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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre  2004}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud \\novembre  2004}}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}  \hfill  7 points}

\medskip

\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}\item
\begin{enumerate}\item Pour tout $x, ~f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x} = \dfrac{1}{\frac{\text{e}^x}{x}}$.
Or $\underset{x\rightarrow + \infty}\lim \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$ donc $\underset{x\rightarrow + \infty}\lim \dfrac{1}{\frac{\text{e}^x}{x}} = 0$. \\
Donc $\underset{x\rightarrow + \infty}\lim f(x) = 0.$

\item La fonction $f$ produit de deux fonctions dérivables est dérivable. Pour tout $x,~f'(x) = \text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x} = (1-x)\text{e}^{-x}$.\\
Comme pour tout $x,~\text{e}^{-x} > 0$,  le signe de $f'(x)$ est celui de $1- x$. Soit sur $[0\ ,\ + \infty[$ :
$f'(x)\geqslant  0\  \mbox{sur}\  [0\ ,\ 1] ;\ f'(x)\leqslant  0 \ \mbox{sur}\  [1\ ,\ +\infty].$\\
Donc $f$ est croissante sur l'intervalle $[0\ ,\ 1]$, décroissante sur l'intervalle $[1\ ,\ +\infty[.$\\
D'o\`u le tableau de variations de $f$:

\begin{center} \begin{pspicture}(8,4)
\psline(0,3)(8,3) \psline(0,2)(8,2)
\psline(2,0)(2,3.5)
\psline{->}(2.3,0.3)(4.7,1.7) \psline{->}(5.3,1.7)(7.7,0.3)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.2,3){$0$} \uput[u](5,3){$1$} \uput[u](7.5,3){$+ \infty$} 
\uput[u](1,2){$f'(x)$} \uput[u](2.2,2){1} \uput[u](3.5,2){$+$} \uput[u](5,2){$0$} 
\uput[u](6.5,2){$-$} \uput[u](1,0.8){$f(x)$} \uput[u](2.2,0){$0$} \uput[d](5,2){$\frac{1}{\text{e}}$} 
\uput[u](7.9,0){$0$} 
\end{pspicture}  \end{center}


\item Représentation graphique de $f$ (échelle $\dfrac{1}{2}$):

\begin{center}\psset{unit=4.3cm}\begin{pspicture}(2.4,0.5)
\psaxes{->}(0,0)(2.4,0.5)
\psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.4}{x 2.71828 x exp div}
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,0.36788)(0,0.36788)
\uput[l](0,0.36788){$\text{e}^{-1}$}
\end{pspicture}\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\item\begin{enumerate}

\item La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[0\ ,\ 1]$ ; $f(0) = 0$ et $f(1) = \dfrac{1}{\text{e}}$ ; donc pour $m\in \left]0\ ,\ \dfrac{1}{\text{e}} \right[$ l'équation $f(x) = m$ admet une seule solution sur l'intervalle $\left]0\ ,\ 1 \right[$.

La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $[1\ ,\ + \infty[$ ; $f(1) = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $\underset{x\rightarrow + \infty} \lim f = 0$ ; donc pour $m\in \left]0\ ,\ \dfrac{1}{\text{e}} \right[$ l'équation $f(x) = m$ admet une seule solution sur $]1\ ,\ + \infty[$.\\
En résumé, pour tout $m$ de $\left]0\ ,\ \dfrac{1}{\text{e}} \right[$, l'équation $f(x) = m$ admet deux solutions. Résultat attendu graphiquement : les solutions de cette équation sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $\Gamma $ et de la droite d'équation $y = m$. Or si  $m \in \left]0\ ,\ \dfrac{1}{\text{e}} \right[$, cette droite coupe bien la courbe en deux points distincts.

\item Pour $m = \dfrac{1}{4}$, la solution $\alpha $ est celle qui appartient à l'intervalle $]0\ ,\ 1[$. On trouve facilement que $\alpha \approx 0,357$ soit $\alpha  \in ]0,35\ ,\ 0,36[$.

\item[\textbf{c.}] De façon immédiate, pour $m=0$ l'équation $f(x) = 0$ admet pour unique  solution $x = 0$, et pour $m = \dfrac{1}{\text{e}}$ cette équation admet pour unique solution $x = 1$.

\end{enumerate}

\end{enumerate} 

\textbf{Partie B}\\                                             

\begin{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Par hypothèse $u_0 >0$.

$p$ étant un entier naturel quelconque, si $u_p >0$ alors $u_{p+1}$, produit de $u_p$ par le réel strictement positif $\text{e}^{-p}$, est strictement positif.

En conclusion pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.
		\item Comme pour tout entier $n$, $u_n > 0$, comparons $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \text{e}^{-u_n}$, $-u_n < 0$ donc $\text{e}^{-u_n} < 1$, soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ : la suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
		\item Il résulte des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$, décroissante et minorée (par $0$), est convergente. Soit $\ell$ sa limite.

$\ell$ est donc solution de l'équation $\ell = \ell\text{e}^{- \ell}$, soit $\ell\left(1 - \text{e}^{-\ell}\right) = 0$. Les deux facteurs s'annulant pour la seule valeur $0$, on en déduit que $\ell = 0$.

En résumé $\underset{n\rightarrow + \infty} \lim u_n = 0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $w_n - w_{n+1} = \ln u_n - \ln u_{n+1} = \ln \dfrac{u_n}{u_{n+1}} = - \ln \text{e}^{-u_n} = \ln  \text{e}^{u_n} = u_n$.
		\item Il résulte de \textbf{a.} que $S_n = w_0 - w_1 + w_1 - w_2 + \cdots + w_{n-1} - w_n + w_n - w_{n+1}$. Soit après simplification de proche en proche, $S_n = w_0 - w_{n+1}$.
\item[\textbf{c.}] Sachant, d'après \textbf{B.1.c.}, que $\underset{n\rightarrow + \infty}\lim u_n = 0$, on a donc $\underset{n\rightarrow + \infty}\lim w_n = - \infty$, et par suite $\underset{n\rightarrow + \infty}\lim S_n = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item Par définition $u_1 = u_0\text{e}^{-u_0}$ donc $u_1 \in \left]0\ ,\ \dfrac{1}{\text{e}}\right[$.

 Or d'après \textbf{A. 2. a.}, on sait qu'il existe une deuxième valeur, $\beta $, telle que $\beta  \text{e}^{-\beta } = u_1$. On a donc $v_0 = \beta$ puis $v_1 = u_1$ et, plus généralement, pour tout $n \geqslant  1$, $u_n = v_n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La solution générale de l'équation $y' + y =0$ est la fonction définie sur $\R$ par $x \longmapsto k\text{e}^{-x}$, où $k$ est une constante réelle arbitraire.

L'image de $0$ est $\text{e}$ donc $k\text{e}^0 = \text{e}$ soit $k = \text{e}$.

La fonction $f$ cherchée est donc celle définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}\times \text{e}^{-x}$. Soit $f(x) = \text{e}^{1 - x}$.

\item $\text{e}^{1-x} = t \Longleftrightarrow 1 - x = \ln t.$ La solution de cette équation est donc le réel $1 - \ln t$.

\item Soit $u$ et $v$ les fonctions définies sur $[1\ ,\ e]$ respectivement par $u(t) = (1 - \ln t)^2$ et $v(t) = t$. Ces deux fonctions sont dérivables et leurs dérivées $u'$ et $v'$, définies respectivement par $u'(t) = -\dfrac{2}{t}(1 - \ln t)$ et $v'(t) = 1$, continues sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$. Le théorème d'intégration par parties s'applique donc et :

V = $\pi\left(\Big [t(1 - \ln t)^2\Big ]_1^e + 2\displaystyle \int_1^{\text{e}} (1 - \ln t)\ \mbox{d}t\right)$.

Calculons à nouveau par parties $\displaystyle \int_1^{\text{e}}(1 - \ln t)\ \mbox{d}t$.

Posons $u(t) = 1 - \ln t$ et $v(t) = t$. Ces deux fonctions sont dérivables sur $[1~;~\text{e}]$, de dérivées respectives $u'$ et $v'$, continues sur $[1~;~\text{e}]$, définies par $u'(t) = -\dfrac{1}{t}$ et $v'(t) = 1$.

D'où : $\displaystyle \int_1^\text{e} (1 - \ln t)\ \mbox{d}t = \Big [t(1 - \ln t)\Big]_1^{\text{e}} + \displaystyle \int_1^{\text{e}}  \mbox{d}t = -1 + \text{e} - 1= \text{e} - 2$.

En reportant dans l'expression de V, on obtient :

V = $\pi(-1 + 2(\text{e} - 2)) = \pi(2\text{e} - 5)$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'urne contient $6$ boules et on en tire $2$ : le nombre de cas possibles est donc {\Large{C}}$_6^2$.

$\bullet$ Pour réaliser l'évènement A$_0$ il faut tirer $2$ boules rouges parmi $4$ : le nombre de cas favorables est donc {\Large{C}}$_4^2$.

On en déduit que $p(\mbox{A}_0) = \dfrac{\mbox{\Large{C}}_4^2}{\mbox{\Large{C}}_6^2}$. Soit $p(\mbox{A}_0) = \dfrac{2}{5}$.

$\bullet$ Pour réaliser l'évènement A$_1$ il faut tirer $1$ boule rouge parmi $4$ et une boule noire parmi $2$ : le nombre de cas favorables est donc $4\times 2$.

On en déduit que $p(\mbox{A}_1) = \dfrac{4\times 2}{\mbox{\Large{C}}_6^2}$. Soit $p(\mbox{A}_1) = \dfrac{8}{15}$.

$\bullet$ Pour réaliser l'évènement A$_2$ il faut tirer $2$ boules noires parmi $2$ : le nombre de cas favorables est donc $1$.

On en déduit que $p(\mbox{A}_2) = \dfrac{1}{\mbox{\Large{C}}_6^2}$. Soit $p(\mbox{A}_2) = \dfrac{1}{15}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Il reste $4$ boules dans l'urne et on en tire $2$ : le nombre de cas possibles est donc {\Large{C}}$_4^2$.

$\bullet$ A$_0$ étant réalisé, il reste dans l'urne $2$ boules rouges et $2$ boules noires. Pour réaliser B$_0$ il suffit de tirer $2$ boules rouges : il y a donc un cas favorable.

La probabilité $p_{\mbox{A}_0}(\mbox{B}_0) = \dfrac{1}{{\mbox{\Large{C}}}_4^2} = \dfrac{1}{6}.$

$\bullet$ A$_1$ étant réalisé, il reste dans l'urne $3$ boules rouges et $1$ boule noire. Pour réaliser B$_0$ il suffit de tirer $2$ boules rouges : il y a donc {\Large{C}}$_3^2$ cas favorables.

La probabilité $p_{\mbox{A}_1}(\mbox{B}_0) = \dfrac{\mbox{\Large{C}}_3^2}{{\mbox{\Large{C}}}_4^2} = \dfrac{1}{2}.$

$\bullet$ A$_2$ étant réalisé, il reste dans l'urne $4$ boules rouges. L'événement B$_0$ est donc certain. Donc $p_{\mbox{A}_1}(\mbox{B}_0) = 1$.
		\item L'évènement B$_0$ est la réunion des évènements incompatibles A$_0\cap$B$_0$, A$_1\cap$B$_0$ et A$_2\cap$B$_0$. Par suite $p(\mbox{B}_0)$ est la somme des probabilités de ces trois évènements.

Or $p(\mbox{A}_0\cap \mbox{B}_0) = p_{\mbox{A}_0}({\mbox{B}_0}) \times  p({\mbox{A}_0}) = \dfrac{1}{6}\times \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{15}$.

$p(\mbox{A}_1\cap \mbox{B}_0) = p_{\mbox{A}_1}({\mbox{B}_0}) \times  p({\mbox{A}_1}) = \dfrac{1}{2}\times \dfrac{8}{15} = \dfrac{4}{15}$.

$p(\mbox{A}_2\cap \mbox{B}_0) = p_{\mbox{A}_2}({\mbox{B}_0}) \times  p({\mbox{A}_2}) = \dfrac{1}{15}$.

D'où $p(\mbox{B}_0) = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$.
		\item Des calculs analogues à ceux menés en \textbf{a.} et \textbf{b.} ci-dessus conduisent à calculer :

$p_{\mbox{A}_0}(\mbox{B}_1) = \dfrac{2\times 2}{\mbox{\Large{C}}_4^2} = \dfrac{2}{3}$. D'où $p(\mbox{A}_0\cap \mbox{B}_1) = \dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{15}$.

$p_{\mbox{A}_1}(\mbox{B}_1) = \dfrac{1\times 3}{\mbox{\Large{C}}_4^2} = \dfrac{1}{2}$. D'où $p(\mbox{A}_1\cap \mbox{B}_1) = \dfrac{1}{2}\times \dfrac{8}{15} = \dfrac{4}{15}$.

Extraire une boule noire au deuxième tirage quand les deux boules noires ont été extraites lors du premier tirage est impossible. Donc $p_{\mbox{A}_2}({\mbox{B}_1}) = 0$.

D'où la valeur de $p(\mbox{B}_1)$, somme des trois probbilités précédentes : $p(\mbox{B}_1) = \dfrac{8}{15}$.
$p_{\mbox{A}_0}(\mbox{B}_2) = \dfrac{1}{\mbox{\Large{C}}_4^2} = \dfrac{1}{6}$. D'où $p(\mbox{A}_0\cap \mbox{B}_2) = \dfrac{1}{6}\times \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{15}$.\\
Comme ci-dessus : $p_{\mbox{A}_1}({\mbox{B}_2}) = 0$ et $p_{\mbox{A}_2}({\mbox{B}_2}) = 0$.\\
D'où la valeur de $p(\mbox{B}_2)$, somme des trois probabilités précédentes : $p(\mbox{B}_2) = \dfrac{1}{15}$.
		\item On cherche à calculer $p_{\mbox{B}_1}({\mbox{A}_1})$. Or d'après les calculs antérieurs 
		
$p(\mbox{A}_1\cap \mbox{B}_1)= \dfrac{4}{15}$ et $p(\mbox{B}_1) = \dfrac{8}{15}$. Donc $p_{\mbox{B}_1}({\mbox{A}_1}) = \dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\item L'évènement R est réalisé lorsque l'un des évènements incompatibles ci-dessous l'est :

\og tirer une boule noire au premier tirage et une boule noire au second \fg{} soit réaliser l'évènement A$_1\cap$ B$_1$ ;

ou

\og ne tirer aucune boule noire au premier tirage et deux boules noires au second \fg{} soit réaliser l'évènement A$_0\cap$B$_2$.

Il en résulte que $p(\mbox{R}) = p(\mbox{A}_1\cap \mbox{B}_1) + p(\mbox{A}_0\cap \mbox{B}_2) = \dfrac{4}{15} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{1}{3}.$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Les vecteurs $\vect{\mbox{OA}}$, $\vect{\mbox{OB}}$ et $\vect{\mbox{OC}}$ ont respectivement pour cordonnées $(5~;~5)$, $(1~;~3)$ et $(8~;~-4)$.

Les vecteurs $\vect{\mbox{PA}}$, $\vect{\mbox{PB}}$ et $\vect{\mbox{PC}}$ ont respectivement pour cordonnées $(-5~;~5)$, $(-9~;~3)$ et $(-2~;~-4)$.

Par suite $\vect{\mbox{OA}}.\vect{\mbox{PA}} = 0$ donc A$\in \Gamma $ ;
$\vect{\mbox{OB}}.\vect{\mbox{PB}} = 0$ donc B$\in \Gamma $ ;
$\vect{\mbox{OC}}.\vect{\mbox{PC}} = 0$ donc C$\in \Gamma $.

\item[\textbf{2.}] Montrons que D$\in$(BC) en établissant que les vecteurs $\vect{\mbox{DB}}$ et $\vect{\mbox{BC}}$ sont colinéaires.

$\vect{\mbox{DB}}$ a pour coordonnées $(-1,1)$, $\vect{\mbox{BC}}$ a pour coordonnées $(7,-7)$, donc

 $\vect{\mbox{BC}} = (-7) \vect{\mbox{DB}}$.

Montrons que (OD)$\bot$(BC) en établissant que $\vect{\mbox{OD}}.\vect{\mbox{BC}} = 0$.

$\vect{\mbox{OD}}$ a pour coordonnées $(2~;~2)$, $\vect{\mbox{BC}}$ a pour coordonnées $(7~;~-7)$, donc

 $\vect{\mbox{OD}}.\vect{\mbox{BC}} = 0$.

En résumé, D est bien le projeté de O sur la droite (BC).

\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item $(\vect{\mbox{OM}}\ ,\ \vect{\mbox{OM}'}) = \arg \dfrac{z'}{z} = \arg \dfrac{20}{z\overline{z}}$. Or $z\overline{z}$ est un réel (strictement positif) donc de même $\dfrac{20}{z\overline{z}}$. Par suite $\arg \dfrac{z'}{z} = 0 + k.2\pi$ : les points O, M, M$'$ sont alignés.
\item
	\begin{enumerate}
		\item M$\in \Delta $ donc son affixe $z$ est du type $2 + iy$, où $y$ désigne un réel quelconque.

On en déduit que $\overline{z} = 2 - iy$ donc $z + \overline{z} = 4$.
		\item $z' + \overline{z'} = \dfrac{20}{\overline{z}} + \dfrac{20}{z} = \dfrac{20(z + \overline{z})}{z\overline{z}} = \dfrac{80}{z\overline{z}}$.
Par suite $5(z' + \overline{z'}) = \dfrac{400}{z\overline{z}} = \dfrac{20}{\overline{z}}\times \dfrac{20}{z} = z'\times  \overline{z'}$.
		\item Démontrons que M$'\in \Gamma $ en établissant que $\Omega$M$'^2 = 25$.\\
$\vect{\Omega\mbox{M}'}$ a pour affixe $ z' - 5$, donc $\Omega$M$'^2 = (z' - 5)\overline{(z' - 5)}$.\\
Or $(z' - 5)\overline{(z' - 5)} = (z' - 5)(\overline{z'} - 5) = z'\overline{z'} - 5(z' + \overline{z'}) + 25.$ D'après la relation établie en \textbf{b.} il en résulte que $(z' - 5)\overline{(z' - 5)} = 25$ c'est-à-dire que $\Omega$M$'^2 = 25$ : M$'\in\Gamma $.

On sait de plus, d'après la question \textbf{1.}, que M$'\in$(OM). Donc M$'$ est bien le point d'intersection (autre que O) de la droite (OM) et du cercle $\Gamma $.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(-1,-6)(11,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-6)(11,6)
\pscircle(5,0){5} \psline(-1,5)(10,-6)
\psline(2,-6)(2,6) \psline(-1,1)(5.5,-5.5) \psline(0,0)(2,2)
\uput[r](2,4.5){$\Delta$} \uput[u](5,5){A} \uput[l](1,3){B} \uput[r](2,2){D} \uput[d](5,0){$\Omega$} 
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](10,0){P} \uput[ur](2,-2){M} \uput[dr](2,-4.2){$\Gamma$} \uput[ur](5,-5){$M'$} \uput[d](8,-4){C} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\textbf{Exercice de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item A$_0$ et B$_0$ ont été choisis de façon quelconque avec A$_0$B$_0 = 8$.

On peut vérifier que A$_0$B$_i =\dfrac{1}{2}$A$_0$B$_{i-1}$ et que une mesure de $(\vect{\mbox{A}_0\mbox{B}_{i-1}}\ ,\ \vect{\mbox{A}_0\mbox{B}_i})$ est $\dfrac{3\pi}{4}$ avec $1 \leqslant i \leqslant  4$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.9,-2.5)(8,4.5)
\psline(-1.414,0)(8,0)(-2.828,2.828)(0,0)(0.707,0.707)
\psline(0,-2)(0,3)
\uput[r](0,2.5){$\Delta$} \uput[dr](0,0){A$_{0}$} \uput[d](8,0){B$_{0}$} 
\uput[l](-2.828,2.828){B$_{1}$} \uput[r](0,-2){B$_{2}$} \uput[ur](0.707,0.707){B$_{3}$} 
\uput[d](-0.5,0){B$_{4}$} \rput(0,-1.414){$\times$} \rput(0.707,0.707){$\times$} 
 \rput(-0.5,0){$\times$}
\psarc(0,0){4}{0}{135} \psarc(0,0){2}{135}{270} 
\psarc(0,0){1}{-90}{45} \psarc(0,0){0.5}{45}{180} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\item On sait que l'image d'un triangle par une similitude plane est un triangle semblable. Ici A$_0 =$S(A$_0$), B$_{n+1} =$S(B$_n$) et B$_{n+2} =$S(B$_{n+1}$). Donc le triangle 

A$_0$B$_{n+1}$B$_{n+2}$ est l'image par la similitude S du triangle A$_0$B$_n$B$_{n+1}$ : ces triangles sont semblables.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\ell_{n+1} =$B$_{n+1}$B$_{n+2} =$S(B$_n$)S(B$_{n+1}$). Par suite $\ell_{n+1} = \dfrac{1}{2} \ell_n$ : la suite ($\ell_n$) est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
		\item On sait que $\ell_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \ell_0$.

		\item On sait que $ \sum_n = \ell_0 \dfrac{-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} +1}{\dfrac{1}{2}}$. Donc $ \sum_n = 2\ell_0 \left(1 -\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)$.
		
Comme $\underset{n\rightarrow + \infty}\lim \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} = 0$, on en déduit que $\underset{n\rightarrow +\infty} \lim \sum_n = 2\ell_o$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Comme $3$ et $4$ sont premiers entre eux, il existe des couples d'entiers relatifs $(u~;~v)$ tels que $3u - 4v = 2$ ; $(2~;~1)$ constitue une solution particulière. On en déduit que les solutions de $3x -4y = 2$ sont celles de $3x - 4y = 3\times 2 - 4\times 1$, soit encore celles de $3(x - 2) = 4(y - 1)$.

Le théorème de Gauss s'applique : $4$ divise $3(x-2)$, $4$ est premier avec $3$ donc $4$ divise $x - 2$ c'est à dire qu'il existe un entier $t$ tel que $x-2 = 4t$ soit $x = 2 + 4t$.\\
On en déduit facilement que $y-1 = 3t$ soit $y = 1 + 3t$.

En résumé les solutions de $3x -4y = 2$ sont les couples d'entiers relatifs de la forme $(2 + 4t\ ,\ 1+3t)$, avec $t \in \Z$.
\item Comme par définition de la suite de points (B$_n$), on a B$_n$ = S$^n$(B$_0$), on en déduit que une mesure de $\left(\vect{\mbox{A}_0\mbox{B}_0}\ ,\  \vect{\mbox{A}_0\mbox{B}_n}\right)$ est $n\times \dfrac{3\pi}{4}$, avec $n \in \Z$.

Pour que le point B$_n$ appartienne à $\Delta $ il est nécessaire et suffisant que $n\times \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, où $(n,k) \in \Z^2$.

On en déduit que $(n,~k)$ est solution de $3n = 2 + 4k$ soit de $3n - 4k = 2$.

Il résulte du \textbf{a.} que $n$ est du type $2 + 4t$, avec $t \in \Z$.

\textbf{Les entiers naturels $n$} pour lesquels B$_n \in \Delta $ sont donc du type $2 + 4t$ avec $t \in \N$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}