\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-math}
% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique et celle de la Guadeloupe
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 14 septembre 2012}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles--Guyane ~\decofourright\\14 septembre 2012}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). 
%
%Pour chaque question, une seule proposition exacte.
% 
%Indiquer sur la copie le numéro de chaque question, et recopier la réponse choisie ; aucune justification n'est demandée.
% 
%\emph{Barème: une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\medskip
% 
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
% 
%\[f(x) = 2 - \text{e}^{2x - \ln (3)}\]
% 
%et soit $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.

\medskip

On peut écrire $f(x) = 2 - \text{e}^{2x - \ln (3)} = 2 - \text{e}^{2x} \times \text{e}^{- \ln (3)} = 2 - \text{e}^{2x} \times \dfrac{1}{\text{e}^{ \ln (3)}} = 2 - \dfrac{1}{3}\text{e}^{2x}$. 
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$: 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} est croissante sur $\R$ & 
%\textbf{b.~~} est décroissante sur $\R$ & \textbf{c.~~} n'est pas monotone sur $\R$ \\
%\end{tabularx}
On a donc $f'(x) = - \dfrac{1}{3} \times 2 \times \text{e}^{2x} < 0$ car opposé du produit de trois nombres positifs : la fonction est donc décroissante sur $\R$. Réponse \textbf{b.}
%\medskip
 
\item Le réel $f(1)$ est égal à : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $5 - \text{e}^{2}$&\textbf{b.~~}  $\dfrac{6 - \text{e}^{2}}{3}$ &\textbf{c.~~} $- 0,46$ &
%\textbf{d.~~} $\dfrac{\ln (3)}{2}$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
$f(1) = 2 - \dfrac{1}{3}\text{e}^{2} =  \dfrac{6 - \text{e}^{2}}{3}$. Réponse \textbf{b.}
\item La limite de $f$ en $+ \infty$ est égale à : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $+ \infty$ & 
%\textbf{b.~~} $- \infty$ & 
%\textbf{c.~~} $2$ & 
%\textbf{d.~~}  $0$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{2x} =  + \infty, \: \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. Réponse \textbf{b.} 
\item La tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $\ln (3)$ a pour équation:

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
%\textbf{a.~~} $y = - 3x + 3 \ln (3) - 1$&\textbf{b.~~} $y = -3x - 1$ \\ 
%\textbf{c.~~} $y = -6x + 6\ln (3) - 1$&\textbf{d.~~} $y = - x + \ln (3) - 3$.\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
On a vu que $f'(x) = -\dfrac{2}{3} \text{e}^{2x}$, donc $f'(\ln (3)) =  -\dfrac{2}{3} \text{e}^{2\ln (3)} = -\dfrac{2}{3}\left(\text{e}^{\ln (3)}\right)^2 = -\dfrac{2}{3} \times 3^2 = - 6$.

D'autre part $f(\ln (3)) = 2  - \dfrac{1}{3}\text{e}^{2\ln (3)} = 2 - \dfrac{1}{3}\times 9 = 2 - 3 = - 1$.

Une équation de la tangente est donc :

$y - f(\ln (3)) = f'(\ln (3))(x - \ln (3))$, soit $y - (- 1) = - 6(x - \ln (3)) \iff$

$ y = - 6x + 6\ln (3) - 1$. Réponse  \textbf{c.} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\bigskip

%L'entreprise E produit un modèle de lave-vaisselle. La production de ce lave-vaisselle est répartie sur trois sites industriels A, B, C, qui sont d'importances inégales.
%
%\setlength\parindent{6mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Le site $A$ assure 60\,\% de la production.
%\item[$\bullet~~$] Le site $B$ assure 30\,\% de la production.
%\item[$\bullet~~$] Le site $C$ assure le reste de la production.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Après plusieurs années de commercialisation, on note que 37\,\% des lave-vaisselles en provenance du site $A$ connaissent une panne avant $5$ ans d'utilisation ; 25\,\% des lave-vaisselles provenant du site $B$ connaissent une panne avant 5 ans d'utilisation, et 12\,\% de ceux provenant du site $C$ connaissent une panne avant 5 ans d'utilisation.
% 
%On choisit au hasard un lave-vaisselle produit par l'entreprise E.
%
%\medskip
% 
%Dans la suite on désigne par $A$, (respectivement par $B, C$) l'évènement \og le lave-vaisselle choisi est issu du site de production $A$ (respectivement $B, C$) \fg. 
%
%On désigne par $S$, l'évènement \og le lave-vaisselle tombe en panne avant 5 ans \fg ; $\overline{S}$ désigne l'évènement contraire de $S$.
% 
%\emph{Dans cet exercice les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Préciser les valeurs des probabilités $p(A)$ et $p(B)$.
On a  $p(A) = 0,6$ et $p(B) = 0,3$.
		\item %On note $p_{A}(S)$ (respectivement $p_{B}(S),\: p_{C}(S)$) la probabilité de l'évènement $S$ sachant que l'évènement $A$ (respectivement $B,\: C$) est réalisé ; calculer $p_{A}(S), p_{B}(S)$ et  $p_{C}(S)$. 
L'énoncé donne $p_{A}(S) = 0,37 \:;\quad  p_{B}(S) = 0,25$ et $p_{C}(S) = 0,12$.
		\item ~%Construire un arbre illustrant la situation, en indiquant sur les branches adéquates les probabilités données dans l'énoncé.

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}\taput{0,6}}
	{
	\TR{$S$} \taput{0,37}
	\TR{$\overline{S}$} \tbput{0,63}	
	}
\pstree{\TR{$B$}\taput{0,3}}
	{
	\TR{$S$} \taput{0,25}
	\TR{$\overline{S}$} \tbput{0,75}	
	}
\pstree{\TR{$C$}\tbput{0,1}}
	{
	\TR{$S$} \taput{0,12}
	\TR{$\overline{S}$} \tbput{0,88}	
	}
}
\end{center}
		
	\end{enumerate} 
\item %Quelle est la probabilité que le lave-vaisselle provienne du site $A$ et connaisse une panne avant $5$ ans ? 
On a $p(A \cap S) = p(A) \times p_A(S) = 0,6 \times 0,37 = 0,222$.

\item %Démontrer que la probabilité de l'évènement $S$ est $0,309$.
De même on trouve que :

$p(B \cap S) = p(B) \times p_B(S) = 0,3 \times 0,25 = 0,075$.

$p(C \cap S) = p(C) \times p_C(S) = 0,1 \times 0,12 = 0,012$.

D'où d'après la loi des probabilités totales :

$p(S) =  p(A \cap S) + p(B \cap S) + p(C \cap S) = 0,222 + 0,075 + 0,012 = 0,309$.
\item %Le lave-vaisselle est tombé en panne avant $5$ ans d'utilisation ; quelle est la probabilité qu'il provienne du site $B$ ?
Il faut trouver $p_S(B) = \dfrac{p(S \cap B)}{p(S)}  = \dfrac{0,075}{0,309} = \dfrac{75}{309} = \dfrac{25}{103}\approx 0,243$.
\item %\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%L'entreprise E assure le service après-vente : si le lave-vaisselle tombe en panne avant 5 ans d'utilisation, elle finance la réparation, dont le prix est estimé à $110$~euros par appareil réparé. 

%Déterminer, pour l'entreprise, le coût moyen par lave-vaisselle de ces réparations.
La probabilité qu'un appareil tombe en panne avant 5 ans est égale à 0,309 avec un coût de 110, donc le coût moyen par lave-vaisselle de ces réparations sera de $0,309 \times 110 = 33,99~$\euro. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\bigskip

%Les employés d'une grande zone commerciale ont le choix entre deux types de restaurants: un \og self \fg{} ou un restaurant \og traditionnel\fg{} avec service à la place. On admet que tous les employés mangent chaque jour dans l'un des deux restaurants. On a constaté que :
% 
%\setlength\parindent{6mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] si un employé mange au \og self\fg{} un jour donné, alors le lendemain il y mange également avec une probabilité de $0,8$ ;
%\item[$\bullet~~$] si un employé mange dans le restaurant \og traditionnel\fg{} un jour donné, alors le lendemain il change pour le \og self\fg{} avec une probabilité de $0,4$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%  
%On choisit au hasard un employé de la zone commerciale.
% 
%Si $n$ est un entier naturel non nul, on appelle $s_{n}$ la probabilité que l'employé choisi mange au \og self \fg le $n$-ième jour, et par $t_{n} = 1 - s_{n}$ la probabilité qu'il mange au restaurant \og traditionnel \fg{} le $n$-ième jour.
% 
%Pour l'état initial, on admet que $s_{1} = t_{1} = 0,5$, c'est-à-dire que le premier jour, les probabilités de choix du \og self \fg{} ou du restaurant \og traditionnel \fg{} sont égales.
% 
%Dans la suite, pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $P_{n}$ la matrice $P_{n} = \left(s_{n} \quad t_{n}\right)$.
% 
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){S}{\small{\textsf{\bleu{S}}}}\cnodeput(4.5,1){T}{\small{\textsf{\bleu{T}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{S}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{T}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{S}{T} \ncarc[arcangle=40]{->}{T}{S}
\rput(0,1){0,8} \rput(5.2,1){0,6}
\rput(2.5,2){0,2} \rput(2.5,0){0,4}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Justifier l'égalité matricielle $P_{n+1} = P_{n} \times M$ où $M$ désigne la matrice 	$\begin{pmatrix}0,8&0,2\\ 0,4&0,6\end{pmatrix}$ et $n$ un entier  naturel non nul. 
La matrice de transition $M$ de ce graphe vérifie $P_{n+1} = M \times P_n$ est telle que $M = \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix}$.
\item %Déterminer la probabilité que l'employé tiré au sort mange au \og self \fg{} le deuxième jour.
On a $P_2 = P_1 \times M = \begin{pmatrix} 0,5& 0,5\end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,6& 0,4\end{pmatrix}$.

La probabilité que l'employé tiré au sort mange au \og self \fg{} le deuxième jour est égale à 0,6.
\item %Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter.
Les termes de $M$ étant non nuls, l'état $P_n$ converge vers un état stable $P = \begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix}$ avec $x + y = 1$ vérifiant $P = PM$, soit :

$\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix}$ et $x + y = 1$ d'où le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x\phantom{y}&=&0,8x + 0,4y\\
\phantom{x} y&=&0,2x + 0,6y\\
x + y&=&1
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
0,2x - 0,4y &=& 0\\
-0,2x + 0,4y&=&0\\
x + y&=&1
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - 2y &=& 0\\
x + y&=&1
\end{array}\right.\Rightarrow 3y = 1 \iff y = \dfrac{1}{3}$, d'où $x = \dfrac{2}{3}$.

L'état stable est $P = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{3} \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.
\item %Démontrer que pour tout entier nature $n$ non nul, on a : $s_{n+1} = \dfrac{2}{5}s_{n} + \dfrac{2}{5}$.
Quel que soit le naturel $n$ non nul, on a :

$P_{n+1} = P_n \times M$, soit $\begin{pmatrix} s_{n+1} t_{n+1}\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} s_{n} t_{n}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,4&0,6 \end{pmatrix}$ et $s_n + t_n = 1$. D'où le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
s_{n+1}\phantom{+ t_{n+1}}&=&0,8s_n + 0,4t_n\\
\phantom{s_{n+1} +}t_{n+1}&=&0,2s_n + 0,6t_n\\
s_n + t_n&=&1
\end{array}\right.\iff  \left\{\begin{array}{l c l}
s_{n+1}\phantom{+ t_{n+1}}&=&0,8s_n + 0,4\left(1 - s_n \right)\\
\phantom{s_{n+1} +}t_{n+1}&=&0,2s_n + 0,6t_n\\
\phantom{s_{n+1} +}t_n&=&1 - s_n
\end{array}\right. \Rightarrow s_{n+1} = 0,8s_n - 0,4s_n + 0,4$ soit finalement 

$s_{n+1} = 0,4s_n + 0,4 = \dfrac{2}{5}s_n + \dfrac{2}{5}$.
\item %Dans la suite, pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $u_{n} = s_{n} - \dfrac{2}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $u_{1} =- \dfrac{1}{6}$.
On calcule $u_{n+1} =  s_{n+1} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{5}s_n + \dfrac{2}{5} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{5}s_n + \dfrac{6 - 10}{15} = \dfrac{2}{5}s_n - \dfrac{4}{15} = \dfrac{2}{5}\left(s_n -  \dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{2}{5}u_n$.

Cette dernière égalité montre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $u_{1} = s_1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3 - 4}{6} = - \dfrac{1}{6}$.
		\item %Déterminer l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$, où $n$ est un entier naturel non nul.
On sait que $u_n =  - \dfrac{1}{6} \times \left(\dfrac{2}{5} \right)^{n-1}$ (on démarre au rang 1) 
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $s_{n} = - \dfrac{1}{6}\times  \left(\dfrac{2}{5} \right)^{n-1}	+ \dfrac{2}{3}$. 
Comme $u_{n} = s_{n} - \dfrac{2}{3} \iff s_n = u_n + \dfrac{2}{3}$, on a donc 

$s_n = - \dfrac{1}{6}\times \left(\dfrac{2}{5} \right)^{n-1} + \dfrac{2}{3}$.
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(s_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat.
		Comme $0 < \dfrac{2}{5} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{2}{5} \right)^{n-1} = 0$.
		
Donc  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} s_n = \dfrac{2}{3}$.

Ceci est conforme au résultat de la question 4 : à terme les deux tiers des employés mangeront au \og self \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
%Afin de mesurer l'évolution de l'utilisation du vélo, une communauté urbaine organise le comptage régulier des vélos en plusieurs points de l'agglomération. Le tableau ci-dessous indique le nombre moyen, sur un mois, de vélos comptés par jour. 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
%\footnotesize Mois &Mars 2005 &Juin 2005 &Décembre 2005 &Juin 2006 & Décembre 2006 &Juin 2007\\ \hline 
%\footnotesize Rang du mois : $x_{i}$ &0 &3 &9 &15 &21 &27\\ \hline 
%\footnotesize Nombre moyen de vélos comptés par jour (en milliers) : $y_{i}$&3,9 &4,4 &5,1 &6,4 &7,1 &7,6\\ \hline 
%\end{tabularx} 
% 
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.
 
%On prendra pour unités graphiques : en abscisse, 1~centimètre pour représenter 3~mois et en ordonnées, 1~centimètre pour représenter 1~millier.
\begin{center}
\psset{xunit=0.33333cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(30,9)
\multido{\n=0+1}{31}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,9)}
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(30,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3]{->}(0,0)(30,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3](0,0)(30,9)
\psdots(0,3.9)(3,4.4)(9,5.1)(15,6.4)(21,7.1)(27,7.6)
\psdots[linecolor=red](12.5,5.75)\uput[ul](12.5,5.75){$G$}
\uput[u](29,0){$x$}
\uput[r](0,8.9){$y$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{30}{3.97 0.14 x mul add}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip
 
\item %Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ et le placer sur la représentation graphique. 
Si $G\left(\overline{x}~;~\overline{y} \right)$, on a 

$\overline{x} = \dfrac{0 +3+9+15+21+27 }{6} = 12,5$ \quad et $\overline{y} = \dfrac{3,9+ 4,4+5,1+6,4+7,1+7,6}{6} = 5,75$. Donc $G\left(12,5~;~5,75\right)$.
\item %Déterminer, en utilisant la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients obtenus à $10^{-2}$ près.
La calculatrice donne $y = 0,14x + 3,97$ en arrondissant les coefficients au centième.

%Tracer la droite d'ajustement sur la représentation graphique.
Voir le tracé ci-dessus. 
\item %À l'aide de l'ajustement réalisé, déterminer une estimation du nombre moyen de vélos que l'on pouvait prévoir par jour au mois de décembre 2007 (on arrondira le résultat à $10^{-1}$).
Décembre 2007 correspond au rang 33 (mois après mars 2005), donc 

\[0,14 \times 33 + 3,97 = 8,59.\]

Il y aura en décembre 2007 environ 8,6 milliers de vélos. 
\item %On sait qu'en décembre 2007, le nombre moyen de vélos observés a été de $\np{7600}$. Déterminer, en pourcentage, l'erreur commise dans l'estimation précédente.
L'erreur en pourcentage est :

\[\dfrac{8,6 - 7,6}{7,6} \times 100 = \dfrac{1}{7,6} \times 100 \approx 13,2.\]

La prévision a donc été surestimée de 13,,2\,\% environ. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center}

\textbf{Partie A}

\end{center}
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~18] par : 

\[f(x) = 4\ln (3x + 1) - x + 3\] 

%Le graphique de l'annexe donne la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur [0,5~;~18]. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~18], on a :

%\[f'(x)= \dfrac{- 3x + 11}{3x+ 1}.\]
On a $x > 0,5 \Rightarrow 3x > 1,5 \Rightarrow 3x + 1 > 2,5 \Rightarrow \ln (3x + 1)$ existe.

La fonction $f$ est donc définie et dérivable et sur [0,5~;~18]

$f'(x) = 4 \times \dfrac{3}{3x + 1} )  - 1 = \dfrac{12}{3x + 1} - 1 = \dfrac{12 - 3x - 1}{3x + 1} = \dfrac{- 3x + 11}{3x + 1}$. 
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur [0,5~;~18].
On a déjà vu que $3x + 1 > 0$ sur l'intervalle : le signe de $f'(x)$ est donc celui du numérateur $- 3x + 11$.

Or $- 3x + 11 > 0 \iff 11 > 3x \iff \dfrac{11}{3} > x$ et de même $- 3x + 11 < 0 \iff 11 < 3x \iff \dfrac{11}{3} < x$.

Donc $f'(x) > 0$ sur $\left[0,5~;~\frac{11}{3}\right]$ et $f$ est croissante sur cet intervalle ;

$f'(x) < 0$ sur $\left[\frac{11}{3}~;~18\right]$ et $f$ est décroissante sur cet intervalle.

D'autre part $f(0,5) = 4\ln (2,5) - 0,5 + 3 = 4 \ln (2,5) + 2,5 \approx 6,17$ ;

$f\left(\frac{11}{3} \right) = 4\ln 12 - \frac{11}{3} + 3 = 4\ln 12 - \frac{2}{3} \approx 9,27$

$f(18) = 4\ln 55 - 18 + 3 = 4\ln 55 - 15 \approx 1,03$.

D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5) 
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.2,2.4){$0,5$} \uput[u](4,2.4){$\frac{11}{3}$} \uput[u](6.8,2.4){$18$}
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2,1.9){$+$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$-$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\rput(0.5,1){$f(x)$}
\uput[u](1.6,0){$\approx 6,17$}\uput[d](4,2){$\approx 9,27$} \uput[u](6.6,0){$\approx  1,03$}  
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item Le tableau de variations montre que $f$ dérivable donc continue sur l'intervalle $\left[\frac{11}{3}~;~18\right]$ est décroissante de 9,27 à 1,03. Il existe donc un réel unique $\alpha $ de cet intervalle tel que $f(\alpha) = 6$.

%Vérifier que l'équation $f(x) = 6$ admet une unique solution dans [0,5~;~18], que l'on note $\alpha$.
 
%Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par défaut.

La calculatrice donne :

$f(11) \approx 6,1$ et $f(12) \approx 5,4$, donc $11 < \alpha < 12$ ;

$f(11,1) \approx 6,04$ et $f(11,2) \approx 5,98$, donc $11,1 < \alpha < 11,2$ ;

$f(11,16) \approx 6,002$ et $f(11,17)\approx 5,995$, donc $11,16 < \alpha < 11,17$.
 
\item %On note $F$ la fonction définie sur l'intervalle [0,5~;~18] par : 

\[F(x) = \dfrac{4}{3}(3x + 1)\ln (3x + 1) - \dfrac{x^2}{2} - x.\] 

	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur [0,5~;~18].
Calculons sur [0,5~;~18] $F'(x) = \dfrac{4}{3}\times 3\ln (3x + 1) + \dfrac{4}{3}\times (3x + 1) \times \dfrac{3}{(3x + 1)} - \dfrac{2x}{2} - 1 = 4\ln (3x + 1) + 4 - x - 1 =  4\ln (3x + 1) - x + 3 = f(x)$.

Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur [0,5~;~18].		 
		\item %Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^8  f(x)\:\text{d}x$ et donner une valeur approchée de cette intégrale à $10^{-1}$ près.
D'après le résultat précédent : $\displaystyle\int_{1}^8  f(x)\:\text{d}x = F(8) - F(1) = \dfrac{4}{3}(3 \times 8 + 1)\ln (3 \times 8 + 1) - \dfrac{8^2}{2} - 8 - \left(\dfrac{4}{3}(3\times 1 + 1)\ln (3 \times 1 + 1) - \dfrac{1^2}{2} - 1 \right) = \dfrac{100}{3}\ln 25 - 32 - 8 - \left(\dfrac{16}{3}\ln 4 - \dfrac{1}{2} - 1\right) = \dfrac{100}{3}\ln 25 - \dfrac{16}{3}\ln 4 - 40 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{100}{3}\ln 25 - \dfrac{16}{3}\ln 4 - \dfrac{77}{2} \approx 61,4$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\begin{center}

\textbf{Partie B}

\end{center}

%\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
% 
%On admet que le bénéfice réalisé par une entreprise lorsqu'elle fabrique $x$ centaines de pièces est égal à $f(x)$, en milliers d'euros, pour une production comprise entre $50$ pièces et $\np{1800}$ pièces.
% 
%En utilisant les résultats précédents et en justifiant, répondre aux questions suivantes.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Pour quelle quantité de pièces produites, arrondie à l'unité, l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice, arrondi à la dizaine d'euros ? 
On a vu que le maximum de $f$ sur [0,5~;~18] est atteint pour $x = \frac{11}{3} \approx 3,67$ soit environ 367 pièces.
\item %Pour quelles quantités de pièces produites, l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice supérieur ou égal à $\np{6000}$~euros ?
Il faut trouver pour quelles valeurs de $x, \: f(x) \geqslant 6$ ; or on a vu $f(\alpha) = 6$.

D'après le tableau de variations l'entreprise réalise un bénéfice supérieur ou égal à $\np{6000}$~euros sur l'intervalle $[0,5~;~\alpha] \approx [0,5~;~11,16]$.
\item %Déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre $100$ et $800$~pièces.
 
%On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100~euros près.
La valeur moyenne de $f$ sur [1~;~8] est égal à :

\[\dfrac{1}{8 - 1}\displaystyle\int_{1}^8  f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{7}\displaystyle\int_{1}^8  f(x)\:\text{d}x \approx \dfrac{1}{7} \times 61,4 \approx 8,77.\]

La valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre $100$ et $800$~pièces est \np{8770}~\euro{} soit \np{8800}~\euro{} à la centaine d'euros près. 
\end{enumerate}

%\newpage
%\begin{center}
%\textbf{\Large ANNEXE}
%
%\vspace{2cm}
%
%\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-1)(19,11)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.9)(19,11)
%\uput[dl](0,0){O}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{18}{x 3 mul 1 add ln 4 mul x sub 3 add}
%\end{pspicture}
%\end{center}
\end{document}