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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{10 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Amérique du Nord~\decofourright\\[6pt]10 juin 2010}}

\vspace{0,25cm}

 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

 \end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%\emph{Les sept questions suivantes sont indépendantes.}

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Écrire la fraction $\dfrac{84}{126}$ sous forme irréductible en détaillant tous les calculs. 
$\dfrac{84}{126} = \dfrac{3 \times 2 \times 2 \times 7}{2 \times 7 \times 3 \times 3} = \dfrac{2}{3}$.
\item %Donner l'écriture scientifique du nombre 	$\dfrac{6 \times 10^{12} \times 35 \times 10^{-4}}{14 \times 10^3}$ (avec au moins une étape de calcul).
$\dfrac{6 \times 10^{12} \times 35 \times 10^{-4}}{14 \times 10^3} = \dfrac{2\times 3 \times 5 \times 7}{2 \times 7}\times 10^{8-3} = 15\times 10^{5}$. 
\item %Écrire l'expression $\sqrt{20} - \sqrt{15^2 \times 5} + 2\sqrt{45}$ sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un nombre entier relatif (indiquer toutes les étapes de votre calcul).
$\sqrt{20} - \sqrt{15^2 \times 5} + 2\sqrt{45} = \sqrt{4\times 5} - \sqrt{15^2} \times \sqrt{5} + 2\sqrt{9 \times 5} =$

$ \sqrt{4}\times \sqrt{5} - 15\sqrt{5}  + 2 \times 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 15\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = - 7\sqrt{5}$. 
\item % Voici les tarifs pratiqués dans deux magasins: 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item Magasin A : 17,30~\euro{} la cartouche d'encre, livraison gratuite. 
%\item Magasin B : 14,80~\euro{} la cartouche d'encre, frais de livraison de 15~\euro{}  quel que soit le nombre de cartouches achetées.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Écrire et résoudre l'équation permettant de déterminer le nombre de cartouches d'encre pour lequel les deux tarifs sont identiques.
Soit $x$ le nombre de cartouches cherché. Il faut que :

$17,3x = 14,8x + 15$ soit $2,5x = 15$ ou $0,5x = 3$ ou $x = 6$ : on paiera le même prix si l'on commande 6 cartouches.
\item %On rappelle l'identité remarquable suivante : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. En déduire la forme développée de l'expression $(2x- 3)^2$.
$(2x- 3)^2 = 4x^2 + 9 - 12x$. 
\item %Donner la valeur décimale arrondie au dixième du nombre $\sqrt{5 + 3} - 6 \sqrt{11}$. 
$\sqrt{5 + 3} - 6 \sqrt{11} = \sqrt{8} - 6\sqrt{11} = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{11} \approx - 17,07$ soit $- 17,1$ au dixième près.
\item %On rappelle l'identité remarquable suivante : $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

%En déduire la forme factorisée de l'expression $(7x + 2)^2 - 25$.
$(7x + 2)^2 - 25 = (7x + 2)^2 - 5^2 = [(7x + 2) + 5][(7x + 2) - 5] = (7x + 2 + 5)(7x + 2 - 5) = (7x + 7)(7x - 3) = 7(x + 1)(7x - 3)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

%M. Dubois fait construire une maison et aujourd'hui il visite le chantier.
%
%Il observe un électricien.
% 
%Il constate que celui-ci a, à coté de lui, 2 boîtes.
% 
%Dans la première il y a 40 vis à bout rond et 60 vis à bout plat.
%
%Dans la deuxième il y a 38 vis à bout rond et 12 vis à bout plat.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %L'électricien prend au hasard une vis dans la première boîte. Quelle est la probabilité que cette vis soit à bout rond ?
La probabilité est égale à $\dfrac{40}{40 + 60} = \dfrac{40}{100} = 0,4 = 40\,\%$. 
\item %L'électricien a remis cette vis dans la première boîte. Les deux boîtes sont donc inchangées.
 
%Il prend maintenant, toujours au hasard, une vis dans la première boîte puis une vis dans la deuxième boîte. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quels sont les différents tirages possibles ?
Il peut tirer : deux vis à bout rond ou deux à bout plat ou une vis de chaque sorte. 
		\item %Montrer qu'il a plus d'une chance sur deux d'obtenir deux vis différentes.
La probabilité de tirer rond puis plat est égale à $\dfrac{40}{100} \times \dfrac{12}{50} = 0,4 \times 0,24 = 0,096$.

La probabilité de tirer plat puis rond est égale à $\dfrac{60}{100} \times \dfrac{38}{50} = 0,6 \times 0,76 = 0,456$.

La probabilité de tirer deux vis différentes est donc égale à $0,096 + 0,456 = 0,552 > 0,5$, soit effectivement plus d'une chance sur deux. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
 
\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
%Sur le chantier de sa future maison, M. Dubois croise un maçon qui semble avoir des difficultés à porter une tige d'acier pleine, de forme cylindrique.
% 
%Cette tige mesure 1,5~m de long et a un rayon de base de 4~cm.
%\medskip
%
%\begin{center} 
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,1)
%\psellipse(0.2,0.5)(0.2,0.5)
%%\psellipse(10,0.5)(0.2,0.5)
%\pscurve(10,0)(10.1,0.125)(10.15,0.25)(10.19,0.375)(10.20,0.5)(10.19,0.625)(10.15,0.75)(10.1,0.875)(10,1)
%\psline(0.2,1)(10.,1)
% \psline(0.2,0)(10.,0)
%\psline(0.30,0.125)(10.1,0.125)
%\psline(0.35,0.25)(10.15,0.25)
%\psline(0.39,0.375)(10.19,0.375)
%\psline(0.40,0.5)(10.20,0.5)
%\psline(0.39,0.625)(10.19,0.625)
%\psline(0.35,0.75)(10.15,0.75)
%\psline(0.30,0.875)(10.1,0.875)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer le volume de cette tige arrondie au cm$^3$ près.
$V = \pi \times r^2\times h = \pi \times 4^2 \times 150 = \np{2400}\pi \approx \np{7539,8}$ soit environ \np{7540}cm$^3$. 
\item %L'acier a une masse volumique de 7,85 g/cm$^3$. Calculer la masse de cette tige arrondie au kg.
1~cm$^3$ d'acier a une masse de 7,85~g, donc la tige a une masse de $\np{7540} \times 7,8 = \np{58812}$~g soit environ 59~kg. Effectivement le maçon aura du mal à porter cette tige...
\end{enumerate}

\newpage
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
%Un plaquiste souhaite recouvrir un mur rectangulaire avec des plaques isolantes.
%
%Ce mur mesure 270~cm de haut sur 330~cm de large.
% 
%Les plaques isolantes doivent être de forme carrée, les plus grandes possibles et il ne veut pas de chutes. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le PGCD des nombres $330$ et $270$ en indiquant la méthode utilisée.
Avec l'algorithme d'Euclide :

$330 = 270 \times 1 + 60$ ;

$270 = 60 \times 4 + 30$ ;

$60 = 30 \times 2 + 0$

Le dernier reste non nul est le PGCD : 30. 
\item %En déduire les dimensions d'une de ces plaques isolantes et le nombre de plaques nécessaires.
Les plaques sont des carrés de 30~cm de côté et comme $330 = 30 \times 11$ et 

$270 = 30 \times 9$, il couvrira le mur avec $11 \times 9 = 99$~plaques carrées.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

%À l'intérieur de la maison, un menuisier étudie une plaque de bois dessinée ci-contre : 
%
%\emph{La figure n'est pas aux bonnes dimensions.}
%
%\medskip
%
%\parbox{0.52\linewidth}{Le menuisier a tracé la perpendiculaire à [EC] passant par A, il a nommé D le point d'intersection de cette perpendiculaire avec [EC].
%
%Il a également tracé [AC].
%
%Il a mesuré AB = 115 cm, BC = 80 cm,
%
%DC = 100 cm,  ED = 20 cm,
%
%AC = 140 cm et 	AF = 28 cm.
%
%\begin{enumerate}
%\item Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier. 
% 
%\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$.
% 
%\item Les droites (AD) et (FE) sont-elles parallèles ? Justifier.
%\end{enumerate}}\hfill
%\parbox{0.46\linewidth}{\psset{unit=0.82cm}
%\begin{pspicture}(7,6)
%\pspolygon(0,5.8)(2,0)(6.5,1.5)(6.4,5)(1.3,5)%FECBA
%\uput[u](0,5.8){F} \uput[dl](2,0){E} \uput[dr](6.5,1.5){C} 
%\uput[dr](2.9,0.3){D} \uput[ur](6.4,5){B} \uput[u](1.3,5){A} 
%\psline[linestyle=dashed](2.9,0.3)(1.3,5)(6.5,1.5)%DAC
%\psline(3.2,0.4)(3.1,0.65)(2.8,0.54)
%\end{pspicture}} 
\begin{enumerate}
\item On a AC$^2 = 140^2 = \np{19600}$.

D'autre part $\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 115^2 + 80^2 = \np{13225} + \np{6400} = \np{19625} \ne \np{19600}$.

Donc $\text{AB}^2 + \text{BC}^2 \ne \text{AC}^2$ : la réciproque du théorème de Pythagore n'est pas vraie : le triangle ABC n'est pas rectangle en B.
\item Dans le triangle ACD rectangle en D, on a $\cos \widehat{\text{ACD}} = \dfrac{\text{CD}}{\text{AC}} = \dfrac{100}{140} = \dfrac{5}{7}$ ; la calculatrice livre $\widehat{\text{ACD}} \approx 44,41$\degres soit 44,4\degres au dixième près.
\item On a $\dfrac{\text{CA}}{\text{CF}} = \dfrac{140}{140 + 28} = \dfrac{140}{168} = \dfrac{20}{24} = \dfrac{5}{6}$ ; d'autre part  $\dfrac{\text{CD}}{\text{CE}} = \dfrac{100}{100 + 20} = \dfrac{100}{120} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$.

On a donc $\dfrac{\text{CA}}{\text{CF}} = \dfrac{\text{CD}}{\text{CE}}$ et d'après la réciproque de la propriété de Thalès les droites (AD) et(FE) sont parallèles.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

%Les deux parties sont indépendantes.
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
%M. Dubois réfléchit à son déménagement.
%
%Il a fait réaliser deux devis :

\begin{enumerate}
\item %L'entreprise A lui a communiqué le graphique présenté en annexe.
 
%Celui-ci représente le coût du déménagement en fonction du volume à transporter. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quel serait le coût pour un volume de 20 m$^3$ ? Vous laisserez vos tracés apparents.
On lit un coût de 600~\euro{} pour un volume de 20~m$^3$. 
		\item %Le coût est-il proportionnel au volume transporté ? Justifier.
Oui car la représentation graphique est une droite contenant l'origine ; c'est la représentation d'une application linéaire. 
%Soit $g$ la fonction qui à $x$, volume à déménager en m$^3$, associe le coût du déménagement avec cette entreprise. Exprimer $g(x)$ en fonction de $x$.
On a vu $g(20) = 600 = a \times 20$, donc $g(x) = 30x$.
	\end{enumerate} 
\item %L'entreprise B lui a communiqué une formule : $f(x) = 10x + 800$ où $x$ est le volume $\left(\text{en~m}^3\right)$ à transporter et $f(x)$ le prix à payer (en \euro). 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f(80)$. Que signifie le résultat obtenu ?
$f(80) = 10\times 80 + 800 = \np{1600}$~\euro. 
		\item %Déterminer par le calcul l'antécédent de \np{3500} par la fonction $f$.
Il faut trouver $x$ tel que $f(x) =  10x + 800 = \np{3500}$ soit $10x  = \np{2700}$ et enfin $x = 270$.
		\item %Représenter graphiquement la fonction $f$ sur le graphique présenté en annexe.
$f$ est une application affine ; sa représentation graphique est une droite qui contient le point de coordonnées $(0~;~800)$. On peut utiliser le point de coordonnées $(80~;~\np{1600})$. Voir le graphique 
	\end{enumerate} 
\item %M. Dubois estime à 60~m$^3$ le volume de son déménagement. Quelle société a-t-il intérêt à choisir ? Vous justifierez graphiquement votre réponse en laissant vos tracés apparents.
La première droite rencontrée en traçant la verticale passant par le point de coordonnées (60~;~0) est la représentation de $f$. Il a donc un intérêt financier à choisir la société B \np{1400}~\euro{} au lieu de \np{1800}~\euro{} avec la société A.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Pour aller visiter le chantier de sa future maison, situé à 442~km de son actuel domicile, M. Dubois part de chez lui à 10~h~00 du matin. Il roule 2~h~30 min, fait une pause de 80~minutes, puis roule à nouveau 1~h~45~min avant d'arriver au chantier.
 
%À quelle heure arrive-t-il au chantier ? Justifier la réponse.
Il arrive à : 10~h + 2 h 30 min + 80 min + 1 h 45 min = 13 h 155 min = 15~h 35~min. 
\item %Le camion des déménageurs a mis 6~h~30 pour réaliser ce trajet. A quelle vitesse, en moyenne, a-t-il roulé ? 
On a $v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{442}{6,5} = 68$~km/h.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC LA COPIE\\
\vspace{1cm}
ANNEXE}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.12cm,yunit=0.006cm}
\begin{pspicture}(90,2700)
\multido{\n=0+5}{19}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2700)}
\multido{\n=0+50}{55}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(90,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=3000]{->}(0,0)(90,2700)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{86.66}{30 x mul}
\uput[u](85,0){volume en m$^3$}\uput[r](0,2700){coût en euros}
\rput(85,2700){\blue Société A}
\multido{\n=0+100}{27}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](20,0)(20,600)(0,600)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{90}{10 x mul 800 add}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](60,0)(60,1400)(0,1400)
\rput(85,1750){\green Société B}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}