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%%%%Corrigé par Olivier Mauras GLFL  et  Francis Cortado CPF Beyrouth-Liban%%%
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{27 mai 2014}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Liban  27 mai 2014~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \; (5 points)}

\medskip
 
%Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8h00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport:le vélo ou le bus.
%\medskip

\textbf{Partie A}

%L'élève part tous les jours à 7h40 de son domicile et doit arriver à 8h00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.\\
%Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $\np{99,4}\%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans $5\%$ des cas.\\
%On choisit une date au hasard en période scolaire et on note V l'évènement 
%\og L'élève se rend au lycée à vélo\fg, B l'évènement \og l'élève se rend au lycée en bus \fg et R l'évènement \og L'élève arrive en retard au lycée\fg.
\begin{enumerate}
\item ~%Traduire la situation par un arbre de probabilités.

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,levelsep=30mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
\pstree
{\TR{$V$}\taput{\small $\np{0,7}$}}
{
\TR{$R$}\taput{\small $\np{0,006}$}
\TR{$\overline{R}$}\tbput{\small $\np{0,994}$}
}
\pstree
{\TR{$B$}\tbput{\small $\np{0,3}$}}
{
\TR{$R$}\taput{\small $\np{0,05}$}
\TR{$\overline{R}$}\tbput{\small $\np{0,95}$}
}
}
\end{center}
\vspace{1cm}

\item D'après l'arbre ci-dessus $\p\big(V \cap R\big)=\np{0,7}\times\np{0,006}=\np{0,0042}$.
\bigskip

\item D'après l'arbre ci-dessus, la probabilité de l'évènement R est \[\p(R)=\p\big(V \cap R\big)+\p\big(B \cap R\big)=\np{0,0042}+\np{0,3}\times\np{0,05}=\np{0,0192}\]
\medskip

\item On cherche à déterminer $\p_{\sub{R}}\big(B\big)$:
\[\p_{\sub{R}}\big(B\big)=\dfrac{\p\big(B\cap R\big)}{\p\big(R\big)}=\dfrac{\np{0,3}\times\np{0,05}}{\np{0,0192}} = \np{0,78125}\]
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Partie B : le vélo}

%On suppose dans cette partie que l'élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée.\\
%Lorsqu'il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T qui suit le loi normale d'espérance $\mu=17$ et d'écart-type $\sigma=\np{1,2}$
\begin{enumerate}
\item Cela revient à calculer $\p\big(15\leqslant T\leqslant 20\big)$. \`A la calculatrice, nous obtenons, 

$\p\big(15\leqslant T\leqslant 20\big)=\np{0,946}$ 
\bigskip

\item Il sera en retard au lycée si il met plus de  20 minutes pour effectuer le trajet. On cherche donc la probabilité de l'évènement \og $T \geqslant 20$\fg{}. \`A la calculatrice, nous obtenons 
\[\p\big( T\geqslant 20\big)=\np{0,0062}\]
\medskip

\item On cherche la durée maximale de son temps de parcours $T_0$ (en minutes) tel que 

$\p\big( T\leqslant T_0\big)=\np{0,9}$. \`A la calculatrice, nous obtenons 
\[\p\big( T\leqslant \np{18,5379}\big)=\np{0,9}\]
Ce qui signifie qu'il a une probabilité de $0,9$ de mettre moins de 18 minutes et 30 secondes (environ). Il peut donc partir au plus tard à 8 heures moins 18 minutes et 30 secondes, soit à 7~h~41 minutes et 30 secondes. À une minute près, il peut partir au maximum à 7~h~41, de sorte à avoir une probabilité d'arriver à l'heure de $\np{0,9}$.
\end{enumerate}


\textbf{Partie C: le bus}

%Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T'$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu'=15$ et d'écart-type $\sigma'$.\\
%On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $\np{0,05}$.\\
%On note $Z'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T'-15}{\sigma'}$

\begin{enumerate}
\item D'après le cours $Z'$ suit une loi normale centrée-réduite.

\bigskip

\item Puisque $\p\big(T' \geqslant 20\big)= \np{0,05}$, il vient
\[ \p\Big(\dfrac{T'- 15}{\sigma'} \geqslant \dfrac{20-15}{\sigma'}\Big)= \np{0,05}  \iff  \p\Big(Z' \geqslant \dfrac{5}{\sigma'}\Big)=\np{0,05}\]

\`A la calculatrice, en considérant une loi normale centrée-réduite $Z'$, on trouve que
\[ \p\Big(Z'\geqslant \np{1,6449}\Big)=\np{0,05}\]
D'où 
\[\dfrac{5}{\sigma'}=\np{1,6449} \]
et donc
\[\sigma'=\dfrac{5}{\np{1,6449}}=\np{3,04}\quad\text{ à }\quad \np{0,01}\quad \text{près} \]
\end{enumerate}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \; (5 points)}
\medskip

\textbf{Proposition 1:} \textbf{\textsc{Vraie}}

Il suffit de vérifier que les coordonnées des deux points A et B vérifient le système formé des trois équations paramétriques.

Pour $t=2$ on retrouve les coordonnées du point A, et pour $t=1$ celles du point B.

\bigskip

\textbf{Proposition 2:} \textbf{\textsc{Vraie}}

$\mathcal{D}$ est dirigée par $\vect{d}$ de coordonnées $(2,~1,~3)$ et $(AB)$ par $\vect{AB}$ de coordonnées $(-2,~1,~1)$.

Or  $\vect{AB}\cdot \vect{d}= -4+1+3=0$, les vecteurs $\vect{AB}$  et $\vect{d}$ sont donc orthogonaux, les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont donc orthogonales.

\bigskip

%On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.\\
%On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x-y+3z+1=0$\\
%et la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est 
%$\begin{cases}
%x=2t\\
%y=1+t\quad,\quad t\in\R \\
%z=-5+3t
%\end{cases}$




\textbf{Proposition 3:} \textbf{\textsc{Fausse}}

Pour savoir si ces deux droites sont coplanaires, il suffit de savoir si elles sont sécantes, car étant orthogonales elles ne pourront pas être parallèles.\\
Pour cela on résout le système
\[\begin{cases}
2t\hspace{0.7cm}=\;\phantom{-}5-2t'&\quad(1)\\
1+t\hspace{0.4cm}=\;-1+t'&\quad(2)\\
-5+3t=\;-2+t'&\quad(3)
\end{cases}\]

En soustrayant membre à membre (3) et (2), il vient 
$2t-6=-1$ soit $t=\dfrac52$.

 On remplace dans (2): $t'=-2+t=-2+\dfrac52=\dfrac12$.
 
 On vérifie dans (1): $2t=5$, alors que $5-2t'=5-1=4$. Ce qui signifie que ce système n'a pas de solution.
 
Puisque ces deux droites sont orthogonales et non sécantes, elles seront donc non coplanaires. 
\bigskip

\textbf{Proposition 4:} \textbf{\textsc{Fausse}}

On vérifie facilement que $E\in\mathcal{P}$, mais $E\notin\mathcal{D}$.\\
En effet, si on résout le système

\[\begin{cases}
\phantom{-}8	=\phantom{1 +}2t\\
-3	=1+\phantom{2}t\\
-4	=-5+3t
\end{cases}\]

On trouve que $t=4$ dans la première équation, valeur qui ne convient pas dans la seconde équation.

\bigskip

\textbf{Proposition 5:} \textbf{\textsc{Vraie}}

Le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1,~-1,~3)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ont pour coordonnées respectives $(2,~-1,~-1)$ et $(6,~0,~-2)$, d'où

\[\vect{n}\cdot\vect{AB}=2+1-3=0\quad\text{et}\quad 
\vect{n}\cdot\vect{AC}=6+0-6=0
 \]
$\vect{n}$ est donc normal au plan $(ABC)$.\\
 $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ ayant un vecteur normal commun sont donc parallèles.

 \newpage
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \; (5 points)}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;~+\infty[$ par $f(x)=x \,\mathrm{e}^{-x}$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item $f'(x)=\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x}=(1 - x)\mathrm{e}^{-x}$

$\mathrm{e}^{-x}$ étant quel que soit $x$,  strictement positif, $f'(x)$ sera du signe de $1 - x$.
 
Il s'ensuit que

\[f'(x)\geqslant0\quad \text{ sur }\quad [0,~1]\quad \text{ et }\quad f'(x)<0\quad \text{ sur }\quad ]1,~+\infty[\]

$f$ est donc croissante sur $[0,~1]$ et décroissante sur $]1,~+\infty[$.

\item On sait que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x\,\mathrm{e}^{-x}=0$, ce qui signifie que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\mathcal{A}$ la fonction qui à tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ associe l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=t$.

\begin{enumerate}
\item Comme la fonction $f$ est continue et positive sur l'intervalle $[0;~+\infty[$ alors 

\[\mathcal{A}(t)=\int_0^t f(x)\,\mathrm{d}x\]et donc, pour tout $t\in [0;~+\infty[\quad
\mathcal{A}'(t)=f(t)$

Comme $f$ est positive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ il s'ensuit que la fonction $\mathcal{A}$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.

\item On peut en déduire que la fonction $\mathcal{A}$ a pour limite 1 en $+\infty$.
 
 
 \item
 \begin{enumerate}
\item Dressons le tableau de variations de la fonction $\mathcal{A}$ sur $[0~;~+\infty[$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3)
\psline(0,2)(6,2)
\psline(0,2.5)(6,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.15,2.5){$0$} \uput[u](5.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.2){$\mathcal{A}’$}
\rput(0.5,1){$\mathcal{A}$} 
\uput[u](3.5,2){$+$}
\psline{->}(1.5,0.5)(5.5,1.5)
\uput[u](1.15,0){0}
\uput[d](5.85,2){1}
\end{pspicture}
\end{center}

%$$\tabvar{%
%\txb{x}&\txb{0}&&&&&&&&\txb{+\infty}\cr
%\tx{\mathcal{A}^{\,\prime}(x)}&&&&&\tx{+}&&&&\cr
%\tx{\mathcal{A}(x)}&\txb{0}&&&&\fmb&&&&\txh{1}\cr
%}$$
D'après ce tableau de variations l'équation $\mathcal{A}(t)=\dfrac12$ admet une solution unique sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ 
		\item Sur le graphique ci-joint, on obtient $\alpha\simeq \np{1,7}$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $g'(x)= \mathrm{e}^{-x}-(x+1)\mathrm{e}^{-x}=-x\,\mathrm{e}^{-x}$
		\item On remarque que $g'(x)= -f(x)$, d'où

   \[\mathcal{A}(t)=\int_0^t f(x)\,\mathrm{d}x =\int_0^t -g'(x)\,\mathrm{d}x=\left[-g(x)\right]_0^t = -g(t)+g(0)=1-(1+t)\mathrm{e}^{-t}\]
   
		\item $\mathcal{A}(6)=1-7\mathrm{e}^{-6}\simeq \np{0,98}$
	\end{enumerate}

\psset{xunit=2.5cm,yunit=5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.1)(5,1.1)

\multips(0,0)(0,0.1){11}
{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(5,0)}
\multips(0,0)(0.2,0){26}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(0,1)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.1,labels=y,ticks=y,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(0,0)(5,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0.0}{5}{x*2.718281828^(-x)}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,plotpoints=2000]{0.0}{5}{1-2.718281828^(-x)*(x+1)}
\psplot[plotpoints=2000]{0.0}{5}{0.5}
\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt](1.67,0)(1.67,0.5)
\pscustom{
\psplot{0}{1.67}{x*2.718281828^(-x)} \gsave
\psline(1.67,0)(0,0)
\fill[fillstyle=hlines] \grestore }

\begin{scriptsize}
\rput[b](1,-0.05){1}
\rput[b](2,-0.05){2}
\rput[b](3,-0.05){3}
\rput[b](4,-0.05){4}
\end{scriptsize}
\rput[b](5,-0.05){$x$}
\rput[l](-0.15,1.05){$y$}
\rput[l](2,0.65){$\mathbb{\Gamma}$}
\rput[l](2,0.3){\blue $\mathcal{C}$}
\rput[b](1.67,-0.05){$\alpha$}
\end{pspicture}
\end{enumerate}
\newpage
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} \; (5 points)}

\medskip

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la suite de nombres complexes $(z_n)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$:

\[z_{n+1}=(1+\mathrm{i})z_n\]


\textbf{Partie A}
\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\vert z_n \vert$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_0=\vert z_0 \vert= \left\vert \sqrt3-\mathrm{i}\right\vert = 2$.
\item $u_{n+1}= \left\vert z_{n+1}\right\vert= \left\vert (1+\mathrm{i})z_n\right\vert= \vert 1+\mathrm{i}\vert \times \vert z_n \vert=\sqrt2\vert z_n \vert=\sqrt2 u_n $ 
\item D'après le cours, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 2\left(\sqrt2\right)^n$ ; 
$(u_n)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme $u_0=2$.
\item $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\sqrt2>1$ et de premier terme strictement positif, elle diverge donc vers $+\infty$.
\medskip

\item 

\fbox{
\begin{tabular}{lcl}
\textbf{Variables}&: &$u$ est un réel\\
&&$p$ est un réel\\
&& $n$ est un entier\\
 \textbf{Initialisation}&:& Affecter à $n$ la valeur 0\\
&& Affecter à $u$ la valeur 2\\
  \textbf{Entrée}&:&  Demander la valeur de $p$ \\
   \textbf{Traitement}&:& Tant que $u \leqslant p$ Faire\\
   && Affecter à $n$ la valeur $n+1$\\
   && Affecter à $u$ la valeur $\sqrt2\times u$\\
   && Fin du Tant Que\\
  \textbf{Sortie}&:&  Afficher n\\
\end{tabular}
}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $z_1 = (1+\mathrm{i})\times (\sqrt3-\mathrm{i})= 1+\sqrt3 + \mathrm{i}(\sqrt3-1)$.
\item  $z_0 = 2\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12\mathrm{i}\right) = 2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi\slash 6}$
\medskip

$1+\mathrm{i}=\sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\slash 4}$.
\medskip
 
$z_1= 2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi\slash 6} \times \sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\slash 4}=2\sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\slash 12}$.
 
\item Des deux questions précédentes, on obtient que
\[1+\sqrt3 + \mathrm{i}(\sqrt3-1)=2\sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\slash 12}= 2\sqrt2 \Big(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\Big)
 \]
D'où \[\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)= \dfrac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\]
\end{enumerate}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \; (5 points)}
\medskip

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $a_1=\np{0,95}$, $b_1=\np{0,05}$ et $c_1=0$.
\item
\begin{enumerate}
\item $95\%$ des individus restent sains d'un jour au jour suivant d'où $$a_{n+1}=\np{0,95}a_n$$
\item Au jour $n+1$, $5\%$ des individus sains ($a_n$) deviennent malades (soit $\np{0,05}a_n$) et $80\%$ des individus malades $b_n$
le reste ($\np{0,8}b_n$), d'où
 \[b_{n+1}=\np{0,05}a_n + \np{0,8}b_n\]
\end{enumerate}
%On admet que $c_{n+1}=\np{0,2}b_n+c_n$.\\
%Pour tout entier naturel $n$, on définit
%$U_n=\begin{pmatrix}
%a_n\\b_n\\c_n
%\end{pmatrix}$

%On définit les matrices
% $A=\begin{pmatrix}
 %\np{0,95}&0&0\\
% \np{0,05}&\np{0,8}&0\\
 %0&\np{0,2}&1
%\end{pmatrix}$
%et $D=\begin{pmatrix}
% \np{0,95}&0&0\\
% 0&\np{0,8}&0\\
% 0&0&1
%\end{pmatrix}$

%On admet qu'il existe une matrice inversible P telle que
%%$D=P^{-1}\times A\times P$ et que, pour tout entier naturel $n$ %supérieur ou égal à 1, $A^n=P\times D^{n}\times P^{-1}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$,
\[A\times U_n=\begin{pmatrix}
 \np{0,95}&0&0\\
 \np{0,05}&\np{0,8}&0\\
 0&\np{0,2}&1
\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
a_n\\b_n\\c_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 \np{0,95}a_n\\ \np{0,05}a_n+\np{0,08}b_n\\\np{0,2}b_n+c_n
\end{pmatrix}=U_{n+1}
\]
 \medskip
 
 %On admet que, pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^n\times U_0$.
 \item \emph{Initialisation} : c'est vrai pour $n = 0$ car $D^{0} = \begin{pmatrix}
 1&0&0\\
 0&1&0\\
 0&0&1
\end{pmatrix}$

\emph{Hérédité} : supposons que pour tout $n \in \N$,\:
$D^n=\begin{pmatrix}
 \np{0,95}^n&0&0\\
 0&\np{0,8}^n&0\\
 0&0&1
\end{pmatrix}$ alors:
\[D^{n+1}=D\times D^n=\begin{pmatrix}
\np{0,95}&0&0\\
0&\np{0,8}&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
\np{0,95}^n&0&0\\
0&\np{0,8}^n&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
  =  \begin{pmatrix}
\np{0,95}^{n+1}&0&0\\
0&\np{0,8}^{n+1}&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
  \]
C'est donc vrai au rang $n+1$

On a démontré que $D^{0} = \begin{pmatrix}
 1&0&0\\
 0&1&0\\
 0&0&1
\end{pmatrix}$ et que pour tout $n \in \N$,\: $D^n=\begin{pmatrix}
 \np{0,95}^n&0&0\\
 0&\np{0,8}^n&0\\
 0&0&1
\end{pmatrix}$ entraîne $D^{n+1}=\begin{pmatrix}
 \np{0,95}^{n+1}&0&0\\
 0&\np{0,8}^{n+1}&0\\
 0&0&1
\end{pmatrix}$. Par le principe de récurrence, on a donc démontré que  pour tout entier  naturel $n$, \: $D^n=\begin{pmatrix}
 \np{0,95}^n&0&0\\
 0&\np{0,8}^n&0\\
 0&0&1
\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
$U_n=A^n\times U_0
$,
Soit
\[\begin{pmatrix}
a_n\\b_n\\c_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\np{0,95}^n&0&0\\
\dfrac13\left(\np{0,95}^n-\np{0,8}^n\right)&\np{0,8}^n&0\\
\dfrac13\left(3-4\times\np{0,95}^n+\np{0,8}^n\right)&1-\np{0,8}^n&1
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
1\\0\\0
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
\np{0,95}^n\\
\dfrac13\left(\np{0,95}^n-\np{0,8}^n\right)\\
\dfrac13\left(3-4\times\np{0,95}^n+\np{0,8}^n\right)
\end{pmatrix}
\]

d'où

\[b_n=\dfrac13\left(\np{0,95}^n-\np{0,8}^n\right)\]

		\item $(b_n)$ est la somme de deux suites géométriques de raisons comprises entre 0 et 1 qui convergent vers 0, il en est donc de même de  $(b_n)$.
		\item ~

\fbox{
\begin{tabular}{lcl}
\textbf{Variables}&: &$b,~b',~x,~y$ sont des réels\\
&& $k$ est un entier naturel\\
%&& $n$ est un entier&\\
 \textbf{Initialisation}&:& Affecter à $b$ la valeur 0\\
&& Affecter à $b'$ la valeur $\np{0,05}$\\
&& Affecter à $k$ la valeur $0$\\
&& Affecter à $x$ la valeur $\np{0,95}$\\
&& Affecter à $y$ la valeur $\np{0,8}$\\
   \textbf{Traitement}&:& Tant que $b < b'$ faire:\\
&&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $k$ la valeur $k+1$\\
 Affecter à $b$ la valeur $b'$\\
 Affecter à $x$ la valeur $\np{0,95} x$\\
 Affecter à $y$ la valeur $\np{0,80} y$\\
 Affecter à $b'$ la valeur $\dfrac13(x-y)$\\
\end{tabular}\\
&&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}&:& Afficher $k$\\
\end{tabular}
}
\bigskip

\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}p{4.5 cm}|>{\centering}c|c|c|c|c|c|}
\hline 
 & $k$ & $b$ & $x$ & $y$ & $b'$ & Test: $b < b'$ ? \tabularnewline
\hline 
Après le $7^{e}$ passage \newline dans la boucle Tant que &  7 & $\np{0,1628}$ & $\np{0,6634}$ & $\np{0,1678}$ & $\np{0,1652}$ & \bsc{Vrai} \tabularnewline 
\hline 
Après le $8^{e}$ passage éventuel dans la boucle Tant que & 8 & $\np{0,1652}$& $\np{0,6302}$ & $\np{0,1342}$ & $\np{0,1653}$ & \textsc{Vrai} \tabularnewline 
\hline 
Après le $9^{e}$ passage éventuel dans la boucle Tant que & 9 & $\np{0,1653}$ &$\np{0,5987}$  & $\np{0,1073}$ &$\np{0,1637}$  & \textsc{Faux} \tabularnewline
\hline 
\end{tabular} 

\medskip

Pour chaque ligne du tableau, $b$ désigne $b_k$ et $b'$ désigne $b_{k+1}$; on a donc :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline 
$k$ & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 
\hline 
$b_{k}$ & $\np{0,1628}$ & $\np{0,1652}$ & $\np{0,1653}$ & $\np{0,1637}$ \\ 
\hline 
\end{tabular}
\end{center} 

Le rang du jour où le pic épidémique est atteint est donc le 9.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}