2}~;~\frac{z_B+z_C}{2}\right)=(1,0,1)\] Les vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{EI}$ ont pour coordonnées respectives $\mat{-1\\-1\\1}$ et $\mat{2\\2\\-2}$ Puisque $\vect{EI}=-2\vect{EF}$, les points $E$, $I$ et $F$ sont alignés : \[I\in (EF)\] On a prouvé que la droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants en le milieu du segment [BC] : \[\red \text{L'affirmation 3 est vraie}.\] \par\medskip {\blue \emph {Seconde méthode : }} \par\medskip $\bullet\;$Déterminons une représentation paramétrique de la droite (EF) : La droite (EF) passe par $E(-1~;~-2~;~3)$ et est dirigée par $\vect{EF}\mat{-1\\-1\\1}$. Une représentation paramétrique de la droite (EF) est alors \[\syst{l}{x=-1-t\\y=-2-t\quad (t\in\R)\\z=\phantom{-}3+t}\] \par\medskip $\bullet\;$Déterminons une équation cartésienne du plan (ABC), noté $\mathcal{P}$ : Puisque $\vec{n}\mat{0\\1\\-1}$ est normal au plan $\mathcal{P}$, ce dernier a une équation de la forme \[y-z+d=0\text{ où }d\in\R\] Puisque $A(1,2,3)$ est un point de $\mathcal{P}$, alors $y_A-z_A+d=0$, soit $d=-y_A+z_A=1$ \[\text{Une équation du plan }\mathcal{P}\text{ est }y-z+1=0\] \par\medskip $\bullet\;$Déterminons $(EF)\cap \mathcal{P}$ : Soit $M$ un point de la droite (EF). IL existe alors un nombre réel $t$ tel que \[\syst{l}{x_M=-1-t\\y_M=-2-t\\z_M=\phantom{-}3+t}\] M appartient à $\mathcal{P}$ si et seulement si $y_M-z_M+1=0$, i.e : \[-2-t-(3+t)+1 = 0\] soit \[t = -2\] La droite (EF) et le plan $\mathcal{P}$ sont donc sécants en un point I de coordonnées $(- 1 - (- 2),-2-(- 2),3 +(- 2)) = (1, 0, 1)$ Reste à vérifier que I est le milieu de [BC] : Le milieu du segment $[BC]$ a pour coordonnées \[\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2},\frac{z_B+z_C}{2}\right)=(1,0,1)\] On en déduit que I est le milieu de [BC] \[\red \text{L'affirmation 3 est vraie}.\] {\bf Affirmation 4} \par\medskip {\blue\emph {Première méthode :}} \par\medskip $\bullet\;$Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ ont pour coordonnées respectives $\mat{2\\-2\\-2}$ et $\mat{3\\1\\-2}$. N'ayant pas leurs coordonnées proportionnelles, les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ ne sont pas colinéaires : \[\text{Les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles}\] $\bullet\;$Les droites (AB) et (CD) sont donc soit sécantes, soit non coplanaires, selon que le point D appartient ou non au plan (ABC) : \begin{itemize} \item {\blue Une première manière de montrer que D n'appartient pas au plan (ABC) : } D appartient au plan (ABC) si et seulement si les vecteurs $\vect{AD}\mat{1\\-1\\-4}$ et $\vect{n}\mat{0\\1\\-1}$ sont orthogonaux. Puisque $\vect{AB} \cdot \vect{n}=-1+4=3 \ne 0$, alors D n'appartient pas au plan (ABC). \item {\blue Une seconde manière de montrer que D n'appartient pas au plan (ABC) : } Puisque les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires, D appartient au plan (ABC) si et seulement si le vecteur $\vect{AD}\mat{1\\-1\\-4}$ s'écrit en fonction des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$, autrement dit si et seulement si il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que \[\vect{AD}=\alpha\vect{AB}+\beta\vect{AC}.\] L'égalité ci-dessus est équivalente au système : \[\syst{l}{\phantom{-}1=2\alpha-2\beta\\-1=-2\alpha-2\beta\\-4=-2\alpha-2\beta\\}\] Les deux dernières équations étant incompatibles, D n'est pas un point du plan (ABC). Les droites (AB) et (CD) ne sont donc pas coplanaires : \end{itemize} \[\red \text{L'affirmation 4 est fausse}.\] \par\medskip {\blue\emph {Seconde méthode :}} \par\medskip $\bullet\;$Déterminons des représentations paramétriques des droites (AB) et (CD) : La droite (AB) passe par A(1~;~2~;~3) et est dirigée par $\vect{AB}\mat{2\\-2\\-2}$. Une représentation paramétrique de la droite (AB) est donc : \[\syst{l}{x=1+2t\\y=2-2t\quad (t\in\R)\\z=3-2t}\] La droite (CD) passe par C(-1~;~0~;~1) et est dirigée par $\vect{CD}\mat{3\\1\\-2}$. Une représentation paramétrique de la droite (D) est donc : \[\syst{l}{x=-1+3t\\y=t\quad (t\in\R)\\z=1-2t}\] \par\medskip $\bullet\;$Déterminons $(AB)\cap (CD)$ : Résolvons pour cela le système $\syst{lcl}{1+2t&=&-1+3t'\\2-2t&=&t'\\ 3-2t&=&t'}\quad (1)$ : $(1)\iff\syst{lcl}{2t-3t'&=&-2\\2t+t'&=&2\\ 2t+t'&=&3}$ Le système n'ayant pas de solution, on en déduit que les droites ne sont pas sécantes : \[\red \text{L'affirmation 4 est fausse}.\] \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Soit $x\in\R$ : $\begin{array}[t]{llcl} &f(x) &=&x\\ \iff&x-\ln(x^2+1) &=&x\\ \iff&\ln(x^2+1) &=&0\\ \iff&x^2+1 &=&\text{e}^0\\ \iff&x^2 &=&0\\ \iff&x &=&0\\ \end{array}$ \[\red \text{L'équation }f(x) = x\text{ admet 0 pour unique solution}\] \item $\bullet\;$Montrons que $f$ est strictement croissante sur $\R$ : La fonction $u : x\mapsto x^2+1$ est une fonction trinôme, donc dérivable là où elle est définie, i.e $\R$. Puisque $u>0$ sur $\R$, alors la fonction $\ln\circ u=\ln u$ est dérivable sur $\R$. Finalement, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme différence des fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto -\ln(x^2+1)$, toutes deux dérivables sur $\R$. Pour tout nombre réel $x$, on a : \[f'(x)=1-\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{x^2+1-2x}{x^2+1}=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}\] La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et sa fonction dérivée est strictement positive sur $\R$, \emph{sauf pour $x=1$} : on en déduit que {\red $f$ est strictement croissante sur $\R$}. \par\medskip $\bullet\;$Montrons $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ : De $\syst{l}{\lim\limits_{x\to -\infty}x^2+1=+\infty\\ \text{et}\\\lim\limits_{X\to +\infty}\ln X=+\infty }$ on déduit, par composition : $\lim\limits_{x\to -\infty}\ln(x^2+1)=+\infty$. Il vient ensuite, par produit : \[\lim\limits_{x\to -\infty}-\ln(x^2+1)=-\infty\] De $\syst{l}{\lim\limits_{x\to -\infty}x=-\infty\\ \text{et}\\\lim\limits_{x\to -\infty}-\ln(x^2+1)=-\infty}$ on déduit, par somme : \[\red\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty\] \item La fonction $f$ est (strictement) croissante sur $[0~;~1]$. Par suite : \[\forall x\in [0,1]\qquad f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(1)\] On a $\syst{l}{f(0)=0-\ln(0^2+1)=0\\ \text{et}\\ f(1)=1-\ln(1^2+1)=1-\ln 2}$. Puisque $1-\ln 2<1$, alors %$\ln 2>0$. On en déduit : $f(1)=1-\ln 2<1$. % %Puisque $\syst{l}{f(0)=0\\ \text{et}\\ f(1<1}$, on en déduit : \[\forall x\in [0,1]\qquad 0\leqslant f(x)<1\] On a prouvé : \[\red \forall x\in[0,1]\qquad f(x)\in[0,1]\] \item \begin{enumerate} \item {\red L'algorithme affiche la plus petite valeur de $N$ pour laquelle $N-\ln(N^2+1)$ est supérieur ou égal à $A$.} \item {\red Pour $A=100$, l'algorithme affiche $110$.} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, notons $\mathcal{P}_n$ la propriété : $u_n\in[0~;~1]$. $\bullet\;$ Puisque $u_0 = 1$, $\mathcal{P}_0$ est vraie. \par\medskip $\bullet\;$Supposons vraie la propriété $\mathcal{P}_n$ pour \emph{un} entier naturel $n$. On a alors : $u_n\in[0~;~1]$. D'après la troisième question de la partie A, on en déduit : \[f(u_n)\in[0~;~1]\] soit : \[u_{n+1}\in[0~;~1]\] On a prouvé : \[\forall n\in\N\quad \mathcal{P}_n\text{ est vraie}\Longrightarrow\mathcal{P}_{n+1}\text{ est vraie}\] \par\medskip $\bullet\;$On a prouvé par récurrence : \[\red \forall n\in\N\qquad u_n\in[0~;~1]\] \item Soit $n\in\N$ : $u_{n+1}- u_n = -\ln \left(u_n^2+1\right)$. Étudions le signe de $- \ln \left(u_n^2+1\right)$ : Puisque $0\leqslant u_n\leqslant 1$, on en déduit, la fonction carré étant croissante sur $[0,1]$ : \[0^2\leqslant u_n ^2\leqslant 1^2\] soit : \[u_n^2\in[0,1]\] Par suite : \[u_n^2+1\in[1,2]\] La fonction $\ln$ est croissante sur $[1,+\infty[$ : De $u_n^2+1\geqslant 1$, on déduit $\ln (u_n^2+1)\geqslant \ln 1$, soit $\ln \left(u_n^2+1\right)\geqslant 0$. Puisque $u_{n+1}-u_n = - \ln(u_n^2+1)\leqslant 0$, alors \[\red\text{La suite $u$ est décroissante }\] \item La suite $u$ est décroissante et minorée par $0$ : elle converge donc, en vertu du théorème de la limite monotone, vers un nombre réel $\ell$. \item Puisque l'équation $f(x)=x$ admet $0$ pour unique solution, on en déduit : \[\red \ell=0\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $(x~;~y)$ un couple d'entiers relatifs. On a \[15x-12y=3(5x-4y)\] $5x$ et $4y$ sont deux entiers. La différence de deux entiers étant un entier, $5x-4y$ est un entier, et $3(5x-4y)$ est ainsi un multiple de $3$ : \[\red \text{Si }x \text{ et }y \text{ sont deux entiers relatifs, alors l'entier }15x -12y \text{ est divisible par 3}\] \item Supposons qu'existe un point de la droite $\Delta_1$ dont les coordonnées $(x_0,y_0)$ sont entières. On a alors \[y_0=\frac{5}{4}x_0-\frac{2}{3}\] Soit : \[15x_0-8=12y_0\] Ou encore : \[15x_0-12y_0=8\] D'après la question précédente, $15x_0-12y_0$ est un multiple de 3. Or $15x_0-12y_0$ est égal à 8. Comme 8 n'est pas un multiple de 3 \[\red\text{Aucun point de la droite }\Delta_1 \text{ n'a ses coordonnées entières.}\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Puisque le point de coordonnées $(x_0,y_0)$ appartient à $\Delta$, on en déduit : \[y_0=\frac{m}{n}x_0-\frac{p}{q}\] Soit : \[\ nqy_0=mqx_0-pn\] Ou encore: \[q(mx_0-ny_0)=np\] Puisque $x_0$, $y_0$, $m$ et $n$ sont des entiers, alors $mx_0-ny_0$ est un entier : \[q(mx_0-ny_0)\text{ est donc un multiple de }q\] Puisque $np=q(mx_0-ny_0)$, alors \[\red q \text{ divise }np\] \item D'après la question précédente, $q$ divise $np$. Comme, par hypothèse, $q$ et $p$ sont premiers entre eux, on en déduit, d'après le théorème de Gauss, que $q$ divise $n$. \[\red q \text{ divise }n\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Puisque $n$ et $m$ sont premiers entre eux, alors, en vertu du théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs $u$ et $v'$ tels que \[nu +mv'=1\] Puisque $n=qr$, l'égalité précédente s'écrit : \[qru-m(-v')=1\] soit, en posant $v=-v'$ : \[qru-mv=1\] \[\red\text{Il existe deux entiers }u \text{ et }v \text{ tels que }qru-mv=1\] \item L'égalité \[y_0=\frac{m}{n}x_0-\frac{p}{q}\] est équivalente, d'après la question 2.a, à l'égalité \[q(mx_0-ny_0)=np\] soit : \[q(mx_0-ny_0)=qrp\] Puisque $q\ne 0$, cette dernière égalité est équivalente à l'égalité : \[mx_0-ny_0=rp\quad(1)\] D'après la question précédente, on sait qu'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que \[nu-mv=1\] Multiplions chacun des deux membres de cette égalité par $rp$. On obtient alors : \[nurp-mvrp=rp\] soit : \[m(-vrp)-n(-urp)=rp\quad(2)\] En comparant les égalités (1) et (2), on en déduit : \[\red\text{Le point de coordonnées }(-vrp,-urp)\text{ est un point de }\Delta\] \end{enumerate} \item Les questions 2 et 3 permettent d'énoncer le résultat suivant : \par\medskip {\setlength{\extrarowheight}{7pt} \begin{tabular}{|p{15cm}|} \hline Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=\dfrac{m}{n}x-\dfrac{p}{q}$ où $m$, $n$, $p$ et $q$ sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(n,m)=$pgcd$(p,q)=1$. Alors il existe un point de $\Delta$ dont les coordonnées sont des entiers \emph{si et seulement si }$q$ divise $n$. \\ \hline \end{tabular}} \par\medskip Dans le cas présent $\Delta$ est la droite d'équation $y=\dfrac{3}{8}x-\dfrac74$. Puisque $\syst{l}{\text{pgcd}(3,8)=\text{pgcd}(7,4)=1\\ \text{et}\\ \text{4 divise 8}}$, alors \[\red \text{Il existe un point de }\Delta\text{ dont les coordonnées sont des entiers}\] \item Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=\frac{M}{N}x-\frac{P}{Q}$. On applique le résultat énoncé au début de la question précédente : \begin{enumerate} \item %De deux choses l'une : Q divise N ou Q ne divise pas N \begin{itemize} \item Si Q ne divise pas N, alors l'algorithme affiche \ofg{pas de solution} : il se termine donc. \item Si Q divise N, on sait qu'il existe un point de $\Delta$ à coordonnées entières. Autrement dit, il existe un couple d'entiers $(x_0,y_0)$ tel que \[y_0=\frac{M}{N}x_0-\frac{P}{Q}\] Il est clair qu'un tel couple existe si et seulement si il existe un entier \emph{relatif} $x_0$ tel que $\frac{M}{N}x_0-\frac{P}{Q}$ est un entier. Lorsque $X$ parcourt $\N$ (i.e prend les valeurs $0,1,2,\dots$), il existe donc un entier naturel $X_0$ tel que $\frac{M}{N}X_0-\frac{P}{Q}$ ou $-\frac{M}{N}X_0-\frac{P}{Q}$ est un entier \emph{relatif} : l'algorithme se termine donc. \end{itemize} \[\red\text{L'algorithme se termine}\] \item \begin{tabular}{p{15cm}} \red L'algorithme affiche les coordonnées du point de la droite d'équation $y=\frac{M}{N}x-\frac{P}{Q}$ dont l'abscisse a la plus petite valeur absolue. \end{tabular} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item \[\red\tan\alpha=\dfrac{EA}{ET}=\dfrac{25}{x}\qquad \tan\beta=\dfrac{EB}{ET}=\dfrac{30,6}{x}\] \item Les fonctions $x\mapsto \sin x$ et $x\mapsto \cos x$ sont définies et dérivables sur $]0~;~\frac{\pi}{2}[$. Puisque la fonction cosinus ne s'annule pas sur $]0,\frac{\pi}{2}[$, on en déduit, par quotient, que la fonction $x\mapsto \tan x$ est dérivable sur $]0~;~\frac{\pi}{2}[$. Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0~;~\frac{\pi}{2}[$, on a : \[\tan'(x)=\dfrac{\cos x\times \cos x-\sin x\times (-\cos x) }{(\cos x)^2}=\dfrac{\sin^2 x+\cos^2x}{\cos^2x}=\dfrac{1}{\cos^2 x}\] Puisque $\tan'> 0$ sur $]0~;\frac{\pi}{2}[$, alors \[\red\text{La fonction tangente est strictement croissante sur }\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\] \item On a $\widehat{ATB}=\widehat{ETB}-\widehat{ETA}$, soit $\gamma=\beta-\alpha$. Par suite : $\begin{array}[t]{*{3}{lcl}} \tan\gamma&=&\tan(\beta-\alpha) &=&\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} &=&\dfrac{\dfrac{30,6}{x\mathstrut}-\dfrac{25}{x\mathstrut}}{1+\dfrac{30,6\mathstrut}{x}\times\dfrac{25\mathstrut}{x}}\\ &&&&&&\\ &=&\dfrac{\dfrac{5,6}{x\mathstrut}}{1+\dfrac{765\mathstrut}{x^2}} &=&\dfrac{\dfrac{5,6}{x\mathstrut}}{\dfrac{x^2+765\mathstrut}{x^2}} &=&\dfrac{5,6}{x}\times \dfrac{x^2}{x^2+765}\\ &&&&&&\\ &=&\dfrac{5,6x}{x^2+765}\\ \end{array}$ \[\red \tan\gamma=\dfrac{5,6x}{x^2+765}\] \item L'angle $\widehat{ATB}$ est maximal lorsque sa mesure $\gamma$ l'est. Puisque $\gamma$ appartient à l'intervalle $]0~;~\frac\pi 2[$ on en déduit, la fonction tangente étant strictement croissante sur $]0~;~\frac{\pi}{2}[$, que $\gamma$ est maximal si et seulement si $\tan \gamma$ est maximal. S'il existe, le maximum de $\tan\gamma$ est ainsi le maximum, sur $]0,50]$, de la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{5,6x}{x^2+765}$. \emph{Remarque :} \hspace{.5cm}\begin{tabular}{|p{14cm}} Pour démontrer que $g$ admet, sur $]0~;~50]$, un maximum atteint pour une unique valeur de $x$, il suffit d'étudier les variations de $g$, ce qui ne pose aucun problème... \end{tabular} On peut aussi procéder de la manière suivante : % %remarquer que la fonction $\frac{1}{g}$ est la fonction définie sur $]0,50]$ par $f(x)=\dfrac{1}{5,6}\left(x+\frac{765}{x}\right)=x+\dfrac{765}{x}$. Puisque la fonction $g$ ne s'annule pas sur l'intervalle $]0~;~50]$, on peut définir, sur $]0~;~50]$, la fonction $\dfrac1g$. La fonction $g$ est strictement positive sur $]0~;~50]$ et la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0~;~+\infty[$ : les fonctions $g$ et $\dfrac1g$ ont donc des sens de variation contraires. Puisque $f=5,6\times \dfrac1g$, les fonctions $f$ et $\dfrac1g$ ont les mêmes variations : les fonctions $f$ et $g$ ont donc des variations contraires. \begin{tabular}{p{14cm}} \red Le maximum de g\footnotemark sur $]0~;~50]$ est obtenu en une valeur de $x$ pour laquelle $f$ admet un minimum. \end{tabular} \footnotetext{Sous réserve d'existence} \par\medskip La fonction $f$ est dérivable sur $]0,50]$ et, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0~;~50]$ : \[f'(x)=1-\frac{765}{x^2}=\frac{x^2-765}{x^2}=\frac{x+\sqrt{765}}{x}(x-\sqrt{765})\] Puisque $x\in]0~;~50]$, alors $x+\sqrt{765}>0$ : \[\text{le signe de f'(x) est donc celui de }x-\sqrt{765}\] On en déduit que $f$ est strictement décroissante sur $]0,\sqrt{765}]$ et strictement croissante sur $[\sqrt{765}~;~50]$ : \centerline{$f$ admet donc, sur $]0~;~50]$, un minimum atteint pour $x=\sqrt{765}$.} \[\red\text{L'angle }\widehat{ATB}\text{ est maximal pour une unique valeur de }x\text{, égale à }\sqrt{765}\;\text{m}.\] \[\red\text{Une valeur approchée de x, au mètre prés, est }28\,\text{m} \] \[\red\text{Une valeur approchée de l'angle }\widehat{ATB}\text{, à 0,01 radian près est }0,1\text{, soit environ }5,78\degres.\] \end{enumerate} \end{document}