\documentclass[11pt,a4paper,answers,fancyhdr]{exam} % remplacer answers par noanswers pour ne pas afficher les solutions %\documentclass[a4paper ,11pt]{article} \usepackage{color} \renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{\blue Solution : }\noindent} \shadedsolutions \definecolor{SolutionColor}{rgb}{0.95,0.9,1} \framedsolutions %%% Pour impression \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{array} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-node} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %\usepackage[body={13.4cm,23.5cm}]{geometry} \usepackage[left=1cm, right=1cm , top=1cm , bottom=2.5cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma %\usepackage[np]{numprint} %** surlignage en jaune *** \newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math,pst-eucl} %\input tabvar %\usepackage[firstpage]{draftwatermark} \usepackage{lastpage} \usepackage{titlesec} \usepackage{enumitem} \newcommand{\surj}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}} \newcommand{\surr}[1]{\fcolorbox{red}{red}{#1}} \newcommand{\surv}[1]{\fcolorbox{green}{green}{#1}} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{tabularx} \usepackage{fp} \usepackage{multido} \newcommand{\binomiale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{B}\left(#1~;~#2 \right) } \newcommand{\expo}[1]{\hookrightarrow \mathcal{E}\left(#1 \right) } \newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) } \newcommand{\para}{$\slash{}\slash{}$} \newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$} \newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$} \newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$} \newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos \setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur \newcommand{\exercice}[2]{%Création d'une macro ayant un paramètre \vspace{0.5cm} \addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos {{\LARGE \textbf{Exercice\,\thenumexos}\,:}}\,{\large #1}\,\hfill {\LARGE #2}%Met en rouge Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos \vspace{0.5cm} } \newcommand{\pg}{\geqslant} %plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant} %plus petit ou égal \newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow} % équivalent \renewcommand{\d}{\,\text{d}} %le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}} %le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i}} %le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} %displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}} %crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}} %crochet droit \newcommand{\entetecor}[4]{% \rhead{#3} \chead{\large \shadowbox{Corrigé du baccalauréat S #1 du #2}} \lfoot{Baccalauréat 2017}%Corrigé de #1 du #2} \rfoot{A. Detant} \setcounter{page}{1} \cfoot{page \thepage ~sur~ \pageref{LastPage}} % \rfoot{#3} \newgeometry{left=1.5cm, right=1.5cm , top=2cm , bottom=2.5cm} } \newcommand{\equi}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} %\SetWatermarkText{Lycée Henri IV} %\SetWatermarkScale{0.6} %\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B} \entetecor{Pondichéry}{26 avril 2017}{}{} \titlespacing*{\subsubsection} {0pt}%␣retrait␣à␣gauche {0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant {0ex plus 0ex}%␣espace␣après [0pt]%␣retrait␣à␣droite \subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}} \textbf{Commun a tous les candidats} \medskip \emph{Les parties {\rm A}, {\rm B} et {\rm C} peuvent être traitées de façon indépendante}. \smallskip Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. \medskip La chocolaterie \og Choc'o \fg{} fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85\,\%. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip À l'issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc. La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98. \item[$\bullet~~$] la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \smallskip À la fin d'une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note : $A$ l'évènement : \og la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A \fg{} ; $C$ l'évènement : \og la tablette de chocolat est commercialisable \fg. On note $x$ la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $P(C) = 0,03x + 0,95$. \begin{solution} L'énoncé donne $P(A)=x~~~,~~~P_A(C)=0,98~~~\text{et}~~~P_{\overline{A}}(C)=0,95$ $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers donc d'après les probabilités totales on a $P(C)=P(C \cap A)+P\left(C \cap \overline{A} \right)$ $\hphantom{P(C)}=P_A(C)\times P(A) + P_{\overline{A}}(C) \times P\left(\overline{A} \right)$ $\hphantom{P(C)}=0,98x + 0,95(1-x)=0,03x+0,95$ \end{solution} \item A l'issue de la production, on constate que 96\,\% des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu'une tablette soit commercialisable. Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A. \begin{solution} $P(C)=0,96 \equi 0,03x+0,95 = 0,96 \equi x=\dfrac{1}{3}$ Donc $P(A)=\dfrac{1}{3}~~~\text{et}~~~P(B)=P\left(\overline{A} \right)=\dfrac{2}{3}$ La probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est donc bien égale au double de celle que la tablette provienne de la chaîne A \end{solution} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une machine électronique mesure la teneur en cacao d'une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire $Z$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. \medskip \begin{enumerate} \item La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans. Déterminer le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle. \begin{solution} La durée de vie moyenne est de 5 ans on a donc $E(Z)=5$ or $E(Z)=\dfrac{1}{\lambda}$ car $Z$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ Finalement $\lambda = \dfrac{1}{5}=0,2$ \end{solution} \item Calculer $P(Z > 2)$. \begin{solution} $P(Z> 2)=1-P(Z\leqslant 2)=1-\displaystyle \int_0^2 0,2\e^{-0,2t} dt=1-\left[-\e^{-0,2t} \right]_0^2=1-\left(-\e^{-0,4}+1 \right)=\e^{-0,4} \approx 0,670 $ \end{solution} \item Sachant que la machine de l'atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ? \begin{solution} On cherche $P_{Z>3}(Z>5)$ Or on sait que loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement, On a donc $P_{Z>3}(Z>5)=P_{Z>3}(Z>3+2)=P(Z>2)\approx 0,670$. \end{solution} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On note $X$ la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d'une tablette de 100~g de chocolat commercialisable. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 85$ et d'écart type $\sigma = 2$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $P(83 < X < 87)$. \begin{solution} $P(83 < X < 87)=P\left(\mu - \sigma < X < \mu - \sigma \right) \approx 0,683 $ d'après le cours \end{solution} Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2\,\% du pourcentage annoncé sur l'emballage ? \begin{solution} D'après la question précédente, la probabilité que la teneur en cacao diffère de moins de 2\% du pourcentage annoncé est d'environ 0,683 donc la probabilité cherchée est 1-0,683 = 0,317 \end{solution} \item Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que: \[P(85 - a < X < 85 + a) = 0,9.\] Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \begin{solution} Soit $Y$ la variable aléatoire définie par $Y=\dfrac{X-85}{2}$ alors on sait que $Y$ suit la loi normale centrée réduite $85 - a < X < 85 + a \equi -a < X - 85 < a \equi - \dfrac{a}{2} < \dfrac{X - 85}{2} < \dfrac{a}{2} \iff -\dfrac{a}{2} < Y < \dfrac{a}{2}$ Donc $P(85 - a < X < 85 + a) = 0,9 \equi P\left(-\dfrac{a}{2} < Y < \dfrac{a}{2} \right) = 0,9$ Soit $P\left(Y < \dfrac{a}{2} \right) = 0,95$. D'après la calculatrice on trouve $\dfrac{a}{2} \approx \np{1,6449}$ donc $a \approx \np{3,2898}$ soit 3,290 au millième. Cela signifie que l'on peut estimer à 90\% la proportion de tablette ayant une teneur en cacao entre 81,71\% et 88,29\% \end{solution} \item La chocolaterie vend un lot de \np{10000} tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l'enseigne que, dans ce lot, 90\,\% des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l'intervalle [81,7~;~88,3]. Afin de vérifier si cette affirmation n'est pas mensongère, le responsable achat fait prélever $550$ tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, $80$ ne répondent pas au critère. Au vu de l'échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l'affirmation de la chocolaterie ? \begin{solution} Ici on répète $n=550$ fois de manière indépendante le prélèvement d'une tablette dans le lot La proportion annoncée est $p = 0,9$. On a $n\geqslant 30~~,~~np=495\geqslant 5~~\text{et}~~n(1-p)=55\geqslant 5$. On peut donc bâtir l'intervalle de fluctuation asymptotique. On peut affirmer avec une confiance à 95\% que la fréquence de tablettes dont la teneur en cacao est comprise entre 81,7\% et 88,3\% appartient à l'intervalle $I_n=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$. Or $p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}} \approx 0,87$ et $p + 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}} \approx 0,925 \approx 0,93$. Donc $I_n = [0,87~;~0,93]$ mais la fréquence observée est $f=\dfrac{470}{550}\approx 0,85 $ et n'appartient donc pas à $I_n$. On peut donc conclure que l'affirmation est mensongère au risque de 5\% de se tromper. \end{solution} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points}} \textbf{Commun a tous les candidats} \medskip On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation \[(E) :\qquad z^2 - 6z + c = 0\] où $c$ est un réel strictement supérieur à 9. \begin{enumerate} \item Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles. \begin{solution} $\Delta = b^2-4ac=36-4c<0$ car $c>9$ donc (E) admet deux solutions complexes non réelles \end{solution} \item Justifier que les solutions de (E) sont $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{c - 9}$ et $z_{\text{B}} = 3 - \text{i}\sqrt{c - 9}$. \begin{solution} Les solutions de (E) sont conjuguées de la forme $z_1=\dfrac{-b+\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\overline{z_1}$ $z_1=\dfrac{6+\text{i}\sqrt{4c-36}}{2}=\dfrac{6+2\text{i}\sqrt{c-9}}{2}=3+\text{i}\sqrt{c-9}=z_{\text A}$ ~~~et ~~~ $z_2=\overline{z_1}=\overline{z_{\text A}}=z_{\text B}$ \end{solution} \end{enumerate} \item On note A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. Justifier que le triangle OAB est isocèle en O. \begin{solution} $\text{OB}=\left|z_{\text B} \right|=\left|\overline{z_{\text A}} \right|=\left|z_{\text A} \right|=\text{OA} $ OAB est donc bien isocèle en O \end{solution} \item Démontrer qu'il existe une valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur. \begin{solution} OAB est rectangle en O si et seulement si $\text{AB}^2=2\text{OA}^2$ car on sait qu'il est isocèle en O $\text{AB}^2=\left|z_{\text B}-z_{\text A} \right| ^2=\left|2\text{i}\sqrt{c-9} \right| ^2=4(c-9)$ ~~~et~~~ $2\text{OA}^2=2\left|z_{\text A} \right|^2=2\times (9+c-9)=2c$ $\text{AB}^2=2\text{OA}^2 \equi 4(c-9)=2c \equi c=18$ OAB est donc rectangle si et seulement si $c=18$ \end{solution} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}} \textbf{Commun a tous les candidats} \medskip Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne. Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité 2~m, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$. \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-3,-0.2)(3,3.2) \psframe[fillstyle=vlines](-3,0)(3,3) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{13.5 x dup mul 2 mul sub ln} \psline(2.5,0)(-2.5,0)} \rput(-2.1,2.5){montagne}\rput(0,1.6){zone de creusement} \uput[ur](1,2.1){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-0.2)(3,3.2) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(1,1) \end{pspicture} \end{center} On admet que $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 2,5~;~2,5]$ par: \[f(x) = \ln \left(- 2x^2 + 13,5\right).\] L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement. \bigskip \textbf{Partie A : Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour $x \in [- 2,5~;~2,5]$. \begin{solution} Sur $[- 2,5~;~2,5],~0 \leqslant x^2 \leqslant 6,25 \iff 0 \leqslant 2x^2 \leqslant 12,5 \iff - 12,5 \leqslant - 2x^2 \leqslant 0 \iff $ $1 \leqslant - 2x^2 + 13,5 \leqslant 13,5$. $f = \ln (u)$ avec $u$ dérivable et strictement positive sur $[- 2,5~;~2,5]$ , \:\: $f$ est donc dérivable sur $[- 2,5~;~2,5]$ $f'=\dfrac{u'}{u}$ avec $\begin{cases} u(x) = -2x^2+13,5\\ u'(x)= - 4x \end{cases}$ $\forall x \in [- 2,5~;~2,5]\:,\:f'(x) = \dfrac{-4x}{-2x^2+13,5}$ \end{solution} \item Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[- 2,5~;~2,5]$. En déduire le signe de $f$ sur $[- 2,5~;~2,5]$. \begin{solution} sur $[- 2,5~;~2,5]$,\:on a vu que $-2x^2 + 13,5 > 1 > 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $- 4x$ soit $f'(x) > 0$ sur $[- 2,5~;~0[$ et $f'(x) < 0$ sur $]0~;~2,5]$. On en déduit le tableau suivant : \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 2} \begin{pspicture}(9,3) \psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$-2,5$} \uput[u](5,2.4){$0$} \uput[u](8.5,2.4){$2,5$} \rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$+$} \rput(5,2.25){0}\rput(7,2.25){$-$} \uput[u](1.5,0){$0 $} \uput[d](5,2){$\ln(13,5) $} \uput[u](8.5,0){$0 $} \rput(0.5,1){$f(x)$} \psline{->}(2,0.3)(4.7,1.5) \psline{->}(5.3,1.5)(8,0.3) \end{pspicture} \end{center} Conclusion : sur l'intervalle $[- 2,5~;~2,5]$, \: $f(x) \geqslant 0$. \end{solution} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Aire de la zone de creusement} \medskip On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère. \medskip \begin{enumerate} \item La courbe $\mathcal{C}$ est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse. \begin{solution} D'après les deux points sur l'axe des abscisses, le diamètre d'un tel cercle serait de 5 donc son rayon de 2,5 or $f(0)=\ln(13,5)\neq 2,5$ $\mathcal{C}$ n'est donc pas un arc de cercle de centre O \end{solution} \item Justifier que l'aire, en mètre carré, de la zone de creusement est $\mathcal{A} = 8\displaystyle\int_0^{2,5} f(x)\:\text{d}x$. \begin{solution} La courbe $\mathcal{C}$ étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et au dessus de l'axe des abscisses, l'aire est donnée par $2\displaystyle\int_0^{2,5} f(x)\:\text{d}x$ en unité d'aire. Or une unité d'aire est de 4 m$^2$ puisque l'unité du repère orthonormé est de 2 m. Finalement l'aire de creusement est bien donnée par $\mathcal{A} = 8\displaystyle\int_0^{2,5} f(x)\:\text{d}x$. \end{solution} \item L'algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de $I = \displaystyle\int_0^{2,5} f(x)\:\text{d}x$, notée $a$. On admet que : $a \leqslant I \leqslant a + \dfrac{f(0) - f(2,5)}{n}\times 2,5$. \begin{enumerate} \item Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour $R$ et $S$ lors de l'exécution de l'algorithme pour $n = 50$. Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes. \begin{solution} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-2} Initialisation &$S = 0$, $n = 50 $&\multicolumn{2}{c}{~}\\ \hline Boucle Pour &Étape $k$ & $R$ & $S$\\ \hline \multicolumn{1}{c|}{~} & 1 & \surj{$0,05 f(0,05)= \np{0,130116}$} &\surj{$\np{0,130116}$}\\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~} & 2 & \np{0,130060}&\np{0,260176} \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~} & 3 & \np{0,129968}&\np{0,390144} \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~} & 4 & \np{0,129837} &\surj{\np{0,519981}} \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c}{~} &\multicolumn{1}{c}{\vdots}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}\\\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~}&24 & \np{0,118137}& \np{3,025705}\\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~}&25& \np{0,116970}& \np{3,142675} \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}\\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~}&49& \np{0,020106}& \np{5,197538} \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~}&50& \surj{$0,05 \times f(2,5) = 0$}& \surj{$S + 0 = \np{5,197538}$} \\ \hline Affichage & S = \surj{$\np{5,197538}$} &\multicolumn{2}{c}{~}\\ \cline{1-2} \end{tabularx} \end{center} \end{solution} \item En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement. \begin{solution} L'algorithme donne une valeur approchée par défaut de $I$ et il est admis que : $a \leqslant I \leqslant a + \dfrac{f(0) - f(2,5)}{n}\times 2,5$, donc on obtient : $\np{5,197538} \leqslant I \leqslant \np{5,197538} + \dfrac{\ln (13,5)}{50}\times 2,5 $ ou $\np{5,197538} \leqslant I \leqslant \np{5,197538} + \np{0,130135}$ et enfin $\np{5,197538} \leqslant I \leqslant \np{5,32767}$ Or $\mathcal{A}=8I$, donc $8 \times \np{5,197538} \leqslant 8 \times I \leqslant 8 \times \np{5,32767}$ ou $41,5803 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 42,622$ donc $42-1 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 42+1$. Donc l'aire de creusement a une valeur approchée de 42 m$^2$, au mètre carré près. \end{solution} \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ :\: $u_{n+1} = 2u_n - n + 3$ ; \item[$\bullet~~$] la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \bigskip \textbf{Partie A : Conjectures} \medskip Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur. Une copie d'écran est donnée ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textbf}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C\\ \hline 1 &rang $n$ &terme $u_n$&terme $v_n$\\ \hline 2 &0 &1 &1 \\ \hline 3 &1 &5 &2\\ \hline 4 &2 &12 &4\\ \hline 5 &3 &25 &8 \\ \hline 6 &4 &50 &16\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ? \begin{solution} en B3 : \og $=2B2 - A2 + 3$ \fg en C3 : \og $ = 2\wedge (A3)$ \fg ~ ou ~ \og $=2\times C2$ \fg \end{solution} \item Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textsc{}}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 12 &10 &\np{3080} &\np{1024}\\ \hline 13 &11 &\np{6153} &\np{2048}\\ \hline 14 &12 &\np{12298} &\np{4096}\\ \hline 15 &l3 &\np{24587} &\np{8192}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. \begin{solution} La limite de $\left(u_n\right)$ semble être $+\infty$ Celle de $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ semble être 3 \end{solution} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude de la suite} \boldmath $\left(u_n\right)$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 3 \times 2^n + n - 2$. \begin{solution} On procède par récurrence: \textbf{initialisation}: $u_0=1$ et $3 \times 2^0 + 0 - 2=1$~~~donc l'égalité est vérifiée au rang 0 \textbf{hérédité}: Soit $n$ un naturel quelconque et supposons que : $ u_n = 3 \times 2^n + n - 2$ D'après la définition : $u_{n+1} = 2u_n - n + 3 = 2\left(3 \times 2^n + n - 2 \right) - n + 3 = 3 \times 2^{n+1} + 2n - 4 - n + 3 = 3 \times 2^{n+1} + n - 1$ soit $u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1} + n + 1 - 1 - 1 = 3 \times 2^{n+1} + (n + 1) - 2$. La relation est vraie au rang $n+1$. Conclusion : la relation est vraie au rang $0$, et si elle est vraie au rang $n$, elle est vraie au rang $n + 1$. D'après le principe de la récurrence on a donc démontré que pour tout naturel $n$, $u_n = 3 \times 2^n + n - 2$. \end{solution} \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \begin{solution} \Lim{n}{+\infty}{2^n}=$+\infty$ donc par somme, \Lim{n}{+\infty}{u_n}=$+\infty$ \end{solution} \item Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million. \begin{solution} $u_{18} = \np{786448} < \np{1000000}$ et $u_{19} = \np{1572881} > \np{1000000}$. 19 est donc le rang du premier terme supérieur à un million. \end{solution} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Étude de la suite } \boldmath$\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang 3. \begin{solution} $\forall n \in \N~,~\dfrac{u_n}{v_n}=3+\dfrac{n-2}{2^n}$ $\forall n \in \N~,~\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\dfrac{u_n}{v_n}=\left( 3+\dfrac{n-1}{2^{n+1}}\right) -\left( 3+\dfrac{n-2}{2^n}\right)=\dfrac{n-1-2(n-2)}{2^{n+1}}=\dfrac{-n+3}{2^{n+1}}$ est tu signe de $-n+3$ Donc $\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\dfrac{u_n}{v_n}<0$ si $n>3$ alors $\left( \dfrac{u_n}{v_n}\right) $ est décroissante à partir du rang 3 \end{solution} \item On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}$. Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. \begin{solution} $\forall n \in \N~,~\dfrac{u_n}{v_n}=3+\dfrac{n-2}{2^n}=3+\dfrac{n}{2^n}-\dfrac{1}{2^{n-1}}$ d'après l'encadrement donné, on en déduit que pour $n\geqslant 4~,~3-\dfrac{1}{2^{n-1}}<\dfrac{u_n}{v_n}\leqslant 3+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2^{n-1}}$ Or \Lim{n}{+\infty}{\dfrac{1}{n}}= 0 et \Lim{n}{+\infty}{\dfrac{1}{2^{n-1}}}=0 alors d'après le théorème des gendarmes on a \Lim{n}{+\infty}{\dfrac{u_n}{v_n}}=3 \end{solution} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On définit les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par : \[u_0 = v_0 = 1\: \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} = 2u_n + 3v_n\: \text{et}\: v_{n+1} = 2u_n + v_n.\] On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls. \bigskip \textbf{Partie A : Conjectures} \medskip Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur. Une copie d'écran est donnée ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textbf}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C\\ \hline 1& rang $n$ & terme $u_n$ & terme $v_n$\\ \hline 2& 0 &1 &1\\ \hline 3& 1 &5 &3\\ \hline 4& 2 &19 &13\\ \hline 5& 3 &77 &51\\ \hline 6& 4 &307 &205\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ? \begin{solution} en B3 : \og $=2*B2+3*C2$ \fg en C3 : \og $=2*B2+C2$ \fg \end{solution} \item Soit $n$ un entier naturel. Conjecturer la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$. Aucune justification n'est demandée. \begin{solution} PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$ semble être de 1 (c'est le cas pour les 5 premiers termes) \end{solution} \item Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textbf}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 12 &10 &\np{1258291} &\np{838861}\\ \hline 13 &11 &\np{5033165} &\np{3355443}\\ \hline 14 &12 &\np{20132659} &\np{13421773}\\ \hline 15 &13 &\np{80530637} &\np{53687091}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Elle émet la conjecture : \og la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ converge \fg. Qu'en penser ? \begin{solution} $\dfrac{u_{10}}{v_{10}}\approx 1,499999404$~~~,~~~$\dfrac{u_{11}}{v_{11}}\approx 1,500000149$~~~,~~~$\dfrac{u_{12}}{v_{12}}\approx 1,499999963$~~~,~~~$\dfrac{u_{13}}{v_{13}}\approx 1,500000009$ il semblerait que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ converge vers 1,5 \end{solution} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude arithmétique} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $2u_n - 3v_n = (- 1)^{n+1}$. \begin{solution} \textbf{Initialisation}: $2u_0-3v_0=-1$ et $(-1)^{0+1}=-1$~~~donc l'égalité est vérifiée au rang 0 \textbf{Hérédité}: Supposons que pour un entier naturel $p$ quelconque, \:$2u_p - 3v_p = (-1)^{p+1}$, alors $2u_{p+1}-3v_{p+1}=2\left( 2u_p+3v_p\right) -3\left( 2u_p+v_p\right)=-2u_p+3v_p=-\left(2u_p -3v_p \right) =-(-1)^{p+1}=(-1)^{p+2}$. Il y a donc hérédité à partir du rang 0. La relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie à un rang $p$ elle est vraie au rang suivant $p + 1$. D'après le principe de récurrence \vspace{0.25cm} $\forall n \in \N~,~2u_n-3v_n = (-1)^{p+1}$ \end{solution} \item Soit $n$ un entier naturel. Déduire de la question précédente la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$. \begin{solution} D'après le théorème de Bezout, on peut déduire que PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)=1$ car $2u_n-3v_n =1$ ou $-2u_n+3v_n =1$ \end{solution} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Étude matricielle} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on définit : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la matrice colonne $X_n = \begin{pmatrix}u_n\\ v_n\end{pmatrix}$, \item[$\bullet~~$] les matrices carrées $P = \begin{pmatrix} 1&3\\- 1&2\end{pmatrix}$ et $Q_n = \begin{pmatrix}(- 1)^n&3 \times 2^{2n}\\(- 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}.$ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la matrice $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$ est l'inverse de $P$. \begin{solution} $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}\times P=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}=I_2$~~et~~$P\times \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix} = \dfrac{1}{5} P\times \begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}=I_2$ On en déduit que $P$ admet $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$ pour inverse. \end{solution} \item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $X_n = Q_nP^{-1} X_0$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a \renewcommand\arraystretch{1.9}$\left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&\dfrac{(- 1)^{n}+ 3\times 2^{2n+1}}{5}\\ v_n&=&\dfrac{(- 1)^{n}+ 2^{2n+2}}{5} \end{array}\right.$ \renewcommand\arraystretch{1} \begin{solution} $Q_nP^{-1}=Q_n\times \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$ $\hphantom{Q_nP^{-1}}= \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}(- 1)^n&3 \times 2^{2n}\\(- 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$ $\hphantom{Q_nP^{-1}}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2\times (- 1)^{n}+3\times 2^{2n}&-3\times (-1)^{n}+3\times 2^{2n} \\2\times(- 1)^{n+1}+2^{2n+1}&-3\times (-1)^{n+1}+ 2^{2n+1}\end{pmatrix}$ De plus $X_0 = \begin{pmatrix}u_0\\ v_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$ Donc $X_n=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 2\times (- 1)^{n}+3\times 2^{2n}-3\times (-1)^{n}+3\times 2^{2n}\\2\times(- 1)^{n+1}+2^{2n+1}-3\times (-1)^{n+1}+ 2^{2n+1} \end{pmatrix}$ $\hphantom{Donc X_n}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} (- 1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}\\(- 1)^{n}+2^{2n+2} \end{pmatrix}$ On a donc bien pour tout entier naturel $n$, on a \renewcommand\arraystretch{1.9}$\left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&\dfrac{(- 1)^{n}+ 3\times 2^{2n+1}}{5}\\ v_n&=&\dfrac{(- 1)^{n}+ 2^{2n+2}}{5} \end{array}\right.$ \renewcommand\arraystretch{1} \end{solution} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $\dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\frac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\frac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2}$. \begin{solution} Pour tout entier naturel $n$, on a $\dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{(- 1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}}{(- 1)^{n}+2^{2n+2}}=\dfrac{2^{2n+1}\left( \frac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3\right) }{2^{2n+1}\left( \frac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2\right) }$ On a bien $\forall n \in \N~,~ \dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\frac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\frac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2}$ \end{solution} \item En déduire la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. \begin{solution} $-\dfrac{1}{2^{2n+1}} \leqslant \dfrac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}} \leqslant \dfrac{1}{2^{2n+1}}$ et \Lim{n}{+\infty}{\dfrac{1}{2^{2n+1}}}=0 On a donc, d'après le théorème des gendarmes, \Lim{n}{+\infty}{\dfrac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}}=\Lim{n}{+\infty}{\dfrac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}}=0 On en déduit, par opération sur les limites, \Lim{n}{+\infty}{\dfrac{u_n}{v_n}}=$\dfrac{3}{2}$ qui confirme la conjecture émise \end{solution} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 3 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère un cube ABCDEFGH fourni en annexe. L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$. On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + \dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z -1 = 0$. Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan $\mathcal{P}$. La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques. \begin{solution} \textbf{\blue { version 1}} Le point B$(1~;~0~;~0) \in \mathcal{P}$ Le point M$(0~;~2~;~0) \in \mathcal{P}$. M est le symétrique de A par rapport à D. Le point N$(0~;~0~;~3) \in \mathcal{P}$. N est défini par $\vect{\text{AN}}= 3\vect{\text{AE}}$. (BM) $\subset (\text{ABC})$, (BM) coupe [DC] en un point I. (BN) $\subset $ (ABE), (BN) coupe [EF] en un point L. Les plans (ABE) et (CDH) sont parallèles donc $\mathcal{P}$ les coupe suivant deux droites parallèles. La parallèle à (BJ) passant par I coupe [GH] en K. \emph{Rem.} On peut finir à la règle seulement en traçant (MN) et (EH) sécantes en P. La droite (JP) coupe l'arête [GH] en K. La section du cube par $\mathcal{P}$ est la surface limitée par le parallélogramme BIKJ. \end{solution} \bigskip \begin{solution} \textbf{\blue { version 2}} On cherche des points communs au plan et au cube. Avec le choix de l'origine du repère en A les équations des plans contenant les faces sont simples : \:$x = 0$, \:$ x= 1$,\: $y = 0$,\: $y = 1$,\: $z = 0$, $z = 1$. Comme une équation du plan $\mathcal{P}$ est $x + \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{3}z = 1$, on cherche donc trois nombres de somme 1 ; et si l'un d'entre eux est égal à 1 , la somme des deux autres est nulle. Il y a déjà trois possibilités : $\bullet~~$$x = 1$, d'où $\dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{3}z = 0 \iff 3y + 2z = 0$ : le point B(1~;~0~;~0) est l'un des points cherchés. $\bullet~~$$y = 2$, donne $x + \dfrac{1}{3}z = 0$ ; on obtient le point M(0~;~2~;~0) $\bullet~~$$z = 3$, donne $x + \dfrac{1}{2}y = 0$ ; on obtient le point N(0~;~0~;~3) $\bullet~~$$x = \dfrac{1}{2}$ et $y = 1$ donnent $\dfrac{1}{3}z = 0$ ; on obtient le point I$\left(\dfrac{1}{2}~;~1~;~0\right)$ (milieu de [CD]) $\bullet~~$$x = 0$ et $y = 1$ donnent $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}z = 1 \iff 2z = 3 \iff z = \dfrac{3}{2}$ ; on obtient le point L$\left(0~;~1~;~\dfrac{3}{2}\right)$. Les droites (IL) et (GH) sont coplanaires et sécantes en K. Les droites (BN) et (EF) sont coplanaires et sécantes en J. La section du cube par $\mathcal{P}$ est la surface limitée par le parallélogramme BIKJ. \end{solution} \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 5,linewidth=1.1pt} \begin{pspicture}(10,16) %\psgrid \psframe(1,1)(5,5)%BCGF \psline(5,1)(7,3.2)(7,7.2)(5,5)%CDHG \psline(7,7.2)(3,7.2)(1,5)%HEF \psline[linestyle=dashed]{->}(3,3.2)(1,1)%AB \psline[linestyle=dashed]{->}(3,3.2)(7,3.2)%AD \psline[linestyle=dashed]{->}(3,3.2)(3,7.2)%AE \uput[ul](3,3.2){A} \uput[dl](1,1){B} \uput[dr](5,1){C} \uput[ur](7,3.2){D} \uput[ul](3,7.2){E} \uput[l](1,5){F} \uput[r](5,5){G} \uput[ur](7,7.2){H} \uput[u](7,9.2){L} \psline[linecolor=red]{-}(7,3.2)(11,3.2)%DM \psline[linecolor=red]{-}(3,7.2)(3,15.2)%EN \psline[linecolor=red]{-}(7,7.2)(7,9.2)%HL \psline[linecolor=green]{-}(6,2.1)(7,9.2) \psline[linestyle=dashed,linecolor=green]{-}(1,1)(6,2.1)%BI \psline[linecolor=green]{-}(6,2.1)(11,3.2)%IM \psline[linestyle=dashed,linecolor=green]{-}(1,1)(1.62,5.7)%BJ \psline[linecolor=green]{-}(1.62,5.7)(3,15.2)%JN \psline[linecolor=green]{-}(1.667,5.7)(6.667,6.833)%JK \psline[linecolor=green]{-}(6,2.1)(6.667,6.833)%IK \psline[linestyle=dashed,linecolor=green]{-}(1,1)(6,2.1)%BI \psline[linestyle=dashed](11,3.2)(3,15.2)%MN \psline[linestyle=dashed](3,7.2)(9,7.2)%EH \uput[dr](6,2.1){\green I} \uput[r](11,3.2){M}\uput[ur](8.3,7.2){P} \psline[linestyle=dashed](8.3,7.2)(1.62,5.7) \uput[ul](3,15.2){N} \uput[ul](1.62,5.7){\green J} \uput[dr](6.667,6.833){\green K} \pspolygon[fillstyle=vlines](1,1)(6,2.1)(6.667,6.833)(1.62,5.7) \end{pspicture} \end{center} %\end{solution} \end{document}