\documentclass[10pt,leqno]{scrartcl} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Vincent Tolleron \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \usepackage{pst-all} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %: commandes à mézigue \newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert} \newcommand{\limi}[2]{\displaystyle\lim_{#1 \to #2}} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \def\e{\text{e}} \def\i{\text{i}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{graphicx} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small 30 mai 2014} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \def\labelitemi{$\bullet$} \def\labelitemii{$\circ$} \def\labelitemiii{$\star$} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt} \pagestyle{fancy} %\pagestyle{empty} \parindent=0cm \begin{center} { \textbf{\Large \decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Antilles-Guyane juin 2014~\decofourright} } \end{center} %\cfoot{\textsc{19 juin 2014} -- Corrigé du baccalauréat S -- Antilles-Guyane} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item L'arbre pondéré est le suivant: \begin{center} \psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=25mm,treesep=8mm} \pstree[treemode=R]{\Tp} { \pstree {\Tr{$J$}\taput{\small $0,85$}} { \Tr{$C$}\taput{\small $0,80$} \Tr{$\overline{C}$}\tbput{\small $0,20$} } \pstree {\Tr{$\overline{J}$}\tbput{\small $0,15$}} { \Tr{$C$}\taput{\small $0,10$} \Tr{$\overline{C}$}\tbput{\small $0,90$} } } \end{center} \item D'après l'arbre: \[ p\left(\overline{J}\cap C\right)=\np{0,15}\times\np{0,10}=\np{0,015}. \] \item $J$ et $\overline{J}$ formant une partition de l'univers, la formule des probabilités totales donne: \[ p(C)=p\left(\overline{J}\cap C\right)+p(J\cap C)=\np{0,015}+\np{0,85}\times\np{0,80}=\np{0,695}. \] \item Il s'agit de calculer une probabilité conditionnelle: \[ p_C\left(\overline{J}\right)=\dfrac{p\left(\overline{J}\cap C\right)}{p(C)}=\dfrac{\np{0,015}}{\np{0,695}}\approx\np{0,0216}. \] \end{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice: $p(87\leqslant X\leqslant 89)\approx\np{0,2417}$. \item De même $p(X\geqslant 91) \approx \np{0,3085}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \smallskip \begin{enumerate} \item L'échantillon est de taille $n=120$. L'hypothèse formulée est que la probabilité $p$ qu'une huître possède une masse supérieure à 91~g est $p=\np{0,60}$. On a alors: \begin{itemize} \item $n\geqslant 30$; \item $np=72\geqslant 5$; \item $n(1-p)=48\geqslant 5$. \end{itemize} Les trois conditions pour utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95~\% sont réalisées, et cet intervalle $I$ est donné par: \[ I=\left[ p-\np{1,96}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+\np{1,96}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] =[\np{0,5123}~;~\np{0,6877}] \] \item La fréquence observée d'huîtres pesant plus de 91~g est $F=\dfrac{65}{120}\approx\np{0,5417}$. \\On a $F\in I$, l'hypothèse selon laquelle $p=\np{0,60}$ ne peut être rejetée. \end{enumerate} \pagebreak %: Ex 2 6 points, commun \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \smallskip \begin{enumerate} \item $g$ est dérivable sur $\R$ comme combinaison simple de fonctions qui le sont, et pour tout réel $x$: $g'(x)=-1+\e^{x}$. On a alors $g'(x)\geqslant 0\Leftrightarrow \e^x\geqslant 1\Leftrightarrow x\geqslant 0$. Le tableau de variations de $g$ est donc: \begin{center} \begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline $x$ & $-\infty$ & &0& &$+\infty$ \\ \hline $g'(x)$&&$-$&0&$+$&\\ \hline &\rnode{a}{}& & & &\rnode{c}{}\\ $g$& & & & & \\ & & &\rnode{b}{2}& &\\ \hline \end{tabular} \ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b} \ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{c} \end{center} On déduit du tableau précédent que, pour tout réel $x$, $g(x)\geqslant 2>0$. \item \textbf{Étude en $-\infty$}.\\ $\limi{x}{-\infty}(x+1)=-\infty$ et $\limi{x}{-\infty}\dfrac{x}{\e^x}=-\infty$ donc, par somme: $\limi{x}{-\infty}f(x)=-\infty$.\\ \textbf{Étude en $+\infty$}.\\ $\limi{x}{+\infty}(x+1)=+\infty$ et, par croissances comparées $\limi{x}{+\infty}\dfrac{x}{\e^x}=0$, donc, par somme $\limi{x}{+\infty}f(x)=+\infty$. \item Pour tout réel $x$, on a: \begin{eqnarray*} f'(x)&=&1+\dfrac{1\e^x-x\e^x}{\left(\e^x\right)^2}\\ &=&1+\dfrac{\e^x(1-x)}{\e^x\times\e^x}\\ &=&1+\dfrac{1-x}{\e^x}\\ &=&\dfrac{\e^x+1-x}{\e^x}\\ &=&\e^{-x}g(x). \end{eqnarray*} \item On a vu plus haut que, pour tout réel $x$, $g(x)>0$, et comme par ailleurs $\e^{-x}>0$, on en déduit que $f'(x)>0$. On obtient alors le tableau de variations suivant: \begin{center} \begin{tabular}{|c|ccc|} \hline $x$ & $- \infty$ &\qquad\qquad&$+ \infty$\\ \hline $f'(x)$& &$+$& \\ \hline & & &\rnode{b}{$+ \infty$}\\ $f$& & & \\ &\rnode{a}{$- \infty$}& &\\ \hline \end{tabular} \ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b} \end{center} \item La fonction $f$ est continue sur $\R$, strictement croissante. D'après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'intervalle $\R$ a pour image $\R$, ce dernier intervalle contenant 0, on en déduit que l'équation $f(x) = 0$ possède dans $\R$ une solution $\alpha$ unique. Par ailleurs, $f(- 1) = - \e^{-1}< 0$ et $f(0) = 1 > 0$, donc: $- 1 <\alpha < 0$. \item \begin{enumerate} \item La tangente $T$ a pour équation réduite: \[y = f'(0)(x - 0) + f(0) \Leftrightarrow y = 2x+1.\] \item Posons, pour tout réel $x$, $k(x) = f(x) - (2x + 1)$, alors : \begin{eqnarray*} k(x)&=&x+1+\dfrac{x}{\e^x}-(2x+1)\\ &=&\dfrac{x}{\e^x}-x\\ &=&\dfrac{x}{\e^x}\left(1-\e^x\right). \end{eqnarray*} Dressons alors un tableau de signes : \begin{center} \begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline $x$ & $-\infty$ &\qquad &0 &\qquad &$+ \infty$\\\hline $x$ & &$-$ &0 &$+$ &\\\hline $1-\e^x$& &$+$ &0 &$-$ &\\\hline $k(x)$ & &$-$ &0 &$-$ &\\\hline \end{tabular} \end{center} On en déduit que $\mathcal{C}$ est située en dessous de $T$. \end{enumerate} \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B} \smallskip \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$: \[ H'(x)=-\e^{-x}+(-x-1)\left(-\e^{-x}\right)=\e^{-x}(x+1-1)=x\e^{-x}=h(x), \] la fonction $H$ est donc une primitive de $h$ sur $\R$. \item Sur $[1~;~3]$, $\mathcal{C}$ est en dessous de $T$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$ est donc: \begin{eqnarray*} \mathcal{A}&=&\int_3^4\left((2x+1)-f(x)\right)\text{d}x\\ &=&\int_1^3x-h(x)\text{d}x\\ &=&\left[\dfrac{x^2}{2}-H(x)\right]_1^3\\ &=&4+4\e^{-3}-2\e^{-1}. \end{eqnarray*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item La proposition est \textbf{fausse}; en effet, on a: $\vect{AB}(-2~;~4~;~-1)$ et $\vect{AC}(6~;~-12~;~3)$, ces deux vecteurs sont colinéaires (car $\vect{AC}=-3\vect{AB}$), donc les trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés et ne définissent pas un plan. \item La proposition est \textbf{vraie} car on vérifie aisément que les coordonnées de chacun des points $A$, $B$ et $D$ vérifient l'équation $x-2z+9=0$. \item La proposition est \textbf{fausse}: la droite dont la représentation paramétrique est donnée dans l'énoncé est dirigée par le vecteur $\vect{u}\left(\frac32~;~-3~;~-\frac32\right)$, ce vecteur n'étant pas colinéaire à $\vect{AC}$, il ne peut diriger $(AC)$. \item La proposition est \textbf{fausse}: le plan $\mathcal{P}$ a pour vecteur normal $\vect{n}(2~;~-1~;~5)$, le plan $\mathcal{P}'$ a pour vecteur normal $\vect{n}'(-3~;~-1~;~1)$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les deux plans ne sont pas parallèles. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'une calculatrice, on obtient les valeurs suivantes: \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline $u_n$ & 2 & \np{3,4} & \np{2,18} & \np{1,19} & \np{0,61} & \np{0,31} & \np{0,16} & \np{0,08} & \np{0,04} \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Au vu du tableau précédent, on peut conjecturer que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang 1. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $\mathcal{P}(n)$ la propriété: \og $u_n\geqslant\frac{15}{4}\times\np{0,5}^n$\fg{}. Montrons par récurrence que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ non nul. \begin{itemize} \item \textbf{Initialisation.} On a $u_1=\np{3,4}$ et $\frac{15}{4}\times\np{0,5}=\np{1,875}$, donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie. \item \textbf{Hérédité.} Soit $n$ entier naturel non nul, et $\mathcal{P}(n)$ vraie, c'est-à-dire que: \begin{equation} \tag{HR} u_n\geqslant\frac{15}{4}\times\np{0,5}^k \end{equation} on doit alors démontrer que la propriété $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie, c'est-à-dire que $u_{n+1}\geqslant\frac{15}{4}\times\np{0,5}^{n+1}$. D'après (HR): \begin{eqnarray*} u_n&\geqslant&\frac{15}{4}\times\np{0,5}^n\qquad\text{donc, en multipliant par }\frac15:\\ \frac15u_n&\geqslant&\frac34\times\np{0,5}^n\qquad\text{ puis, en ajoutant membre à membre }3\times\np{0,5}^n:\\ \frac15u_n+3\times\np{0,5}^n&\geqslant&\frac34\times\np{0,5}^n+3\times\np{0,5}^n\qquad\text{ c'est-à-dire:}\\ u_{n+1}&\geqslant&\frac{15}{4}\times\np{0,5}^n \end{eqnarray*} Or, pour tout entier naturel $n$, $\np{0,5}^n\geqslant\np{0,5}^{n+1}$, on en déduit donc que: \[u_{n+1}\geqslant \dfrac{15}{4}\times\np{0,5}^{n+1}\] et la propriété $\mathcal{P}(n)$ est donc héréditaire. La propriété est vraie 1 et si elle est vraie à un rang non nul, $n$ elle est vraie au range suivant $n + 1$. On a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout naturel non nul $u_{n}\geqslant \dfrac{15}{4}\times\np{0,5}^{n}$. \item \textbf{Conclusion.} La propriété $\mathcal{P}(n)$ est initialisée et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul. \end{itemize} \item Pour tout entier naturel $n$ non nul: \begin{eqnarray*} u_{n+1}-u_n&=&\frac15u_n+3\times\np{0,5}^n-u_n\\ &=&3\times\np{0,5}^n-\frac45u_n\\ &=&\frac45\left(\frac{15}{4}\times\np{0,5}^n-u_n \right)\\ \end{eqnarray*} D'après la question 1a, cela entraîne que $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$. \item D'après la question précédente la suite $(u_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang. D'après 2a, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n\geqslant\frac{15}{4}\times\np{0,5}^n>0$, la suite est donc minorée. On en déduit, d'après le théorème de convergence des suites monotones, que la suite $(u_n)$ est convergente. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $n\in\N$, alors: \begin{eqnarray*} v_{n+1}&=&u_{n+1}-10\times\np{0,5}^{n+1}\\ &=&\frac15u_n+3\times\np{0,5}^n-10\times\np{0,5}\times\np{0,5}^n\\ &=&\frac15u_n-2\times\np{0,5}^n\\ &=&\frac15\left(u_n-10\times\np{0,5}^n\right)\\ &=&\frac15v_n. \end{eqnarray*} La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\frac15$.\\ Son premier terme vaut $v_0=u_0-10\times\np{0,5}^0=2-10=-8$. \item La suite $\left(v_n\right)$ étant géométrique, on a, pour tout entier naturel $n$: $v_n=-8\left(\frac15\right)^n$.\\ On en déduit que $-8\times\left(\frac15\right)^n=u_n-10\times\np{0,5}^n$ et donc que: $u_n=-8\times\left(\frac15\right)^n+10\times\np{0,5}^n$. \item $-1 < \frac15 < 1$, donc $\limi{n}{+\infty}\left(\frac15\right)^n = 0$, de même: $- 1 < \np{0,5} < 1$, donc $\limi{n}{+\infty}\np{0,5}^n = 0$. On en déduit par opérations sur les limites que $\limi{n}{+\infty}u_n = 0$. \end{enumerate} \item L'algorithme complet est: \begin{center} \fbox{ \begin{minipage}{10cm} \begin{tabular}{ll} \textbf{Entrée:} & $n$ et $u$ sont des nombres\\ \textbf{Initialisation:} & $n$ prend la valeur 0\\ & $u$ prend la valeur 2\\ \textbf{Traitement:} & Tant que $u > \np{0,01}$\hfill~~\qquad(1)\\ &\phantom{XXX} $n$ prend la valeur $n+1$\hfill~~\qquad(2)\\ &\phantom{XXX} $u$ prend la valeur $\frac15u+3\times\np{0,5}^{n-1}$\hfill~~\qquad(3)\\ &Fin Tant que\\ \textbf{Sortie:} & Afficher $n$ \end{tabular} \end{minipage} } \end{center} \end{enumerate} \vspace{2cm} %: Ex 4 5 points, spécialité \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $x$ et $y$ sont des entiers naturels tels que $24x+45y=438$, par conséquent: \begin{itemize} \item $24x\leqslant 438$ d'où $x\leqslant\dfrac{438}{24}=\np{18,25}$, donc $x\leqslant 18$ ; \item $45y\leqslant 438$ d'où $y\leqslant\dfrac{438}{45}\approx\np{9,73}$, donc $y\leqslant 9$. \end{itemize} \item Voici l'algorithme complété: \begin{center} \fbox{ \begin{minipage}{8cm} \begin{tabular}{ll} \textbf{Entrée:} & $x$ et $y$ sont des nombres\\ \textbf{Traitement:} & Pour $x$ variant de $0$ à 18\hfill~~(1)\\ &\phantom{XXX} Pour $y$ variant de 0 à 9\hfill~~(2)\\ &\phantom{XXXXXX} Si $24x + 45y = 438$\hfill~~(3)\\ &\phantom{XXXXXXXXX}Afficher $x$ et $y$\\ &\phantom{XXXXXX}Fin Si\\ &\phantom{XXX}Fin Pour\\ &Fin Pour\\ \textbf{Fin traitement} \end{tabular} \end{minipage} } \end{center} \item Le coût total de réservation étant de 438~\texteuro{}, et 438 étant égal à $146\times 3$, ce montant est multiple de 3~! \item \begin{enumerate} \item Les entiers 8 et 15 étant premiers entre eux, le théorème de Bézout entraîne l'existence d'un couple $(x~;~y)$ d'entiers relatifs tels que $8x + 15y = 1$. \item On a de façon évidente $8 \times 2 + 15\times (- 1) = 1$, le couple $(2~;~-1)$ est donc une solution particulière. \item On a $8 \times 2 + 15 \times (- 1) = 1$, donc, en multipliant par $146$ : \[8\times 292 + 15\times(- 146) = 146.\] Soit $(x~;~y)$ un autre couple solution de (E), alors: \begin{equation} \tag{1} 8x + 15y = 8\times 292 + 15\times(- 146) \Longleftrightarrow 8(x - 292) = 15(-y - 146). \end{equation} 15 et 8 sont premiers entre eux et 15 divise $8(x - 292)$, donc, d'après le théorème de Gauss, 15 divise $x - 292$. Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $x - 292 = 15k \iff x = 292 + 15k$. La relation (1) entraîne alors que $8\times 15k = 15(- y - 146)$, d'où $y = - 146 - 8k$. Les couples solutions sont donc de la forme $(292 + 15k~;~- 146 - 8k)$. Réciproquement, de tels couples sont bien solutions de (E) car: \[ 8(292 + 15k) + 15(- 146 - 8k) =146. \] L'ensemble des solutions de (E) est donc $\big\{(292+15k~;~-146-8k)\text{ où }k\in\Z\big\}$. \end{enumerate} \item Soit $x$ et $y$ le nombre de nuitées passées respectivement dans les hébergements A et B, alors $24x + 45y = 438\Leftrightarrow 8x + 15y = 146$. Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $x = 292+15k$, et par ailleurs $x\geqslant 0$ et $x\leqslant 13$, d'où : \[0\leqslant 292 + 15k\leqslant 13 \Longleftrightarrow - \dfrac{292}{15}\leqslant k\leqslant-\dfrac{279}{15}.\] Comme $- \dfrac{292}{15}\approx\np{- 19,47}$ et $-\dfrac{279}{15}=\np{- 18,6}$, la seule possibilité est que $k = - 19$. On en déduit que $x=292+15\times(-19)=7$ et que $y= - 146 - 8\times(- 19) = 6$.\\ Ce randonneur a donc passé 7 nuits en hébergement A et 6 nuits en hébergement B. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}