\documentclass[10pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-all,pst-eucl} %\def\psvlabel#1{\nombre{$#1$}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{multicol} %Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \setlength\parindent{0mm} %%%% Commandes perso FH \newcommand{\ds}{\displaystyle}% displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit \newcommand{\pg}{\geqslant}% plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant}% plus petit ou égal \newcommand{\R}{\textbf{R}} \newcommand{\N}{\textbf{N}} \newcommand{\D}{\textbf{D}} \newcommand{\Z}{\textbf{Z}} \newcommand{\Q}{\textbf{Q}} \newcommand{\C}{\textbf{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Amérique du Sud 22 novembre 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } %%% commandes à placer après hyperref \renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}\,}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i}}% le i des complexes \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S } \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small 22 novembre 2016} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016~\decofourright\\[10pt] }} \end{center} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points} % %\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} % %\textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ données en annexe 1 sont les représentations graphiques, dans un repère orthonormé \Oij, de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\cd 0~;~+ \infty\cd$. On considère les points A(0,5~;~1) et B$(0~;~-1)$ dans le repère \Oij. On sait que O appartient à $\mathcal{C}_f$ et que la droite (OA) est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point O. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose que la fonction $f$ s'écrit sous la forme $f(x) = (ax + b)\e^{- x^2}$ où $a$ et $b$ sont des réels.% Déterminer les valeurs exactes des réels $a$ et $b$, en détaillant la démarche. On sait que le point O appartient à $\mathcal C_f$ donc $f(0)=0$ ce qui équivaut à $(0+b)\e^{0}=0$ ou encore $b=0$. Donc $f(x)$ s'écrit $f(x)=ax\e^{-x^2}$. La droite (OA) est tangente à la courbe $\mathcal C_f$ en O, et elle a pour coefficient directeur 2, donc $f'(0)=2$. $f(x)=ax\e^{-x^2}$ donc $f'(x)=a\times \e^{-x^2} +ax \times (-2x)\e^{-x^2} = (a - 2ax^2)\e^{-x^2}$. $f'(0)=2 \iff (a-0)\e^{0}= 2 \iff a=2$; donc $f(x)=2x\e^{-x^2}$. \end{enumerate} \textbf{Désormais, on considère que \boldmath$f(x) = 2x\e^{- x^2}$ pour tout $x$ appartenant à $cd 0~;~+ \infty\cd$\unboldmath} \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item On admettra que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x}\times \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}$. %Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. $\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{l} \ds\lim_{x\to +\infty} x^2 = +\infty\\ \text{on pose } X=x^2\\ \ds\lim_{X\to +\infty} \dfrac{X}{\e^{X}}=0 \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}=0\\ \ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x} = 0 \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x}\times \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}=0 \iff \ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$ \medskip \item% Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. La fonction $f$ est dérivable sur $\cd 0~;~+\infty\cd$ et on a déjà vu que $f(x) = (a - 2ax^2)\e^{-x^2} = (2-4x^2)\e^{-x^2}$ puisque $a=2$. Pour tout $x$, $\e^{-x^2}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2-4x^2$ c'est-à-dire de $4\left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2} + x \right )\left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2} - x \right )$. Sur $\cd 0~;~+\infty\cd$, la dérivée s'annule et change de signe pour $x=\dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}$; $f\left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )=\ds\sqrt{2}\e^{-\frac{1}{2}}\approx 0,86$. On dresse le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~+\infty\cd$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \hspace*{\esp} & +\infty \rule{0pt}{\hauteur} \\ \hline 4\left (\frac{\sqrt{2}}{2} + x\right ) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \rule{0pt}{\hauteur} \\ \hline \frac{\sqrt{2}}{2} - x & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \rule{0pt}{\hauteur} \\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{\sqrt{2}\e^{-\frac{1}{2}}} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} \end{enumerate} \item La fonction $g$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ passe par le point B$(0~;~-1)$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~+ \infty\cd$. \begin{enumerate} \item% Déterminer l'expression de $g(x)$. On sait que la dérivée de $x \longmapsto \e^{u(x)}$ est $x \longmapsto u'(x) \e^{u(x)}$, donc une primitive de $x \longmapsto u'(x) \e^{u(x)}$ est $x \longmapsto \e^{u(x)}$. Donc la fonction $x \longmapsto -2x\e^{-x^2}$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto \e^{-x^2}$ donc une primitive de la fonction $f$ est $g$ définie par $g(x)= -\e^{-x^2} +k$ où $k\in \R$. $\mathcal C_g$ contient le point B\,$(0~;~-1)$, donc $g(0) = -1$, ce qui équivaut à $-\e^{0} +k = -1$ donc $k=0$. La primitive de $f$ dont la courbe représentative passe par le point B est donc la fonction $g$ définie sur $\cd 0~;~+\infty\cd$ par $g(x)=-\e^{-x^2}$. \item Soit $m$ un réel strictement positif. $I_m = \displaystyle\int_0^{m} f(t) \d t = g(m)-g(0) = -\e^{-m^2} -(-1) = 1 - \e^{-m^2}$ \item On cherche $\displaystyle\lim_{m \to + \infty} I_m$: $\left. \begin{array}{l} \ds\lim_{m\to +\infty} -m^2 = -\infty\\ \text{on pose } M=-m^2\\ \ds\lim_{M\to -\infty} \dfrac{X}{\e^{M}}=0 \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{m\to +\infty} \e^{-m^2}=0 \iff \ds\lim_{m\to +\infty} 1- \e^{-m^2}=1 \iff \ds\lim_{m\to+\infty} I_m = 1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Justifier que $f$ est une fonction densité de probabilité sur $[0~;~+ \infty[$. \begin{tabular}[t]{@{}l !{\ \textbullet\ }l} La fonction $f$ est & continue sur $I$\\ & positive sur $I$\\ & telle que $\ds\lim_{m \to +\infty} \ds\int_{0}^m f(t) \d t = 1$ \end{tabular} donc la fonction $f$ est une fonction de densité de probabilité sur $\cd 0~;~+\infty\cd$. \item Soit $X$ une variable aléatoire continue qui admet la fonction $f$ comme densité de probabilité.% Justifier que, pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$,\: $P(X \leqslant x) = g(x) + 1$. Pour tout $x$ de $I$, $P(X \pp x)= \ds\int_{0}^x f(t) \d t = g(x)-g(0)$. Or $g(0)=-\e^{0}= -1$, donc $P(X \pp x) = g(x)+1$. \item% En déduire la valeur exacte du réel $\alpha$ tel que $P(X \leqslant \alpha) = 0,5$. Soit $\alpha$ le réel tel que $P(X \pp \alpha) = 0,5$. $P(X \pp \alpha) = 0,5 \iff g(\alpha)+1=0,5 \iff g(\alpha)=-0,5\\ \phantom{P(X \pp \alpha) = 0,5}\iff -\e^{-\alpha^2}=-0,5 \iff -\alpha^2 = \ln 0,5 \\ \phantom{P(X \pp \alpha) = 0,5} \iff -\alpha^2 = -\ln 2 \iff \alpha^2=\ln 2 \\ \phantom{P(X \pp \alpha) = 0,5} \iff \alpha = \ds\sqrt{\ln 2}$ car $\alpha>0$ \item% Sans utiliser une valeur approchée de $\alpha$, construire dans le repère de l'annexe 1 le point de coordonnées $(\alpha~;~0)$ en laissant apparents les traits de construction. % %Hachurer ensuite la région du plan correspondant à $P(X \leqslant \alpha)$. On construit le point de coordonnées $(\alpha~;~0)$ et on hachure la région du plan correspondant à $P(X \leqslant \alpha)$: \begin{center} \psset{xunit=2.75cm,yunit=2.75cm} \def\xmin {-0.5} \def\xmax {3} \def\ymin {-1.2} \def\ymax {1.1} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin} \psgrid[subgriddiv=2, griddots=10,gridlabels=0, gridcolor=gray] \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none,arrowscale=1.7](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \uput[dl](0,0){O} \psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,180] \def\f{2 x mul 2.7183 -1 x x mul mul exp mul}% définition de la fonction f \psplot[plotpoints=2000,linecolor=red]{0}{\xmax}{\f} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45] { \psplot{0}{0.833}{\f}% courbe de f sur [inf ; sup] \psplot{0.833}{0}{0}% axe des abscisses \closepath % indispensable ! } \def\g{-1 2.7183 -1 x x mul mul exp mul}% définition de la fonction g \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0}{\xmax}{\g} \uput[ur](1.5,0.316){\red $\mathcal C_f$} \uput[dr](1.5,-0.105){\blue $\mathcal C_g$} \psline[ArrowInsideNo=2,ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3,linecolor=red,linestyle=dashed](0,-0.5)(0.833,-0.5)(0.833,0) \uput[dl](0,-0.5){\red $-0,5$} %\uput[dl](0.833,0){\red $\alpha$} \uput[dr](0.833,-0.5){\red $(\alpha,g(\alpha))$} \uput[dl](0.833,0){\red $(\alpha,0)$} \psdots[linecolor=red](0.833,0) \psdots[linecolor=red](0.833,-0.5) \psdots(0.5,1) \uput[ul](0.5,1){A} \psdots[linecolor=blue](0,-1) \uput[-135](0,-1){\blue B} \psplot{-0.5}{0.6}{2 x mul} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points} % %\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} % %\textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. % %Il est attribué \textbf{un point par réponse exacte correctement justifiée}. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. \smallskip On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv. \medskip \textbf{Proposition 1} \smallskip L'ensemble des points du plan d'affixe $z$ tels que $|z - 4| = |z + 2\text{i}|$ est une droite qui passe par le point A d'affixe 3i. \medskip \textbf{Proposition vraie} \medskip \begin{minipage}{0.6\linewidth} \begin{list}{\textbullet}{} \item Soit B le point d'affixe $b=4$ et C le point d'affixe $c=-2\i$; on appelle M le point d'affixe $z$. $|z - 4| = |z + 2\text{i}| \iff |z - b| = |z -c| \iff \text{MB} = \text{MC}$ Donc l'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $|z - 4| = |z + 2\text{i}|$ est la médiatrice $\Delta$ du segment \cd BC\cg. \item On appelle $a$ l'affixe du point A. $\text{AB} = |b-a| = |4-3\i| = \ds\sqrt{16+9} = 5$ $\text{AC} = |c-a| = |-2\i-3\i| = |-5\i|=5$ Donc le point A est à égale distance de B et de C; il appartient donc à la droite $\Delta$, médiatrice de \cd BC\cg. \end{list} L'ensemble des points M du plan d'affixe $z$ tels que $|z - 4| = |z + 2\text{i}|$ est donc la droite médiatrice du segment \cd BC\cg{} et cette droite passe par le point A d'affixe 3i. \end{minipage} \begin{minipage}{0.38\linewidth} \begin{flushright} \psset{unit=0.8cm,PtNameMath=false} \def\xmin {-1} \def\xmax {5} \def\ymin {-3} \def\ymax {4} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \uput[dl](0,0){O} \psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)% première et terminale \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \pstGeonode[PosAngle={-60,150,0}](4,0){B}(0,-2){C}(0,3){A} \pstLineAB[nodesep=-1]{B}{C} \psset{PointNameA=none,PointNameB=none,PointSymbolA=none,PointSymbolB=none} \pstMediatorAB[nodesep=-3,CodeFig=true,CodeFigColor=red,linecolor=red,RightAngleSize=0.2]{C}{B}{I}{M_I} \rput(3,-2){A} \end{pspicture*} \end{flushright} \end{minipage} \medskip \textbf{Proposition 2} \smallskip Soit $(E)$ l'équation $(z -1)\left(z^2 - 8z + 25\right) = 0$ où $z$ appartient à l'ensemble $\C$ des nombres complexes. Les points du plan dont les affixes sont les solutions dans $\C$ de l'équation $(E)$ sont les sommets d'un triangle rectangle. \medskip \textbf{Proposition vraie} \medskip \begin{minipage}{0.6\linewidth} \begin{list}{\textbullet}{} \item L'équation $z-1=0$ a pour solution le nombre $a=1$ affixe d'un point appelé A. \item On résout dans $\C$ l'équation $z^2-8z+25=0$; $\Delta = 64-100=-36$ donc cette équation admet deux solutions complexes conjuguées $b=\dfrac{8+6\i}{2} = 4+3\i$ et $c=4-3\i$. Ces deux nombres complexes $b$ et $c$ sont les affixes de deux points qu'on appelle B et C. \item L'équation (E) a donc trois solutions qui sont les affixes des trois points A, B et C. \item $\text{AB}^2 = |b-a|^2 = |4+3\i -1|^2 = |3+3\i|^2 = 9+9= 18$ $\text{AC}^2 = |c-a|^2 = |4-3\i -1|^2 = |3-3\i|^2 = 9+9 = 18$ $\text{BC}^2 = |c-b|^2 = |4-3\i -4-3\i|^2 = |-6\i|^2 = 36$ \item $18+18=36$ donc $\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2$ donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. \end{list} \end{minipage} \begin{minipage}{0.38\linewidth} \begin{flushright} \psset{unit=0.8cm,PtNameMath=false} \def\xmin {-1} \def\xmax {5} \def\ymin {-4} \def\ymax {4} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \uput[dl](0,0){O} \psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)% première et terminale \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} {\red \pstTriangle[PosAngleA=120,linecolor=red](1,0){A}(4,3){B}(4,-3){C} } \pstRightAngle[linecolor=red,RightAngleSize=0.3]{B}{A}{C} \end{pspicture*} \end{flushright} \end{minipage} \medskip Donc les points du plan dont les affixes sont les solutions dans $\C$ de l'équation $(E)$ sont les sommets d'un triangle rectangle. \medskip \textbf{Proposition 3} \smallskip $\dfrac{\pi}{3}$ est un argument du nombre complexe $\left(- \sqrt{3} + \text{i}\right)^8$. \medskip \textbf{Proposition fausse} \medskip Soit $z$ le nombre complexe $-\sqrt{3}+\i$; on cherche $\theta$ un argument de $z$. $|z|= \ds\sqrt{\left (-\sqrt{3}\right )^2+1} = \sqrt{4} = 2$ On cherche donc $\theta$ tel que $\cos \theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \theta=\dfrac{1}{2}$; un argument de $z$ est donc $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$. \smallskip D'après le cours, un argument de $z^8$ est $8\theta = \dfrac{40\pi}{6} \equiv \dfrac{2\pi}{3} \pmod{2\pi}$. Les nombres $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ ne sont pas congrus modulo $2\pi$ donc la proposition est fausse. \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points} % %\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} % %\textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_n}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% À l'aide du calcul des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$, conjecturer la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$. Démontrer cette conjecture. On calcule les premiers termes de la suite $(u_n)$: \begin{center} \newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash} \begin{tabular}{|>{\ca}p{1cm}|*6{>{\ca}p{1.2cm}|}} \hline $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline $u_n$ & 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{2}{3}$ & $\dfrac{3}{4}$ & $\dfrac{4}{5}$ & $\dfrac{5}{6}$ \rule[-10pt]{0pt}{28pt}\\ \hline \end{tabular} \end{center} On peut conjecturer que, pour tout $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1}$. Soit $\mathcal P_n$ la propriété $u_n=\dfrac{n}{n+1}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} Pour n=0, $u_n=u_0=0$ et $\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{0}{1}= 0$. Donc la propriété est vraie au rang 0. \item \textbf{Hérédité} Soit $n$ un entier naturel quelconque. On suppose que la propriété est vraie au rang $n$, c'est-à-dire que $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ (hypothèse de récurrence). On va démontrer que la propriété est vraie au rang $n+1$, c'est à dire $u_{n+1} = \dfrac{n+1}{n+2}$. $u_{n+1} = \dfrac{1}{2-u_n} = \dfrac{1}{2-\dfrac{n}{n+1}} = \dfrac{1}{\dfrac{2(n+1)-n}{n+1}} = \dfrac{1}{\dfrac{2n+2-n}{n+1}} = \dfrac{1}{\dfrac{n+2}{n+1}} = \dfrac{n+1}{n+2}$ La propriété est donc vraie au rang $n+1$. On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $\mathcal P_n \implies \mathcal P_{n+1}$. \item \textbf{Conclusion} On a vérifié que la propriété était vraie au rang 0. On a démontré que la propriété était héréditaire pour tout $n$. Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$. \end{list} On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1}$. \item% En déduire la valeur de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$. Pour tout $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{n+1-1}{n+1} = 1-\dfrac{1}{n+1}$. D'après le cours: $\ds\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1} = 0$ donc: $\ds\lim_{n \to +\infty} 1- \dfrac{1}{n+1} = 1$. On peut donc en déduire que la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$ est égale à 1. \end{enumerate} \item% Compléter, dans l'annexe 2, l'algorithme permettant de déterminer la valeur du plus petit entier $n$ tel que $\left|u_{n+1} - u_n\right| \leqslant 10^{-3}$. On complète l'algorithme pour qu'il affiche le plus petit entier $n$ tel que $|u_{n+1} - u_n| \pp 10^{-3}$: \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|@{\hspace*{5mm}} l X|} \hline & \\[-5pt] \textbf{Variables :} &$n, a$ et $b$ sont des nombres.\\ \textbf{Initialisation :} & $n$ prend la valeur $0$\\ &$a$ prend la valeur $0$\\ &$b$ prend la valeur $0,5$\\ \textbf{Traitement :} & Tant que $|b - a| \red > 10^{-3}$\\ &\hspace{0.8cm}$n$ prend la valeur $\red n+1$\\ &\hspace{0.8cm}$a$ prend la valeur $\red b$\\ &\hspace{0.8cm}$b$ prend la valeur $\red \dfrac{1}{2-b}$\\ &Fin Tant que\\ \textbf{Sortie :} &Afficher $\red n$\\[-5pt] & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \emph{Explications} Pour $n$ donné, $a$ joue le rôle de $u_n$ et $b$ celui de $u_{n+1}$. Si l'objectif $|u_{n+1} - u_n| \pp 10^{-3}$ n'est pas atteint, on passe au rang $n+1$: on remplace $u_n$ par $u_{n+1}$, c'est-à-dire $a$ par $b$, et on remplace $u_{n+1}$ par $u_{n+2}$, c'est-à-dire $b$ par $\dfrac{1\rule{0pt}{10pt}}{2-b}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points} %\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} % %\textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \subsubsection*{Partie A : Un calcul de volume sans repère} \medskip \parbox{0.48\linewidth} { On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux) représentée ci-contre. Les diagonales du carré ABCD mesurent 24~cm. On note O le centre du carré ABCD. On admettra que OS = OA. } \hfill \parbox{0.48\linewidth} { \begin{flushright} \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(8,5.2) \pspolygon(0.5,1.2)(3.5,0.5)(7.5,1.2)(4,5)%ABCSA \psline(3.5,0.5)(4,5)%BS \psline[linestyle=dashed](4,1.2)(4,5)(4.5,1.9)%OSD \psline[linestyle=dashed](3.5,0.5)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%BDS \pspolygon[linestyle=dashed](0.5,1.2)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%ADC \uput[l](0.5,1.2){A}\uput[d](3.5,0.5){B}\uput[dr](7.5,1.2){C} \uput[dr](4,1.2){O}\uput[ur](4.5,1.9){D}\uput[u](4,5){S} \end{pspicture} \end{flushright} } \begin{enumerate} \item% Sans utiliser de repère, démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC). On sait que O est le centre du carré ABCD donc $\text{OA} = \text{OC}$. On sait que la pyramide SABCD est équilatère à base carrée donc $\text{SA} = \text{SC}$. \smallskip On se place dans le triangle SAC. $\text{SA} = \text{SC}$ donc le triangle SAC est isocèle. $\text{OA} = \text{OC}$ donc O est le milieu de \cd AC\cg{} et donc (SO) est la médiane issue de S du triangle SAC. Comme le triangle SAC est isocèle de sommet principal S, la médiane issue de S est aussi une médiatrice; on en déduit que (SO) est perpendiculaire à (AC). \smallskip En se plaçant dans le triangle (SBD), on démontre de même que (SO) est perpendiculaire à (BD). \smallskip La droite (SO) est perpendiculaire à deux droites sécantes (AC) et (BD) du plan (ABC) donc la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC). \item% En déduire le volume, en cm$^3$, de la pyramide SABCD. Le volume d'une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item La base de la pyramide est le carré ABCD dont les diagonales mesurent 24~cm. Dans le triangle ABC isocèle rectangle en B on a, d'après le théorème de Pythagore, $\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = \text{AC}^2$ ce qui équivaut à $2 \text{AB}^2 = 24^2$ ou $\text{AB}^2 = 288$. L'aire du carré ABCD est $\text{AB}^2=288 \text{ cm}^2$. \item D'après le texte, $\text{SO}=\text{OA}$ donc $\text{SO} = \dfrac{24}{2} = 12$. \end{list} Le volume de la pyramide est donc $V=\dfrac{288\times 12}{3} = 1152 \text{ cm}^3$. \end{enumerate} \medskip \subsubsection*{Partie B : Dans un repère} On considère le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}}, ~\vect{\text{OS}}\right)$. On peut donc dire que les points O, A, B et S ont pour coordonnées respectives $(0~;~0~;~0)$, $(1~;~0~;~0)$, $(0~;~1~;~0)$ et $(0~;~0~;~1)$. Comme O est le milieu de \cd AC\cg{} et de \cd BD\cg{}, on peut dire que les points C et D ont pour coordonnées respectives $(-1~;~0~;~0)$ et $(0~;~-1~;~0)$. \medskip \begin{enumerate} \item On note P et Q les milieux respectifs des segments \cd AS\cg{} et \cd BS\cg{}. Donc P et Q ont pour coordonnées respectives $\left (\dfrac{1}{2}~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right )$ et $\left (0~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right )$. \begin{enumerate} \item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(1~;~1~;~- 3)$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Le vecteur $\vect{\text{PC}}$ a pour coordonnées $\left (-\dfrac{3}{2}~;~0~;~-\dfrac{1}{2}\right )$. $\vect{n}.\vect{\text{PC}} = 1\times \left ( -\dfrac{3}{2}\right ) + 0 + (-3)\times \left ( -\dfrac{1}{2}\right ) = 0$ donc $\vect{n}\perp \vect{\text{PC}}$. \item Le vecteur $\vect{\text{QC}}$ a pour coordonnées $\left (-1~;~-\dfrac{1}{2}~;~-\dfrac{1}{2}\right )$. $\vect{n}.\vect{\text{QC}} = 1\times \left ( -1\right ) + 1\times \left ( -\dfrac{1}{2}\right ) + (-3)\times \left ( -\dfrac{1}{2}\right ) = 0$ donc $\vect{n}\perp \vect{\text{QC}}$. \item Les vecteurs $\vect{\text{PC}}$ et $\vect{\text{QC}}$ ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. \end{list} Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs $\vect{\text{PC}}$ et $\vect{\text{QC}}$ non colinéaires, donc il est normal au plan (QPC). \item% En déduire une équation cartésienne du plan (PQC). Le plan (QPC) est l'ensemble des points M de l'espace tels que les vecteurs $\vect{n}$ et $\vect{\text{CM}}$ soient orthogonaux. Si M a pour coordonnées $(x~;~y~~;~z~)$, le vecteur $\vect{\text{CM}}$ a pour coordonnées $(x+1~;~y~~;~z~)$. $\vect{\text{CM}} \perp \vect{n} \iff \vect{\text{CM}}\dot\perp \vect{n} = 0 \iff 1\times (x+1) + 1\times y -3\times z = 0 \iff x+y-3z+1=0$ Le plan (PQC) a pour équation $x+y-3z+1=0$. \end{enumerate} \item Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC). \begin{enumerate} \item% Donner une représentation paramétrique de la droite (SH). La droite (SH) est orthogonale au plan (PQC) donc elle a pour vecteur directeur le vecteur $\vect n$ qui est normal au plan (PQC). La droite (SH) contient le point S de coordonnées $(0~;~0~;~1)$. La droite (SH) a donc pour représentation paramétrique: $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} r} x & k\\ y & k\\ z & 1-3k \end{array} \right. \text{ avec } k \in \R$ \item% Calculer les coordonnées du point H. $\text H \in \text{(SH)} \cap \text{(PQC)}$ donc les coordonnées de H sont solutions du système: $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} r} x & k\\ y & k\\ z & 1-3k\\ x+y-3z+1 & 0 \hfill{}\\ \end{array} \right.$ On a donc $k+k-3(1-3k)+1=0 \iff 11k=2 \iff k=\dfrac{2}{11}$. $1 - 3k=1 - 3\times \dfrac{2}{11} = 1 - \dfrac{6}{11} = \dfrac{5}{11}$ Les coordonnées de H sont donc $\left ( \dfrac{2}{11}~;~\dfrac{2}{11}~;~\dfrac{5}{11}\right )$. \item% Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur, est $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}$. $\text{SH}^2 = \left ( \dfrac{2}{11} - 0 \right )^2 + \left ( \dfrac{2}{11} - 0 \right )^2 + \left ( \dfrac{5}{11} - 1 \right )^2 = \dfrac{4}{11^2} + \dfrac{4}{11^2} + \dfrac{36}{11^2} = \dfrac{44}{11^2}$ donc $\text{SH} = \dfrac{\sqrt{44}}{11} = \dfrac{2\sqrt{11}}{11}$. \end{enumerate} \item On admettra que l'aire du quadrilatère PQCD, en unité d'aire, est égale à $\dfrac{3\sqrt{11}}{8}$ %Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume. La pyramide SPQCD a pour base le quadrilatère PQCD et pour hauteur SH; son volume est donc $V'=\dfrac{\text{SH}\times \text{aire(PQCD}}{3} = \dfrac{\dfrac{2\sqrt{11}}{11}\times \dfrac{3\sqrt{11}}{8}}{3} = \dfrac{\dfrac{6}{8}}{3} =\dfrac{1}{4}$ unité de volume. \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie C : Partage équitable} \medskip \parbox{0.48\linewidth}{Pour l'anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny, Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme de pyramide équilatère dont les diagonales du carré de base mesurent 24~cm. Elle s'apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son couteau sur le sommet. C'est alors qu'Anne arrête son geste et lui propose une découpe plus originale : \og Place la lame sur le milieu d'une arête, parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le côté opposé \fg.} \hfill \parbox{0.48\linewidth} { \begin{flushright} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(8,5.2) %\psgrid \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.4,3.2)(4,5)(7.5,1.2)(4.5,1.9) \pspolygon(0.5,1.2)(3.5,0.5)(7.5,1.2)(4,5)%ABCSA \psline(3.5,0.5)(4,5)%BS \psline(2.4,3.2)(3.8,3)(7.5,1.2) \psline[linestyle=dashed](0.5,1.2)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%ADC \psline[linestyle=dashed](2.4,3.2)(4.5,1.9) \uput[l](0.5,1.2){A} \uput[d](3.5,0.5){B} \uput[-30](7.5,1.2){C} \uput[d](4.5,1.9){D} \uput[160](2.4,3.2){P} \uput[20](3.8,3){Q} \uput[u](4,5){S} \end{pspicture} \end{flushright} } \medskip Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables. %Est-ce le cas ? Justifier la réponse. \medskip Dans le repère de la partie B, la longueur OA est égale à une unité de longueur et à 12~cm. Donc l'unité de longueur vaut 12~cm et l'unité de volume vaut $12^3=\np{1728} \text{ cm}^3$. Le volume de la pyramide SABCD est égal à \np{1152}~cm$^{3}$. Le volume de la pyramide SPQCD est égal à 0,25 unité de volume, soit $0,25 \times \np{1728} = 432 \text{ cm}^3$. Or $\dfrac{\np{1152}}{2} = 576 \neq 432$ donc le partage proposé par Fanny n'est pas équitable. \newpage \subsection*{\textsc{Exercice 5}\hfill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} % %\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} % %\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} %\medskip % %\textbf{Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à } \boldmath $10^{-4}$ \unboldmath \medskip On étudie un modèle de climatiseur d'automobile composé d'un module mécanique et d'un module électronique. Si un module subit une panne, il est changé. \medskip \subsubsection*{Partie A : Étude des pannes du module mécanique} \medskip Une enseigne d'entretien automobile a constaté, au moyen d'une étude statistique, que la durée de fonctionnement (en mois) du module mécanique peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma$. \medskip \begin{enumerate} \item Le service statistique indique que $P(D \geqslant 48) = \np{0,7977}$ ce qui veut dire que $P (D < 48) = 1- \np{0,7977} = 0,2023$. $D<48 \iff D-50 < -2 \iff \dfrac{D-50}{\sigma} < -\dfrac{2}{\sigma}$ D'après le cours, si $D$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, alors la variable aléatoire $Z=\dfrac{D-\mu}{\sigma}$ suit la loi nromale centrée réduite. On cherche donc le réel $\beta$ tel que $P(Z<\beta) = 0,2023$ sachant que $Z$ suit la loi normale centrée réduite. À la calculatrice, on trouve $\beta\approx \np{-0,8334340}$ donc $\sigma \approx -\dfrac{2}{\np{-0,8334340}} \approx \np{2,3997}$. \end{enumerate} \textbf{Pour la suite de cet exercice, on prendra }\boldmath$\sigma = 2,4.$\unboldmath \begin{enumerate}[resume] \item La probabilité que la durée de fonctionnement du module mécanique soit comprise entre $45$ et $52$ mois est $P(45 \pp D \pp 52)$. On trouve à la calculatrice \np{0,7791} comme valeur arrondie à $10^{-4}$ de la probabilité cherchée. \item La probabilité que le module mécanique d'un climatiseur ayant fonctionné depuis $48$ mois fonctionne encore au moins $6$ mois est $P_{(D\pg 48)} (D \pg 48+6)$: $P_{(D\pg 48)} (D \pg 54) = \dfrac{P\left ((D \pg 54) \cap (D\pg 48)\right )} {P(D\pg 48)}$ $P\left ((D \pg 54) \cap (D\pg 48)\right ) = P(D \pg 54) \approx \np{0,04779}$ et $P(D \pg 48) \approx \np{0,79767}$ $P_{(D\pg 48)} (D \pg 54) \approx \dfrac{\np{0,04779}}{\np{0,79767}} \approx \np{0,0599}$ La valeur approchée à $10^{-4}$ de la probabilité que le module mécanique d'un climatiseur ayant fonctionné depuis $48$ mois fonctionne encore au moins $6$ mois est \np{0,0599}. \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B: Étude des pannes d'origine électronique} \medskip Sur le même modèle de climatiseur, l'enseigne d'entretien automobile a constaté que la durée de fonctionnement (en mois) du module électronique peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs: $P(a \pp T \pp b) = \ds\int_{a}^{b} \lambda \e^{-\lambda t} \d t = \left [ -\e^{-\lambda t} \rule{0pt}{10pt} \right ]_{a}^{b} = \e^{-\lambda a}-\e^{-\lambda b}$. \medskip \begin{enumerate} \item Le service statistique indique que $P(0 \leqslant T \leqslant 24) = 0,03$ donc $\lambda$ vérifie l'égalité $\ds\int_{0}^{24} \lambda \e^{-\lambda t} \d t = 0,03$ ou encore $1-\e^{-24\lambda} = 0,03$. On résout cette équation d'inconnue $\lambda$: $\begin{array}{l @{\iff} l} 1-\e^{-24\lambda} = 0,03 & 0,97 = \e^{-24\lambda}\\ & \ln (0,97) = -24\lambda\\ & -\dfrac{\ln(0,97)}{24} = \lambda \end{array}$ La valeur de $\lambda$ telle que $P(0 \leqslant T \leqslant 24) = 0,03$ est $\lambda = -\dfrac{\ln(0,97)}{24}$. \end{enumerate} \textbf{Pour la suite de cet exercice, on prendra } \boldmath $\lambda = \np{0,00127}.$\unboldmath \begin{enumerate}[resume] \item% Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module électronique soit comprise entre $24$ et $48$ mois. $P(24 \pp T \pp 48) = \e^{-24\lambda} - \e^{-48\lambda} \approx \np{0,0291}$ La valeur approchée à $10^{-4}$ de la probabilité que la durée de fonctionnement du module électronique soit comprise entre $24$ et $48$ mois est \np{0,0291}. \item \begin{enumerate} \item% Démontrer que, pour tous réels $t$ et $h$ positifs, on a : $P_{T \geqslant t}(T \geqslant t + h) = P(T \geqslant h)$, c'est-à-dire que la variable aléatoire $T$ est sans vieillissement. \begin{list}{\textbullet}{} \item $P(T\pp b) = 1-\e^{-b\lambda} \implies P(T\pg b) = 1- P(T\pp b) = 1 - \left ( 1-\e^{-b\lambda}\right ) = \e^{-b\lambda}$ \item $h>0 \implies (T \geqslant t + h) \cap (T \geqslant t) = (T \geqslant t + h)$ \end{list} $P_{T \geqslant t}(T \geqslant t + h) = \dfrac{P\left( (T \geqslant t + h) \cap (T \geqslant t) \right )}{P(T \geqslant t)} = \dfrac{P (T \geqslant t + h)}{P(T \geqslant t)} = \dfrac{\e^{-(t+h)\lambda}}{\e^{-t\lambda}} = \dfrac{\e^{-t\lambda} \times \e^{-h\lambda}}{\e^{-t\lambda}} = \e^{-h\lambda}\\ \phantom{P_{T \geqslant t}(T \geqslant t + h)} = P(T \pg h) $ \smallskip Donc la variable aléatoire $T$ est sans vieillissement. \item Le module électronique du climatiseur fonctionne depuis $36$ mois. La probabilité qu'il fonctionne encore les $12$ mois suivants est $P_{T\pg 36}(T\pg 36 + 12)$ qui est égal à $P(T\pg 12)$ d'après la question précédente. $P(T\pg 12) = \e^{-12\lambda} \approx \np{0,9849}$ La valeur approchée à $10^{-4}$ de la probabilité que le module électronique fonctionne encore $12$ mois, sachant qu'il a déjà fonctionné 36 mois, est égale à \np{0,9849}. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie C: Pannes d'origine mécanique et électronique} \medskip On admet que les évènements $(D \geqslant 48)$ et $(T \geqslant 48)$ sont indépendants donc \hfill{}$P\left ((D \geqslant 48)\cap (T \geqslant 48)\right ) = P(D \geqslant 48)\times P(T \geqslant 48)$.\hfill{} La probabilité que le climatiseur ne subisse aucune panne avant $48$ mois est \hfill{}$P\left ((D \geqslant 48)\cap (T \geqslant 48)\right ) = P(D \geqslant 48)\times P(T \geqslant 48) = \np{0,7977} \times \e^{-48\lambda} \approx \np{0,7505}$\hfill{} \bigskip \textbf{Partie D : Cas particulier d'un garage de l'enseigne} \medskip Un garage de l'enseigne a étudié les fiches d'entretien de $300$ climatiseurs de plus de $4$~ans. Il constate que $246$ d'entre eux ont leur module mécanique en état de fonctionnement depuis $4$ ans. %Ce bilan doit-il remettre en cause le résultat donné par le service statistique de l'enseigne, à savoir que $P(D \geqslant 48) = \np{0,7977}$ ? Justifier la réponse. $P(D \geqslant 48) = \np{0,7977}$ donc $p=\np{0,7977}$ $n=300\pg 30$; $np= 239,31\pg 5$ et $n(1-p) = 60,69 \pg 5$ donc on peut déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%: \setlength\parindent{30mm} $I = \left [ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right ]$ \smallskip $\phantom{I} = \left [ \np{0,7977} -1,96 \dfrac{\sqrt{\np{0,7977}(1-\np{0,7977})}}{\sqrt{300}}~;~\np{0,7977}+1,96 \dfrac{\sqrt{\np{0,7977}(1-\np{0,7977})}}{\sqrt{300}}\right ]$ \smallskip $\phantom{I} \approx \cd \np{0,7522} ~;~ \np{0,8432} \cg$ \setlength\parindent{0mm} \smallskip La fréquence de climatiseurs ayant encore leur module mécanique en fonctionnement après 4 ans (ou 48 mois) est $f=\dfrac{246}{300} = 0,82$. \smallskip Or $f\in I$ donc il n'y a pas lieu de remettre en cause le résultat donné par le service statistique. \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 5}\hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} %\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} % %\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Les entiers naturels 1, 11, 111, \np{1111}, \ldots{} sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s'écrivant qu'avec des 1. Pour tout entier naturel $p$ non nul, on note $N_p$ le rep-unit s'écrivant avec $p$ fois le chiffre~1~: \renewcommand\arraystretch{0.7} \[N_p = \underbrace{11 \ldots 1}_{\begin{tabular}{c}\tiny $p${} \text{répétitions} \\ \tiny \text{du chiffre }1 \end{tabular}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k.\] \renewcommand\arraystretch{1} %\vspace{-0.3cm} %Dans tout l'exercice, $p$ désigne un entier naturel non nul. % %L'objet de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des rep-units. % %\bigskip \subsubsection*{Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers} \medskip \begin{enumerate} \item% Montrer que $N_p$ n'est divisible ni par 2 ni par 5. Le chiffre des unités de $N_p$ est 1 donc $N_p$ est impair donc il n'est pas divisible par 2. Et comme le chiffre des unités n'est ni 0 ni 5, le nombre $N_p$ n'est pas divisible par 5. \item Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par 3. \begin{enumerate} \item% Prouver que, pour tout entier naturel $j$,\: $10^j \equiv 1 \:\:\text{mod}\:3$. $10=3\times 3+1 \equiv 1 \mod 3$ et donc, pour tout $j$ de $\N$, $10^{j} \equiv 1^j \mod 3$ donc $10^{j} \equiv 1 \mod 3$. \item% En déduire que $N_p \equiv p \:\:\text{mod}\:3$. $N_p$ est la somme de $p$ termes de la forme $10^j$ avec $j\in\N$, et pour tout $j$ de $\N$, $10^j \equiv 1 \mod 3$. Donc $N_p \equiv p \mod 3$. \item% Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit $N_p$ soit divisible par 3. On peut donc dire que $N_p$ est divisible par 3 si et seulement si $p$ est divisible par 3. \end{enumerate} \item Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $7$. \begin{enumerate} \item On complète le tableau de congruences ci-dessous, où $a$ est l'unique entier relatif appartenant à $\left \lbrace-3~;~-2~;~- 1~;~0~;~1~;~2~;~3 \rule{0pt}{9pt}\right \rbrace$ tel que $10^m \equiv a \:\:\text{mod}\: \:7$: %\emph{On ne demande pas de justification.} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $m$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $a$ &1 &3 &2 &$-1$ &$-3$ &$-2$ &1\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Soit $p$ un entier naturel non nul. %Montrer que $10^p \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$. La division euclidienne de $p$ par 6 permet d'écrire $p=6q+r$ avec $q\in \N$ et $r \in \left \lbrace 0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5 \rule{0pt}{9pt} \right \rbrace$. $10^p=10^{6q+r} = 10^{6q}\times 10^r = \left (10^6 \right )^q \times 10^r$ Or d'après la question précédente, $10^6 \equiv 1 \mod 7$ donc $\left( 10^6 \right)^q \equiv 1^q \mod 7$ et donc $10^{6q} \equiv 1 \mod 7$. On en déduit que $10^p \equiv 10^r \mod 7$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Si $p$ est un multiple de 6, alors $r=0$ et $10^{r}=10^{0} \equiv 1 \mod 7$. Donc $10^{p} \equiv 1 \mod 7$. \item Si $p$ vérifie $10^p \equiv 1 \mod 7$, alors $10^r \equiv 1 \mod 7$ où $r$ est le reste de la division de $p$ par 6. D'après le tableau de la question précédente, la seule valeur possible de $r$ dans $\left \lbrace 0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5 \rule{0pt}{9pt} \right \rbrace$ pour que $10^{r} \equiv 1 \mod 7$ est $r=0$. On en déduit que $p$ est un multiple de 6. \end{list} On a donc démontré que $10^{p} \equiv 1 \mod 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de 6. %\emph{On pourra utiliser la division euclidienne de $p$ par $6$.} \item% Justifier que, pour tout entier nature $p$ non nul, $N_p = \dfrac{10^p - 1}{9}$. $N_p= \ds\sum_{k=0}^{p-1} 10^{k} = 1+10+10^2+ \ldots + 10^{p-1}$ est la somme des $p$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 10. Donc $N_p= \text{premier terme} \times \dfrac{1- \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} = 1\times \dfrac{1-10^{p}}{1-10} = \dfrac{10^p-1}{9}$. \item% Démontrer que \og 7 divise $N_p$ \fg{} est équivalent à \og 7 divise $9N_p$ \fg. \begin{list}{\textbullet}{} \item Si 7 divise $N_p$, alors 7 divise tout multiple de $N_p$ donc 7 divise $9 N_p$. \item On suppose que 7 divise $9 N_p$. On sait que 7 et 9 sont premiers entre eux; donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise $N_p$. \end{list} On a démontré que \og 7 divise $N_p$ \fg{} est équivalent à \og 7 divise $9N_p$ \fg. \item% En déduire que $N_p$ est divisible par 7 si et seulement si $p$ est un multiple de $6$. On a vu dans une question précédente que $N_p=\dfrac{10^p-1}{9}$ ce qui équivaut à $9N_p= 10^p-1$. $\begin{array}{l !{\iff} l l} N_p \text{ est divisible par } 7 & 9 N_p \text{ est divisible par } 7 & \text{(question d.)} \\ & 9 N_p \equiv 0 \mod 7 & \\ & 10^p - 1 \equiv 0 \mod 7\\ & 10^p \equiv 1 \mod 7 \\ & p \text{ est multiple de } 6 & \text{(question b.)} \end{array}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On suppose que l'écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre 1, c'est-à-dire $n^2 \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 10$. \begin{enumerate} \item On complète le tableau de congruences ci-dessous: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n \equiv \ldots \ \ [10]$& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \rule[-2mm]{0mm}{7mm}$n^2 \equiv \ldots \ \ [10]$& 0 & 1 & 4 & 9 & 6 & 5 & 6 & 9 & 4 & 1 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item% En déduire qu'il existe un entier naturel $m$ tel que: $n = 10m + 1$ ou $n = 10m - 1$. D'après le tableau de la question précédente, pour avoir $n^2 \equiv 1 \mod 10$ il faut \begin{list}{\textbullet}{} \item soit $n \equiv 1 \mod 10$ donc $n=10m+1$ avec $m\in \N$; \item soit $n \equiv 9 \mod 10$ donc $n=10m'+9$ ou $n=10m-1$ avec $m\in \N$. \end{list} \item% Conclure que $n^2 \equiv 1 \:\: \text{mod}\: 20$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Si $n=10m+1$, alors $n^2= 100m^2 + 20m +1 = 20\left (5m^2+m\right )+1 \equiv 1 \mod 20$; \item Si $n=10m-1$, alors $n^2= 100m^2 - 20m +1 = 20\left (5m^2-m\right )+1 \equiv 1 \mod 20$. \end{list} \end{enumerate} \item Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On sait que $N_p= \ds\sum_{k=0}^{p-1} 10^{k}$. Pour tout $k\pg 2$, $10^{k} = 100\times 10^{k-2} = 20\left ( 5\times 10^{k-2}\right )\equiv 0 \mod 20$. Donc $\ds\sum_{k\pg 2} 10^k \equiv0 \mod 20$. Donc $N_p \equiv 1+10\mod 20$ c'est-à-dire $N_p\equiv 11\mod 20$. \item% En déduire que, pour $p$ entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit $N_p$ n'est pas le carré d'un entier. On a vu que $n^2\equiv 1 \mod 10 \implies n^2 \equiv 1 \mod 20$; donc tout nombre qui a pour reste 1 dans la division par 10 et qui est un carré parfait, a pour reste 1 dans la division par 20. Le nombre $N_p$ a pour reste 1 dans la division par 10 et pour reste 11 dans la division par 20. Donc $N_p$ ne peut pas être le carré d'un entier. \end{enumerate} \end{document} \newpage \subsection*{ANNEXES (à compléter et à remettre avec la copie)} \bigskip \subsubsection*{Annexe 1 (Exercice 1)} \medskip \begin{center} \psset{unit=4cm,arrowscale=2} \begin{pspicture*}(-0.5,-1.2)(2.6,1.2) \multido{\nb=-1.0+0.5}{5}{ \multido{\n=-0.50+0.04,\na=-0.48+0.04}{80}{\psline(\n,\nb)(\na,\nb)}} \multido{\nb=-0.5+0.5}{7}{ \multido{\n=-1.00+0.04,\na=-0.98+0.04}{50}{\psline(\nb,\n)(\nb,\na)}} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-0.5,-1)(2.6,1.2) \psaxes[linewidth=1.4pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \uput[ul](0,0){O} \uput[d](0.55,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.55){$\vect{\jmath}$} \uput[ul](0.5,1){A}\uput[ul](0,-1){B} \uput[u](2.2,0.1){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[d](2.2,-0.05){\red $\mathcal{C}_g$} \psplot{-0.6}{0.6}{x 2 mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.6}{2 x mul 2.71828 x dup mul exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{2.6}{1 2.71828 x dup mul exp div neg} \end{pspicture*} \end{center} \subsubsection*{Annexe 2 (Exercice 3)} \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Variables :} &$n, a$ et $b$ sont des nombres.\\ \textbf{Initialisation :} & $n$ prend la valeur $0$\\ &$a$ prend la valeur $0$\\ &$b$ prend la valeur $0,5$.\\ \textbf{Traitement :} & Tant que $|b - a|$\ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}$n$ prend la valeur \ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}$a$ prend la valeur \ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}$b$ prend la valeur \ldots \ldots.\\ &Fin Tant que.\\ \textbf{Sortie :} &Afficher \ldots \ldots.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}