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\newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos
\setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur
\newcommand{\exercice}[2]{%Création d'une macro ayant un paramètre
\vspace{0.5cm}
\addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos
{{\LARGE \textbf{Exercice\,\thenumexos}\,:}}\,{\large #1}\,\hfill {\LARGE #2}%Met en rouge Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos
\vspace{0.5cm}
}
\newcommand{\pg}{\geqslant}			%plus grand ou égal
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\chead{\large \shadowbox{Corrigé du baccalauréat S  #1 du #2}}
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\entetecor{Pondichéry}{26 avril 2017}{}{}

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\subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}}


\textbf{Commun a tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A}, {\rm B} et {\rm C} peuvent être traitées de façon indépendante}. 

\smallskip

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. 

\medskip

La chocolaterie \og Choc'o \fg{} fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85\,\%.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

À l'issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc. 

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à  0,98. 
\item[$\bullet~~$] la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

À la fin d'une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note : 

$A$ l'évènement : \og la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A \fg{} ; 

$C$ l'évènement : \og la tablette de chocolat est commercialisable \fg. 

On note $x$ la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $P(C) = 0,03x + 0,95$. 

\begin{solution}
L'énoncé donne $P(A)=x~~~,~~~P_A(C)=0,98~~~\text{et}~~~P_{\overline{A}}(C)=0,95$

$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers donc d'après les probabilités totales on a 

$P(C)=P(C \cap A)+P\left(C \cap \overline{A} \right)$

$\hphantom{P(C)}=P_A(C)\times P(A) + P_{\overline{A}}(C) \times P\left(\overline{A} \right)$

$\hphantom{P(C)}=0,98x + 0,95(1-x)=0,03x+0,95$
\end{solution}

\item A l'issue de la production, on constate que 96\,\% des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu'une tablette soit commercialisable. 

Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à  celle que la tablette provienne de la chaîne A.

\begin{solution}
$P(C)=0,96 \equi 0,03x+0,95 = 0,96 \equi x=\dfrac{1}{3}$

Donc $P(A)=\dfrac{1}{3}~~~\text{et}~~~P(B)=P\left(\overline{A} \right)=\dfrac{2}{3}$

La probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est donc bien égale au double de  celle que la tablette provienne de la chaîne A    
\end{solution}
 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d'une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire $Z$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans. 

Déterminer le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle. 

\begin{solution}
La durée de vie moyenne est de 5 ans on a donc $E(Z)=5$ or $E(Z)=\dfrac{1}{\lambda}$ car $Z$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$

Finalement $\lambda = \dfrac{1}{5}=0,2$

\end{solution}

\item Calculer $P(Z > 2)$. 

\begin{solution}

$P(Z> 2)=1-P(Z\leqslant 2)=1-\displaystyle \int_0^2 0,2\e^{-0,2t} dt=1-\left[-\e^{-0,2t} \right]_0^2=1-\left(-\e^{-0,4}+1 \right)=\e^{-0,4} \approx 0,670  $
\end{solution}

\item Sachant que la machine de l'atelier a déjà  fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ? 

\begin{solution}
On cherche $P_{Z>3}(Z>5)$

Or on sait que loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement, 

On a donc $P_{Z>3}(Z>5)=P_{Z>3}(Z>3+2)=P(Z>2)\approx 0,670$.
\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

On note $X$ la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d'une tablette de 100~g de chocolat commercialisable. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 85$ et d'écart type $\sigma = 2$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(83 < X < 87)$. 

\begin{solution}

$P(83 < X < 87)=P\left(\mu - \sigma < X < \mu - \sigma \right) \approx 0,683 $ d'après le cours
\end{solution}

Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2\,\% du pourcentage annoncé sur l'emballage ? 

\begin{solution}
D'après la question précédente, la probabilité que la teneur en cacao diffère de moins de 2\% du pourcentage annoncé est d'environ 0,683 donc la probabilité cherchée est 1-0,683 = 0,317
\end{solution}

\item Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que: 

\[P(85 - a < X < 85 + a) = 0,9.\] 

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. 

\begin{solution}
Soit $Y$ la variable aléatoire définie par $Y=\dfrac{X-85}{2}$ alors on sait que $Y$ suit la loi normale centrée réduite

$85 - a < X < 85 + a \equi -a < X - 85 < a \equi - \dfrac{a}{2} < \dfrac{X - 85}{2} < \dfrac{a}{2} \iff -\dfrac{a}{2} < Y < \dfrac{a}{2}$

Donc $P(85 - a < X < 85 + a) = 0,9 \equi P\left(-\dfrac{a}{2} < Y < \dfrac{a}{2} \right) = 0,9$

Soit $P\left(Y < \dfrac{a}{2} \right) = 0,95$.
D'après la calculatrice on trouve $\dfrac{a}{2} \approx \np{1,6449}$ donc $a \approx \np{3,2898}$ soit 3,290 au millième.

Cela signifie que l'on peut estimer à 90\% la proportion de tablette ayant une teneur en cacao entre 81,71\% et 88,29\% 
\end{solution}

\item La chocolaterie vend un lot de \np{10000} tablettes de chocolat à  une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l'enseigne que, dans ce lot, 90\,\% des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à  l'intervalle [81,7~;~88,3]. 

Afin de vérifier si cette affirmation n'est pas mensongère, le responsable achat fait prélever $550$ tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, $80$ ne répondent pas au critère. 

Au vu de l'échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à  l'affirmation de la chocolaterie ? 

\begin{solution}
Ici on répète $n=550$ fois de manière indépendante le prélèvement d'une tablette dans le lot

La proportion annoncée est $p = 0,9$.

On a $n\geqslant 30~~,~~np=495\geqslant 5~~\text{et}~~n(1-p)=55\geqslant 5$.

On peut donc bâtir l'intervalle de fluctuation asymptotique.

On peut affirmer avec une confiance à 95\% que la fréquence de tablettes dont la teneur en cacao est comprise entre 81,7\% et 88,3\% appartient à l'intervalle $I_n=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}   ; p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}  \right]$.

Or $p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}} \approx 0,87$ et $p + 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}} \approx 0,925 \approx 0,93$. Donc $I_n = [0,87~;~0,93]$ mais la fréquence observée est $f=\dfrac{470}{550}\approx 0,85 $ et n'appartient donc pas à $I_n$.

On peut donc conclure que l'affirmation est mensongère au risque de 5\% de se tromper. 
\end{solution}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points}}

\textbf{Commun a tous les candidats}

\medskip 

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv. 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation 

\[(E) :\qquad  z^2 - 6z + c = 0\]

où $c$ est un réel strictement supérieur à  9. 

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles. 
		
		\begin{solution}
		
		$\Delta = b^2-4ac=36-4c<0$ car $c>9$ donc (E) admet deux solutions complexes non réelles
		\end{solution}
		
		\item Justifier que les solutions de (E) sont $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{c - 9}$  et $z_{\text{B}} = 3 - \text{i}\sqrt{c - 9}$. 
		
		\begin{solution}
		Les solutions de (E) sont conjuguées de la forme $z_1=\dfrac{-b+\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\overline{z_1}$
		
		$z_1=\dfrac{6+\text{i}\sqrt{4c-36}}{2}=\dfrac{6+2\text{i}\sqrt{c-9}}{2}=3+\text{i}\sqrt{c-9}=z_{\text A}$ ~~~et ~~~ $z_2=\overline{z_1}=\overline{z_{\text A}}=z_{\text B}$
		
		
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\item On note A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 

Justifier que le triangle OAB est isocèle en O. 

\begin{solution}
$\text{OB}=\left|z_{\text B} \right|=\left|\overline{z_{\text A}} \right|=\left|z_{\text A} \right|=\text{OA} $

OAB est donc bien isocèle en O
\end{solution}

\item Démontrer qu'il existe une valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur. 

\begin{solution}
OAB est rectangle en O si et seulement si $\text{AB}^2=2\text{OA}^2$ car on sait qu'il est isocèle en O

$\text{AB}^2=\left|z_{\text B}-z_{\text A} \right| ^2=\left|2\text{i}\sqrt{c-9} \right| ^2=4(c-9)$ ~~~et~~~ $2\text{OA}^2=2\left|z_{\text A} \right|^2=2\times (9+c-9)=2c$

$\text{AB}^2=2\text{OA}^2 \equi 4(c-9)=2c \equi c=18$

OAB est donc rectangle si et seulement si $c=18$
\end{solution}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}}


\textbf{Commun a tous les candidats}

\medskip

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à  flanc de montagne. 

Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité 2~m, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe 
$\mathcal{C}$. 

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-0.2)(3,3.2)

\psframe[fillstyle=vlines](-3,0)(3,3)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{13.5 x dup mul 2 mul sub ln}
\psline(2.5,0)(-2.5,0)}
\rput(-2.1,2.5){montagne}\rput(0,1.6){zone de creusement}
\uput[ur](1,2.1){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-0.2)(3,3.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center} 

On admet que $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 2,5~;~2,5]$ par: 

\[f(x) = \ln \left(- 2x^2 + 13,5\right).\] 

L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement. 

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ pour $x \in  [- 2,5~;~2,5]$.

\begin{solution}
Sur $[- 2,5~;~2,5],~0 \leqslant x^2 \leqslant 6,25 \iff 0 \leqslant 2x^2 \leqslant 12,5 \iff - 12,5 \leqslant - 2x^2 \leqslant 0 \iff $

$1 \leqslant - 2x^2 + 13,5 \leqslant 13,5$. 

$f = \ln (u)$ avec $u$ dérivable et strictement positive sur $[- 2,5~;~2,5]$ , \:\:
$f$ est donc dérivable sur $[- 2,5~;~2,5]$ 

$f'=\dfrac{u'}{u}$ avec $\begin{cases}
u(x) = -2x^2+13,5\\ u'(x)= - 4x
\end{cases}$

$\forall x \in [- 2,5~;~2,5]\:,\:f'(x) = \dfrac{-4x}{-2x^2+13,5}$

\end{solution}

\item Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction $f$ sur 
$[- 2,5~;~2,5]$. 

En déduire le signe de $f$ sur $[- 2,5~;~2,5]$. 

\begin{solution}
sur $[- 2,5~;~2,5]$,\:on a vu que $-2x^2 + 13,5 > 1 > 0$  donc $f'(x)$ est du signe de $- 4x$ soit $f'(x) > 0$ sur $[- 2,5~;~0[$ et $f'(x) < 0$ sur $]0~;~2,5]$. On en déduit le tableau suivant :

\begin{center}
		\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 2}
		\begin{pspicture}(9,3)
		\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3)
		\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$-2,5$} \uput[u](5,2.4){$0$} \uput[u](8.5,2.4){$2,5$} 
		\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$+$} \rput(5,2.25){0}\rput(7,2.25){$-$}
		\uput[u](1.5,0){$0 $}
		\uput[d](5,2){$\ln(13,5) $}
		\uput[u](8.5,0){$0 $}
		\rput(0.5,1){$f(x)$}
		\psline{->}(2,0.3)(4.7,1.5)
		\psline{->}(5.3,1.5)(8,0.3)
		\end{pspicture}
		\end{center}
		
		Conclusion : sur l'intervalle $[- 2,5~;~2,5]$, \: $f(x) \geqslant 0$. 
\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Aire de la zone de creusement}

\medskip 

On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est symétrique par rapport à  l'axe des ordonnées du repère. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}$ est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.

\begin{solution}

D'après les deux points sur l'axe des abscisses, le diamètre d'un tel cercle serait de 5 donc son rayon de 2,5 or $f(0)=\ln(13,5)\neq 2,5$

$\mathcal{C}$ n'est donc pas un arc de cercle de centre O 
\end{solution}

\item Justifier que l'aire, en mètre carré, de la zone de creusement est 

$\mathcal{A} = 8\displaystyle\int_0^{2,5}  f(x)\:\text{d}x$. 

\begin{solution}
La courbe $\mathcal{C}$ étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et au dessus de l'axe des abscisses, l'aire est donnée par $2\displaystyle\int_0^{2,5}  f(x)\:\text{d}x$ en unité d'aire.

Or une unité d'aire est de 4 m$^2$ puisque l'unité du repère orthonormé est de 2 m.

Finalement l'aire de creusement est bien donnée par $\mathcal{A} = 8\displaystyle\int_0^{2,5}  f(x)\:\text{d}x$.
\end{solution}

\item L'algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de $I = \displaystyle\int_0^{2,5}  f(x)\:\text{d}x$, notée $a$. 

On admet que : $a \leqslant  I \leqslant a + \dfrac{f(0) - f(2,5)}{n}\times  2,5$. 

	\begin{enumerate}
		\item Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour $R$ et $S$ lors de l'exécution de l'algorithme pour $n = 50$. 

Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes. 

\begin{solution}
 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-2}
Initialisation						&$S = 0$,   $n = 50 $&\multicolumn{2}{c}{~}\\  \hline     
Boucle Pour						&Étape $k$ 			&  $R$ &  $S$\\ \hline   
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  1							&   \surj{$0,05 f(0,05)= \np{0,130116}$}   		&\surj{$\np{0,130116}$}\\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  2							&   \np{0,130060}&\np{0,260176}  \\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  3							&   \np{0,129968}&\np{0,390144} \\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  4							&   \np{0,129837}   &\surj{\np{0,519981}} \\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c}{~}	&\multicolumn{1}{c}{\vdots}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}\\\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&24 &  \np{0,118137}&   \np{3,025705}\\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{~}&25&   \np{0,116970}&   \np{3,142675} \\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}\\ \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&49&   \np{0,020106}&   \np{5,197538} \\ \cline{2-4}   
\multicolumn{1}{c|}{~}&50&   \surj{$0,05 \times f(2,5) = 0$}&  \surj{$S + 0 = \np{5,197538}$}  \\ \hline
Affichage & S = \surj{$\np{5,197538}$} &\multicolumn{2}{c}{~}\\ \cline{1-2}
\end{tabularx}
\end{center}

\end{solution}

		\item En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement. 
		
		\begin{solution}
L'algorithme donne une valeur approchée par défaut de $I$ et il est admis que :

$a \leqslant I \leqslant a + \dfrac{f(0) - f(2,5)}{n}\times 2,5$, donc on obtient :

$\np{5,197538} \leqslant I \leqslant \np{5,197538} + \dfrac{\ln (13,5)}{50}\times 2,5 $ ou

$\np{5,197538} \leqslant I \leqslant \np{5,197538} + \np{0,130135}$ et enfin 
$\np{5,197538} \leqslant I \leqslant \np{5,32767}$

Or $\mathcal{A}=8I$, donc 

$8 \times \np{5,197538} \leqslant 8 \times I \leqslant 8 \times \np{5,32767}$ ou 

$41,5803 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 42,622$ donc $42-1 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 42+1$.

Donc l'aire de creusement a une valeur approchée de 42 m$^2$, au mètre carré près.
		\end{solution}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}}


\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$   :\:  $u_{n+1} = 2u_n - n + 3$ ; 
\item[$\bullet~~$] la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\bigskip 

\textbf{Partie A : Conjectures}

\medskip 

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à  l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textbf}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  &A   			&B   	&C\\ \hline  
1 &rang $n$	&terme $u_n$&terme $v_n$\\ \hline    
2 &0   			&1    	&1 \\ \hline     
3 &1   			&5     	&2\\ \hline      
4 &2   			&12    	&4\\ \hline      
5 &3   			&25    	&8 \\ \hline     
6 &4   			&50    	&16\\ \hline 
\end{tabularx}     
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ? 

\begin{solution}
en B3 : \og $=2B2 - A2 + 3$ \fg 

en C3 : \og $ = 2\wedge (A3)$ \fg ~ ou ~ \og $=2\times C2$ \fg
\end{solution}

\item Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textsc{}}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
12   &10   	&\np{3080}   &\np{1024}\\ \hline     
13   &11   	&\np{6153}   &\np{2048}\\ \hline     
14   &12   	&\np{12298}  &\np{4096}\\ \hline      
15   &l3    &\np{24587}  &\np{8192}\\ \hline      
\end{tabularx}     
\end{center}

Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. 

\begin{solution}
La limite de $\left(u_n\right)$ semble être $+\infty$ 

Celle de $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ semble être 3
\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la suite} \boldmath $\left(u_n\right)$\unboldmath

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a 

$u_n = 3 \times  2^n + n - 2$. 

\begin{solution}
On procède par récurrence:

\textbf{initialisation}: $u_0=1$ et $3 \times  2^0 + 0 - 2=1$~~~donc l'égalité est vérifiée au rang 0

\textbf{hérédité}: Soit $n$ un naturel quelconque et supposons que : $ u_n = 3 \times  2^n + n - 2$

D'après la définition : $u_{n+1} = 2u_n - n + 3 = 2\left(3 \times  2^n + n - 2 \right) - n + 3 = 3 \times 2^{n+1} + 2n - 4 - n + 3 = 3 \times 2^{n+1} + n - 1$ soit 

$u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1} + n + 1 - 1 - 1 = 3 \times 2^{n+1} + (n + 1)  - 2$.

La relation est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : la relation est vraie au rang $0$, et si elle est vraie au rang $n$, elle est vraie au rang $n + 1$. D'après le principe de la récurrence on a donc démontré que pour tout naturel $n$,

$u_n = 3 \times  2^n + n - 2$.
\end{solution}

\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. 

\begin{solution}
\Lim{n}{+\infty}{2^n}=$+\infty$ donc par somme, \Lim{n}{+\infty}{u_n}=$+\infty$
\end{solution}

\item Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à  1 million. 

\begin{solution}
$u_{18} = \np{786448} < \np{1000000}$ et $u_{19} = \np{1572881} > \np{1000000}$.

19 est donc le rang du premier terme supérieur  à un million.
\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Étude de la suite } \boldmath$\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à  partir du rang 3. 

\begin{solution}
$\forall n \in \N~,~\dfrac{u_n}{v_n}=3+\dfrac{n-2}{2^n}$

$\forall n \in \N~,~\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\dfrac{u_n}{v_n}=\left( 3+\dfrac{n-1}{2^{n+1}}\right) -\left( 3+\dfrac{n-2}{2^n}\right)=\dfrac{n-1-2(n-2)}{2^{n+1}}=\dfrac{-n+3}{2^{n+1}}$ est tu signe de $-n+3$

Donc $\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\dfrac{u_n}{v_n}<0$ si $n>3$ alors $\left( \dfrac{u_n}{v_n}\right) $ est décroissante à partir du rang 3
\end{solution}

\item On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal  à  4, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}$. 

Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. 

\begin{solution}
$\forall n \in \N~,~\dfrac{u_n}{v_n}=3+\dfrac{n-2}{2^n}=3+\dfrac{n}{2^n}-\dfrac{1}{2^{n-1}}$

d'après l'encadrement donné, on en déduit que pour $n\geqslant 4~,~3-\dfrac{1}{2^{n-1}}<\dfrac{u_n}{v_n}\leqslant 3+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2^{n-1}}$

Or \Lim{n}{+\infty}{\dfrac{1}{n}}= 0 et  \Lim{n}{+\infty}{\dfrac{1}{2^{n-1}}}=0 alors d'après le théorème des gendarmes on a \Lim{n}{+\infty}{\dfrac{u_n}{v_n}}=3 
\end{solution}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}}


\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

On définit les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par :

\[u_0 = v_0 = 1\: \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} = 2u_n + 3v_n\: \text{et}\: v_{n+1} = 2u_n + v_n.\]

On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

\bigskip

\textbf{Partie A : Conjectures}

\medskip

Flore a calculé les premiers termes des suites à  l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textbf}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C\\ \hline
1& rang $n$	& terme $u_n$	& terme $v_n$\\ \hline
2& 0 		&1 				&1\\ \hline
3& 1 		&5 				&3\\ \hline
4& 2 		&19 			&13\\ \hline
5& 3 		&77 			&51\\ \hline
6& 4 		&307			&205\\ \hline
\end{tabularx}     
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le
bas les termes des suites ?

\begin{solution}
en B3 : \og $=2*B2+3*C2$ \fg 

en C3 : \og $=2*B2+C2$ \fg 
\end{solution}

\item Soit $n$ un entier naturel.

Conjecturer la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$. Aucune justification n'est demandée.

\begin{solution}
PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$ semble être de 1 (c'est le cas pour les 5 premiers termes)
\end{solution}

\item Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textbf}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
12 &10 &\np{1258291} &\np{838861}\\ \hline
13 &11 &\np{5033165} &\np{3355443}\\ \hline
14 &12 &\np{20132659} &\np{13421773}\\ \hline
15 &13 &\np{80530637} &\np{53687091}\\ \hline
\end{tabularx}     
\end{center}

Elle émet la conjecture : \og la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ converge \fg.

Qu'en penser ?

\begin{solution}
$\dfrac{u_{10}}{v_{10}}\approx 1,499999404$~~~,~~~$\dfrac{u_{11}}{v_{11}}\approx 1,500000149$~~~,~~~$\dfrac{u_{12}}{v_{12}}\approx 1,499999963$~~~,~~~$\dfrac{u_{13}}{v_{13}}\approx 1,500000009$

il semblerait que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ converge vers 1,5
\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude arithmétique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : 

$2u_n - 3v_n = (- 1)^{n+1}$.

\begin{solution}

\textbf{Initialisation}: $2u_0-3v_0=-1$ et $(-1)^{0+1}=-1$~~~donc l'égalité est vérifiée au rang 0

\textbf{Hérédité}: Supposons que pour  un entier naturel $p$ quelconque, \:$2u_p - 3v_p = (-1)^{p+1}$,

alors  $2u_{p+1}-3v_{p+1}=2\left( 2u_p+3v_p\right) -3\left( 2u_p+v_p\right)=-2u_p+3v_p=-\left(2u_p -3v_p \right) =-(-1)^{p+1}=(-1)^{p+2}$. 

Il y a donc hérédité à partir du rang 0.

La relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie à un rang $p$ elle est vraie au rang suivant $p + 1$. D'après le principe de récurrence 

\vspace{0.25cm}

$\forall n \in \N~,~2u_n-3v_n = (-1)^{p+1}$
\end{solution}

\item Soit $n$ un entier naturel.

Déduire de la question précédente la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$.

\begin{solution}

D'après le théorème de Bezout, on peut déduire que PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)=1$ car $2u_n-3v_n =1$ ou $-2u_n+3v_n =1$

\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Étude matricielle}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on définit :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la matrice colonne $X_n = \begin{pmatrix}u_n\\ v_n\end{pmatrix}$,
\item[$\bullet~~$] les matrices carrées $P = \begin{pmatrix} 1&3\\- 1&2\end{pmatrix}$ et $Q_n = \begin{pmatrix}(- 1)^n&3 \times 2^{2n}\\(- 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}.$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la matrice $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$
est l'inverse de $P$.

\begin{solution}

$\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}\times P=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}=I_2$~~et~~$P\times \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix} = \dfrac{1}{5} P\times \begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}=I_2$

On en déduit que $P$ admet $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$ pour inverse.

\end{solution}

		\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $X_n = Q_nP^{-1} X_0$.

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a \renewcommand\arraystretch{1.9}$\left\{\begin{array}{l c l}
u_n&=&\dfrac{(- 1)^{n}+ 3\times 2^{2n+1}}{5}\\
v_n&=&\dfrac{(- 1)^{n}+  2^{2n+2}}{5}
		\end{array}\right.$ \renewcommand\arraystretch{1}
		
		\begin{solution}
		
		$Q_nP^{-1}=Q_n\times \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$
		
		$\hphantom{Q_nP^{-1}}= \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}(- 1)^n&3 \times 2^{2n}\\(- 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$
		
		$\hphantom{Q_nP^{-1}}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2\times (- 1)^{n}+3\times 2^{2n}&-3\times (-1)^{n}+3\times 2^{2n} \\2\times(- 1)^{n+1}+2^{2n+1}&-3\times (-1)^{n+1}+ 2^{2n+1}\end{pmatrix}$
				
		De plus $X_0 = \begin{pmatrix}u_0\\ v_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$
		
		Donc $X_n=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}
		2\times (- 1)^{n}+3\times 2^{2n}-3\times (-1)^{n}+3\times 2^{2n}\\2\times(- 1)^{n+1}+2^{2n+1}-3\times (-1)^{n+1}+ 2^{2n+1}
		\end{pmatrix}$
		
		$\hphantom{Donc X_n}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}
				 (- 1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}\\(- 1)^{n}+2^{2n+2}
				\end{pmatrix}$
				
On a donc bien pour tout entier naturel $n$, on a \renewcommand\arraystretch{1.9}$\left\{\begin{array}{l c l}
		u_n&=&\dfrac{(- 1)^{n}+ 3\times 2^{2n+1}}{5}\\
		v_n&=&\dfrac{(- 1)^{n}+  2^{2n+2}}{5}
				\end{array}\right.$ \renewcommand\arraystretch{1}
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $\dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\frac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\frac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2}$.
		
		\begin{solution}
		
Pour tout entier naturel $n$, on a $\dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{(- 1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}}{(- 1)^{n}+2^{2n+2}}=\dfrac{2^{2n+1}\left( \frac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3\right) }{2^{2n+1}\left( \frac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2\right) }$
		
		On a bien $\forall n \in \N~,~ \dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\frac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\frac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2}$
		
		\end{solution}
		\item En déduire la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
		
		\begin{solution}
$-\dfrac{1}{2^{2n+1}} \leqslant \dfrac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}} \leqslant \dfrac{1}{2^{2n+1}}$ et \Lim{n}{+\infty}{\dfrac{1}{2^{2n+1}}}=0
		
On a donc, d'après le théorème des gendarmes, \Lim{n}{+\infty}{\dfrac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}}=\Lim{n}{+\infty}{\dfrac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}}=0
		
On en déduit, par opération sur les limites, \Lim{n}{+\infty}{\dfrac{u_n}{v_n}}=$\dfrac{3}{2}$ qui confirme la conjecture émise
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 3 points}}


 \textbf{Commun  à  tous les candidats}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH fourni en annexe. 

L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$. 

On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + \dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z -1 = 0$. 

Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan $\mathcal{P}$. 

La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques. 


\begin{solution}
\textbf{\blue { version 1}}

Le point B$(1~;~0~;~0) \in \mathcal{P}$

Le point M$(0~;~2~;~0) \in \mathcal{P}$. M est le symétrique de A par rapport à D.

Le point N$(0~;~0~;~3) \in \mathcal{P}$. N est défini par $\vect{\text{AN}}= 3\vect{\text{AE}}$.

(BM) $\subset (\text{ABC})$, (BM) coupe [DC] en un point I.

(BN) $\subset $ (ABE), (BN) coupe [EF] en un point L.

Les plans (ABE) et (CDH) sont parallèles donc $\mathcal{P}$ les coupe suivant deux droites parallèles.

La parallèle à (BJ) passant par I coupe [GH] en K.

\emph{Rem.} On peut finir à la règle seulement en traçant (MN) et (EH) sécantes en P. La droite (JP) coupe l'arête [GH] en K.

La section du cube par $\mathcal{P}$ est la surface limitée par le parallélogramme BIKJ.

\end{solution}

\bigskip

\begin{solution}
\textbf{\blue { version 2}}

On cherche des points communs au plan et au cube.

Avec le choix de l'origine du repère en A les équations des plans contenant les faces sont simples :

\:$x = 0$, \:$ x= 1$,\: $y = 0$,\: $y = 1$,\: $z = 0$, $z = 1$. 

Comme une équation du plan $\mathcal{P}$ est $x + \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{3}z = 1$, on cherche donc trois nombres  de somme  1 ;  et si l'un d'entre eux est égal à 1 , la somme des deux autres est nulle. Il y a déjà trois possibilités :

$\bullet~~$$x = 1$, d'où $\dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{3}z = 0 \iff 3y + 2z = 0$ : le point B(1~;~0~;~0) est l'un des points cherchés.

$\bullet~~$$y = 2$, donne $x + \dfrac{1}{3}z = 0$ ; on obtient le point M(0~;~2~;~0)

$\bullet~~$$z = 3$, donne $x + \dfrac{1}{2}y = 0$ ; on obtient le point N(0~;~0~;~3)

$\bullet~~$$x = \dfrac{1}{2}$ et $y = 1$ donnent $\dfrac{1}{3}z = 0$ ; on obtient le point I$\left(\dfrac{1}{2}~;~1~;~0\right)$ (milieu de [CD])

$\bullet~~$$x = 0$ et $y = 1$ donnent $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}z = 1 \iff 2z = 3 \iff z = \dfrac{3}{2}$ ; on obtient le point L$\left(0~;~1~;~\dfrac{3}{2}\right)$.

Les droites (IL) et (GH) sont coplanaires et sécantes en K.

Les droites (BN) et (EF) sont coplanaires et sécantes en J.

La section du cube par $\mathcal{P}$ est la surface limitée par le parallélogramme BIKJ.

\end{solution}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 5,linewidth=1.1pt}  
\begin{pspicture}(10,16)
%\psgrid
\psframe(1,1)(5,5)%BCGF
\psline(5,1)(7,3.2)(7,7.2)(5,5)%CDHG
\psline(7,7.2)(3,7.2)(1,5)%HEF
\psline[linestyle=dashed]{->}(3,3.2)(1,1)%AB
\psline[linestyle=dashed]{->}(3,3.2)(7,3.2)%AD
\psline[linestyle=dashed]{->}(3,3.2)(3,7.2)%AE
\uput[ul](3,3.2){A} \uput[dl](1,1){B} \uput[dr](5,1){C} \uput[ur](7,3.2){D}
\uput[ul](3,7.2){E} \uput[l](1,5){F} \uput[r](5,5){G} \uput[ur](7,7.2){H} 
\uput[u](7,9.2){L}
\psline[linecolor=red]{-}(7,3.2)(11,3.2)%DM
\psline[linecolor=red]{-}(3,7.2)(3,15.2)%EN
\psline[linecolor=red]{-}(7,7.2)(7,9.2)%HL
\psline[linecolor=green]{-}(6,2.1)(7,9.2)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green]{-}(1,1)(6,2.1)%BI
\psline[linecolor=green]{-}(6,2.1)(11,3.2)%IM
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green]{-}(1,1)(1.62,5.7)%BJ
\psline[linecolor=green]{-}(1.62,5.7)(3,15.2)%JN
\psline[linecolor=green]{-}(1.667,5.7)(6.667,6.833)%JK
\psline[linecolor=green]{-}(6,2.1)(6.667,6.833)%IK
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green]{-}(1,1)(6,2.1)%BI
\psline[linestyle=dashed](11,3.2)(3,15.2)%MN
\psline[linestyle=dashed](3,7.2)(9,7.2)%EH
\uput[dr](6,2.1){\green I}
\uput[r](11,3.2){M}\uput[ur](8.3,7.2){P}
\psline[linestyle=dashed](8.3,7.2)(1.62,5.7)
\uput[ul](3,15.2){N}
\uput[ul](1.62,5.7){\green J}
\uput[dr](6.667,6.833){\green K}
\pspolygon[fillstyle=vlines](1,1)(6,2.1)(6.667,6.833)(1.62,5.7) 
\end{pspicture}
\end{center}
%\end{solution}
\end{document}